廣義積分的收斂判別法

1、第二節(jié)廣義積分的收斂判別法上一節(jié)我們討論了廣義積分的計算, 在實際應用中，我們將發(fā)現大量的積分是不能直接計算的，有的積分雖然可以直接計算，但因為過程太復雜，也不為計算工作者采用，對這類問題計算工作者常采用數值計算方法或Monte-Carlo方法求其近似值. 對廣義積分而言，求其近似值有一個先決條件 積分收斂，否則其結果毫無意義。 因此，判斷一個廣義積分收斂與發(fā)散是非常重要的定理9.1（Cauchy收斂原理）f(x)在a, + ）上的廣義積分收斂的充分必要條件是：, 存在A>0, 使得b, >A時，恒有證明：對使用柯西收斂原理立即得此結論同樣對瑕積分(為瑕點), 我們有定理9.2（瑕

2、積分的Cauchy收斂原理）設函數f(x)在a,b)上有定義，在其任何閉子區(qū)間a, b上常義可積，則瑕積分收斂的充要條件是: , , 只要0<，就有定義9.5如果廣義積分收斂，我們稱廣義積分絕對收斂（也稱f(x)在a,+上絕對可積; 如收斂而非絕對收斂，則稱條件收斂，也稱f(x)在a,+上條件可積由于，均有 因此，由Cauchy收斂原理，我們得到下列定理定理9.3如果廣義積分絕對收斂，則廣義積分必收斂它的逆命題不一定成立，后面我們將會看到這樣的例子。對其它形式的廣義積分，類似地有絕對收斂及條件收斂的定義及性質下面我們先介紹當被積函數非負時，廣義積分收斂的一些判別法比較判別法：定理9.4（

3、無限區(qū)間上的廣義積分）設在a,+)上恒有（k為正常數）則當收斂時, 也收斂;當發(fā)散時, 也發(fā)散證明：由Cauchy收斂原理馬上得結論成立對瑕積分有類似的結論判別法定理9.5 設f(x), g(x) 均為a,b)上的非負函數，b為兩個函數的奇點，如存在一個正常數k, 使a, b), 則1） 如收斂，則也收斂。2）如發(fā)散，則也發(fā)散比較判別法在實際應用時，我們常常用下列極限形式定理9.6 如果f(x), g(x)是a,+上的非負函數, 且 則(1) 如果, 且收斂, 則積分也收斂(2) 如果, 且發(fā)散，則積分也發(fā)散證明：如果 則對于, 存在A,當時, 即成立. 顯然與同時收斂或同時發(fā)散，在l=0或

4、l=時，可類似地討論.使用同樣的方法，我們有定理9.7 對以b為唯一瑕點的兩個瑕積分與 如果f(x), g (x) 是非負函數，且 則（1） 當, 且收斂時，則也收斂（2） 當，且發(fā)散時，則也發(fā)散對無限區(qū)間上的廣義積分中，取作比較標準，則得到下列Cauchy判別法：設f(x)是a,+的函數，在其任意閉區(qū)間上可積,那么:定理9.8若0f(x)， p>1,那么積分收斂，如f(x)，p1,則積分發(fā)散其極限形式為定理9.9 如 (, p>1), 則積分收斂如, 而, 1, 則發(fā)散.例9.8 判斷下列廣義積分的收斂性。(1) (2) (m>0, n>0)解：（1）因為0由收斂推出

5、收斂（2）因為 所以當nm>1時，積分收斂. 當nm1時，積分發(fā)散對于瑕積分，使用作為比較標準，我們有下列柯西判別法定理9.10設x=a是f(x)在a,b上的唯一奇點，在其任意閉區(qū)間上可積,那么（1） 如0f(x) (c>0), p<1, 則收斂（2） 如f(x) (c>0), p1, 則發(fā)散瑕積分的Cauchy判斷法的極限形式為定理9.11 設如0k<, p<1, 則收斂如0<k, p1, 那么發(fā)散例9.9 判別下列瑕積分的斂散性。(1) (k2<1)(2) (p,q>0)解：（1）1是被積函數的唯一瑕點因為 =由知瑕積分收斂（2）0與都

