對流擴散方程有限差分方法

1、對流擴散方程有限差分方法求解對流擴散方程的差分格式有很多種，在本節(jié)中將介紹以下3種有限差分格式：中心差分格式、Samarskii格式、Crank-Nicolson型隱式差分格式。3.1 中心差分格式 時間導(dǎo)數(shù)用向前差商、空間導(dǎo)數(shù)用中心差商來逼近，那么就得到了（1）式的中心差分格式 （3） 若令 ，則（3）式可改寫為 （4） 從上式我們看到，在新的時間層上只包含了一個未知量，它可以由時間層上的值，直接計算出來。因此，中心差分格式是求解對流擴散方程的顯示格式。 假定是定解問題的充分光滑的解，將，分別在處進行Taylor展開： 代入(4)式，有 顯然，當(dāng)，時，即中心差分格式與定解問題是相容的。由以上

2、的討論也可得知，對流擴散方程的中心差分格式的截斷誤差為。對于我們上面構(gòu)造的差分格式，是否可以直接用于實際計算呢？也就是說，如果初始值有誤差，在計算過程中誤差會不會擴大傳播呢？這就是接下來我們要討論的是差分方程的穩(wěn)定性問題。下面用Fourier方法來分析中心差分格式的穩(wěn)定性。令，代入到（4）式整理得 所以該差分格式的增長因子為： 其模的平方為 由于，所以（即差分格式穩(wěn)定）的充分條件為 上式可以改寫為 注意到，所以上面不等式滿足的條件為 ， 。由此得到差分格式（3）的穩(wěn)定性限制為 ， 。故有結(jié)論：對流擴散方程的中心差分格式是條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax等價定理，我們可以知道，對流擴散方程的中心差分格式是

3、條件收斂的。3.2 Samarskii格式 設(shè)0，先對方程(1)作擾動，得到另一個對流擴散方程 （5）其中 ，當(dāng)時，（5）式化為（1）式對于（5）式，構(gòu)造迎風(fēng)格式 （6）差分格式（6）稱為逼近對流擴散方程的Samarskii格式。首先推導(dǎo)（6）的截斷誤差。設(shè)是對流擴散方程（1）式的充分光滑的解令 用 Taylor級數(shù)展開有 再令 用 Taylor級數(shù)展開有 由于 所以 當(dāng)，時，所以Samarskii格式與定解問題是相容的，并且其截斷誤差為。 現(xiàn)在看看Samarskii格式的穩(wěn)定性。將（6）式兩邊同時加上，把（6）式化為 令 ，則上式即為：根據(jù)中心顯示格式穩(wěn)定性的討論，可以得到（6）式的穩(wěn)定性條

4、件為 ， 即 ， 穩(wěn)定性的第二個條件等價于 而 利用不等式 所以 利用穩(wěn)定性的第一個條件，有 ，從而可知穩(wěn)定性條件的第二個條件可由第一個條件推出，因此差分格式的穩(wěn)定性條件為 ，即 。 由Lax等價定理可知，Samarskii格式也是條件收斂的。3.3 Crank-Nicolson型隱式差分格式 前面討論了求解對流擴散方程的兩種顯示格式，它們都是條件穩(wěn)定的，為了放松穩(wěn)定性條件，可以采用隱式格式進行求解?，F(xiàn)在考慮Crank-Nicolson型隱式差分格式 （7）令，則（7）式可化為 （8）把（8）式用矩陣的形式 = + （9）設(shè) ， ， ， 則有 下面討論Crank-Nicolson型格式的截斷誤

5、差和精度。該格式涉及到時間層和時間層上的，處六個點。設(shè)是定解問題的充分光滑的解，把(7)式中各的值用代替，然后將， ，分別在點處進行Taylor展開： 這里出現(xiàn)的的各階偏導(dǎo)數(shù)假設(shè)都是存在而且連續(xù)的。于是（7）式的截斷誤差 顯然，Crank-Nicolson型格式的精度是二階的。再來看看該格式的穩(wěn)定性情況，我們還是用Fourier方法來分析。令，代入到（8）式 整理得 所以Crank-Nicolson型格式的增長因子是 其模的平方 改寫上式 由于 及上式的分母為正，故 即 ，從而得出Crank-Nicolson型格式是無條件穩(wěn)定的。根據(jù)Lax 等價定理，Crank-Nicolson型格式也是無條

6、件收斂的。4、數(shù)值例子 給出如下對流擴散方程的初邊值問題： 所討論的對流擴散方程的精確解為 4.1 三種差分格式的比較 在各種對流擴散問題中，有許多對流相對于擴散來說在問題中起主導(dǎo)作用。對流占有擴散問題的數(shù)值求解面臨很多困難。因此，對流占有擴散問題的有效數(shù)值解法一直是計算數(shù)學(xué)中重要的研究內(nèi)容。取，此時上面給出的就是一個對流占優(yōu)擴散問題。那么，本文討論的三種差分格式對對流占有擴散問題的求解效果是怎樣的呢？現(xiàn)在我們就來看看這個問題。首先，根據(jù)差分格式的穩(wěn)定性條件，確定的取值范圍。（1）中心差分格式：根據(jù)穩(wěn)定性條件 ，可知，要使中心差分格式穩(wěn)定，的取值必須滿足：（2）Samarskii格式：根據(jù)穩(wěn)定

