對差比型數(shù)列求和方法的再思考

1、對“差比型”數(shù)列求和問題解法的再思考人教A版必修5課本中在推導等比數(shù)列前項和公式 的過程中運用了的“錯位相減法”，隨后在課本第61頁的習題中給出了這類求和問題的習題：。已知數(shù)列滿足其中為公差不等于0的等差數(shù)列，為公比不等于1的等比數(shù)列，我們可以把這類數(shù)列簡稱為“差比型”數(shù)列。求這類數(shù)列前項和時通常在和式的兩邊都乘以（或除以）組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，這種方法即所謂的“錯位相減法”。近幾年來的高考試卷中頻頻出現(xiàn)“差比型”數(shù)列的求和問題。如2017年山東文科高考題第19題：已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且.（1）求數(shù)列an通項公式；（2

2、） bn為各項非零的等差數(shù)列,其前n項和Sn,已知,求數(shù)列的前n項和.參考答案：（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知, . 又，解得，所以.（2）由題意知 又,所以.令因此,又,兩式相減得所以.大部分同學解決這個問題時，和上述參考答案一樣使用“錯位相減法”。這個方法的優(yōu)點是有固定的求解模式，思路比較清晰。缺點是計算量大，一不小心就會出現(xiàn)計算錯誤，容易失分。其實只要大家深入思考就不難發(fā)現(xiàn)，“差比型”數(shù)列求和問題的求解方法，不是非“錯位相減法”不可的。下面就向大家介紹兩種解決 “差比型”數(shù)列求和問題的方法。先看結(jié)論1 ：若數(shù)列的通項公式為，其中數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，則數(shù)列也

3、是“差比型”數(shù)列。這個結(jié)論很容易證明。我們不妨設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，等比數(shù)列首項為，公比為，則=令，顯然數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列。于是，故數(shù)列也是“差比型”數(shù)列。再看結(jié)論2：若數(shù)列的通項公式為其中數(shù)列是公差為（）的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列，則存在一等差數(shù)列使，其中等差數(shù)列的首項和公差分別為、。我把它稱為裂項公式。利用結(jié)論2，很容易地得到前項和公式+ =+ =下面，根據(jù)上述結(jié)論我們給出2017山東高考文科19題的第二種解法：解：（1） （過程略）（2）設(shè)易得.即=所以.從前面的解題過程中可知，利用“裂項相消法”解決“差比型”數(shù)列的求和問題步驟簡潔，該方法的實質(zhì)在學生深入

4、了解數(shù)列之間的聯(lián)系的基礎(chǔ)上，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想，發(fā)現(xiàn)知識間的內(nèi)聯(lián)系，是學生探索能力、創(chuàng)新能力的重要體現(xiàn)。同樣下面的解法也能說明這一點。結(jié)論3：若數(shù)列的通項公式為，其前n項和為，其中數(shù)列是公差為()的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為（）的等比數(shù)列，則存在一等差數(shù)列使為一個常數(shù)列。該結(jié)論的證明思路如下：不妨設(shè)等差數(shù)列首項為，公差為，等比數(shù)列首項為，公比為，則可設(shè) ，整理后比較系數(shù)可解出的值，級得到常數(shù)列，其中。根據(jù)結(jié)論3，我們給出2017山東高考文科19題的第三種解法：解：（前面部分同上，略）根據(jù)，可得設(shè),即比較式可得所以數(shù)列為常數(shù)列。因此所以.普通高中數(shù)學課程標準中指出，學生的數(shù)學學習活動不應只限于接受、

5、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式。這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，是學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。在數(shù)列這一章節(jié)的學習中，以等差、等比等特殊的數(shù)列為基礎(chǔ)，考察一部分能轉(zhuǎn)化為等差、等比等特殊數(shù)列的綜合知識，是培養(yǎng)學生自主探索、動手實踐、勇于創(chuàng)新精神的很好的課題。參考文獻：1.教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）M.人民教育出版社，20032.徐學軍.從錯位相減法到裂項相消法J.中學數(shù)學教學，2014（1）3.李建華.普通高中課程標準實驗教科書：數(shù)學5（必修A版）.人民教育出版社跟蹤練習：已知為等差數(shù)列，前n項和為，

6、是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，.（）求和的通項公式；（）求數(shù)列的前n項和.【考點分析】1.等差，等比數(shù)列；2.“差比型”數(shù)列求和.【名師點撥】(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想(2)對于“差比型”數(shù)列的求和問題，可以嘗試使用本文提供的三種方法，感受一下每一種方法各自的優(yōu)點。【解題思路1】（）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，等比數(shù)列的公比為，建立方程求解；（）先求的通項，再求 ，最后對其利用錯位相減法進行求和.（）解：設(shè)數(shù)列的前項和為，由，有，上述兩式相減，得.得.所以，數(shù)列的前項和為.【解題思路2】（）設(shè)等