6、是被積函數的瑕點先討論 由知: 當p<1時, 瑕積分收斂; 當p1時,瑕積分發(fā)散再討論 因所以當 q<1時, 瑕積分收斂，當q1時，瑕積分發(fā)散綜上所述，當p<1且q<1時, 瑕積分收斂; 其他情況發(fā)散例9.10 求證: 若瑕積分收斂，且當時函數f(x)單調趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設, f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調減少。已知收斂，由柯西收斂準則，有, (<1), 有從而0<或0<x f(x)即x f(x)=0.例9.11 求證瑕積分(>0), 當<時收斂當時發(fā)散.證明:=所以當3<1時，即<時，瑕積

7、分收斂當31，即時，瑕積分發(fā)散前面討論的是非負函數的反常積分的收斂性，為了能對一般函數的反常積分的斂散性進行討論，我們先給出下面的重要結果定理9.12（積分第二中值定理）設g(x)在a,b上可積，f(x)在a,b上單調，則存在a,b使=為了證明定理9.12，我們先討論下列特殊情況引理9.1設f(x)在a, b上單調下降并且非負，函數g(x)在a,b上可積，則存在ca,b，使 =f(a)證明：作輔助函數= f(a) 對a,b的任一分法P: a=x0<x1<x2<<xn=b我們有=由此得到|=|xi這里L是|g(x)|在a,b的上界, 是在上的振幅，從這個估計式可知, 當時

8、,應當有 我們來證明 為此，引入記號 G(x)= 并作如下變換=（）=因為, , 所以 = =同樣可證 我們證明了不等式 即現令|p|, 取極限，就得到 因此，存在ca,b，使得 =（因為在上是連續(xù)函數）也就是= 證畢下面我們證明定理9.12證明：如f(x)是單調下降的，則f(x)f(b)單調下降且非負，由引理12.2.1知，存在ca,b, 使 =即 =對f(x)單調上升的情形，可作類似討論.使用積分第二中值定理，我們得到下列一般函數的廣義積分斂散性的判別法定理9.13若下列兩個條件之一滿足，則收斂（1）（Abel判別法）收斂，g(x)在a,上單調有界;（2）（Dirichlet判別法）設F(

9、A)=在a,上有界，g(x)在a,上單調, 且g(x)=0.證明：（1）, 設|g(x)|M，a,), 因收斂，由Cauchy收斂原理，, 使時, 有由積分第二中值定理，我們得到 +=再由Cauchy收斂原理知收斂(2) 設M為F(A)在a,+上的一個上界，則, 顯然有同時, 因為g(x)=0，所以存在, 當x>A0時, 有 g(x)|<于是，對有 +=由Cauchy收斂原理知收斂例9.12 討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx則當x時，f(x)單調下降且趨于零，F(A)= =在a,上有界由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負函數的廣

10、義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂例9.13 討論廣義積分的斂散性解：由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在a, +上單調有界，所以由Abel判別法知收斂。另一方面, 當時, 有前面已證發(fā)散由比較判別法知發(fā)散, 所以條件收斂.對瑕積分也有下列形式的Abel判別法和Dirichlet判別法定理9.14若下列兩個條件之一滿足，則收斂：（b為唯一瑕點）（1）（Abel判別法）收斂, g(x)在a,上單調有界(2) (Dirichlet判別法) =在a, 上有界, g(x) 在(上單調, 且.證明: (1) 只須用第二中值定理估計 讀者可以仿照定理11.2.8(1) 的作法完成(1)的

11、證明.(2) 讀者可以仿照定理11.2.8(2) 的作法完成(2)的證明.例9.14 討論積分 (0<p2) 的斂散性解: 對于0<p<1 , 因為 由收斂知 絕對收斂斂對于0p<2, 因為函數f(x) =, 當時單調趨于0, 而函數 g(x)= 滿足所以積分收斂.但在這種情況下, 是發(fā)散的, 事實上由因發(fā)散, 收斂, 知 發(fā)散從而當0p<2時, 積分條件收斂. 最后我們討論p=2的情形, 因為 當時, 上式無極限, 所以積分發(fā)散.值得注意的是, 兩種廣義積分之間存在著密切的聯系, 設中x=a為f(x)的瑕點, 作變換y=, 則有 = 而后者是無限區(qū)間上的廣義積分. 習題 9.21、 論下列積分的斂散性（包括絕對收斂， 條件收斂， 發(fā)散）(1)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) 2證明：若瑕積分收斂， 且當時， 函數f(x)單調趨于+， 則x f(x)=03. 若函數f(x)在有連續(xù)導數f /(x)， 且無窮積分與都收斂， 則 f(x)=0