7、性條件 可知，的取值必須滿足： （3）Crank-Nicolson格式：該差分格式是無條件穩(wěn)定的，所以可以取任意值。 要使三種差分格式都是穩(wěn)定的，不妨取。 首先，我們通過表格看看三種差分格式的數(shù)值解與準(zhǔn)確解之間的相對誤差。 表4.1 時三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.219201.219201.219201.21920.11.1009-0.00231.10760.00441.10340.00021.10320.20.9950-0.00321.00510.00690.99850.00030.998

8、20.30.8999-0.00330.91100.00780.90350.00030.90320.40.8142-0.00310.82500.00770.81750.00020.81730.50.7367-0.00280.74670.00720.73970.00020.73950.60.6666-0.00250.67570.00660.66930.00020.66910.70.6031-0.00230.61140.0060.60560.00020.60540.80.5459-0.00190.55320.00540.54800.00020.54780.90.4931-0.00260.50060.

9、00490.49590.00020.49571.00.448500.448500.448500.4485表4.2 時三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.489401.489401.489401.48940.11.3450-0.00271.35370.0061.34790.00021.34770.21.2144-0.00501.23010.01071.21990.00051.21940.31.0969-0.00651.11710.01371.10400.00061.10340.40.9915-0.00

10、691.01370.01530.99900.00060.99840.50.8966-0.00680.91910.01570.90400.00060.90340.60.8115-0.00590.83270.01530.81790.00050.81740.70.7333-0.00630.75390.01430.74020.00060.73960.80.6656-0.00360.68240.01320.66960.00040.66920.90.5982-0.00740.61760.0120.60620.00060.60561.00.547900.547900.547900.5479表4.3 時三種差

11、分格式的結(jié)果比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差01.819601.819601.819601.81960.11.6433-0.00311.65380.00741.64670.00031.64640.21.4839-0.00581.50320.01351.49020.00051.48970.31.3397-0.00831.36600.0181.34870.00071.34800.41.2100-0.00971.24100.02131.22050.00081.21970.51.0923-0.01131.12690.02331

12、.10460.0011.10360.60.9892-0.00941.02260.02400.99940.00080.99860.70.8911-0.01250.92740.02380.90470.00110.90360.80.8121-0.00550.84040.02280.81810.00050.81760.90.7257-0.01410.76120.02140.74100.00120.73981.00.669400.669400.669400.6694表4.4 時三種差分格式結(jié)果的比較x中心差分格式Samarskii格式Crank-Nicolson格式準(zhǔn)確解數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差數(shù)值解誤差0

13、2.222902.222902.222902.22290.12.0073-0.0042.02040.00912.01170.00042.01130.21.8132-0.00671.83640.01651.82050.00061.81990.31.6366-0.01011.66910.02241.64760.00091.64670.41.4794-0.01061.51690.02691.49090.00091.49000.51.3325-0.01571.37840.03021.34960.00141.34820.61.2087-0.01121.25210.03221.22090.0011.219

14、90.71.0839-0.01991.13700.03321.10560.00181.10380.80.9915-0.00731.03180.0330.99940.00060.99880.90.8809-0.02290.93580.0320.90570.00190.90381.00.817700.817700.817700.8177接下來，我們看看這三種差分格式在不同時間的圖形。圖4.1 時三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.2 時三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.3 時三種差分格式結(jié)果的比較 圖4.4 時三種差分格式結(jié)果的比較4.2 結(jié)果分析由表格中的數(shù)據(jù)以及圖示可以看出，對于對流擴散方程的數(shù)值求解，

15、三種差分格式的穩(wěn)定性都比較好，其中以Crank-Nicolson格式的效果最好。5.小結(jié)對流擴散問題的數(shù)值求解一直是許多計算工作者比較重視的一類問題。本文分析了對流擴散方程的中心差分格式、Samarskii格式以及Crank-Nicolson格式。中心差分格式和Samarskii格式是顯式格式，所以很適合于并行計算，但由于穩(wěn)定性條件的限制，必須采用非常小的時間步長來計算。Crank-Nicolson格式是隱式格式，它是無條件穩(wěn)定的，但在每一時間層上要求解線性方程組，實現(xiàn)并行計算有一定困難。中心差分格式的優(yōu)點是簡單易算，但由于截斷誤差為，又僅當(dāng)，時才穩(wěn)定和收斂，所以想要算得略為精確一點，就要縮小。并且注意到最大為，若縮