式代數(shù)式與不等式

1、第二講 式、代數(shù)式與不等式用字母表示數(shù)，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象便從數(shù)擴(kuò)展到式。式本身不僅是代表數(shù)的符號(hào)，也是表明對(duì)于數(shù)和字母按怎樣的次序進(jìn)行什么運(yùn)算的符號(hào)。按照一定的數(shù)學(xué)法則，把數(shù)學(xué)符號(hào)連接起來的符號(hào)串，我們稱之為數(shù)學(xué)式。數(shù)學(xué)式是數(shù)學(xué)研究的基本對(duì)象。一、數(shù)學(xué)符號(hào)簡史古代數(shù)學(xué)涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象符號(hào)。歐幾里得幾何原本就不使用數(shù)學(xué)符號(hào)。中國古代數(shù)學(xué)雖然很早就使用小數(shù)和分?jǐn)?shù)，包括使用0，也大量求解方程，但是因?yàn)橛?jì)算過程依賴于算籌，所以也沒有使用小數(shù)點(diǎn)、分?jǐn)?shù)和其它運(yùn)算符號(hào)，0只是一個(gè)空格。公元10世紀(jì)左右的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，用文字代表數(shù)，使得數(shù)和文字可以實(shí)行運(yùn)算，并借此求未知數(shù)，這是一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)，但是

2、他們?nèi)匀灰晕淖直硎鰹橹?。最早使用?”“-”表示加減的是15世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家?，F(xiàn)存于德累斯頓圖書館的數(shù)學(xué)手稿（1486年）中，首見此符號(hào)。1631年，英國數(shù)學(xué)家奧特雷德在數(shù)學(xué)之鑰一書中使用“×”表示乘法，而1698年萊布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法，這樣可以避免“×”和字母混淆。除法的記號(hào)“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。等號(hào)是英國數(shù)學(xué)家雷科德于1557年在勵(lì)智石一書首先使用。表示方程的符號(hào)，世界各國很不相同，可以說五花八門。19世紀(jì)末20世紀(jì)初國際交往的擴(kuò)大，終于有了比較統(tǒng)一的國際通用的數(shù)學(xué)符號(hào)。中國普遍使用國際通用數(shù)學(xué)符號(hào)相當(dāng)晚。滿清政府推行“中學(xué)為體，

3、西學(xué)為用”的政策，在符號(hào)使用上拒絕和國家接軌。1897年京師同文館數(shù)學(xué)大考題中的兩則考題：詳見中學(xué)代數(shù)研究1859年代微積拾級(jí)出版算起，取代天、地、人、元的過程，前后經(jīng)歷了半個(gè)世紀(jì)之久。二、數(shù)學(xué)符號(hào)語言代數(shù)式自學(xué)中學(xué)代數(shù)研究三、字母表示數(shù)自學(xué)中學(xué)代數(shù)研究四、解析式解析式用運(yùn)算符號(hào)、函數(shù)符號(hào)、括號(hào)，作用于數(shù)字和字母之上形成的數(shù)學(xué)式。代數(shù)式：只含有加、減、乘、除四則運(yùn)算和有理數(shù)次的乘方開方運(yùn)算的解析式。超越式：解析式中如果除了代數(shù)運(yùn)算之外，還有超越運(yùn)算，稱之為超越式。代數(shù)式中不含開方運(yùn)算的稱為有理式，否則稱為無理式。整式整式（多項(xiàng)式）是一個(gè)數(shù)域，稱為數(shù)域上的多項(xiàng)式，其中稱為多項(xiàng)式的項(xiàng)，稱為項(xiàng)的系數(shù)

4、，變數(shù)字母所取的數(shù)值都屬于數(shù)域，都是非負(fù)整數(shù)。各個(gè)系數(shù)都等于零的多項(xiàng)式稱為零多項(xiàng)式。零多項(xiàng)式的值總是零。多項(xiàng)式的次數(shù)對(duì)于非零多項(xiàng)式，中的最大的非負(fù)整數(shù)值稱為這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。多項(xiàng)式恒等數(shù)域上的兩個(gè)具有相同變數(shù)字母的多項(xiàng)式，如果對(duì)于變數(shù)字母的所有取值，這兩個(gè)多項(xiàng)式的值都相等，那么稱這兩個(gè)多項(xiàng)式是恒等的。定理：以標(biāo)準(zhǔn)形式給出的兩個(gè)多項(xiàng)式恒等的充分且必要的條件是這兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)項(xiàng)分別是具有相同系數(shù)的同類項(xiàng)。（待定系數(shù)法的理論依據(jù)）例 求證是一個(gè)完全平方式的充分必要條件是，并且都是非負(fù)實(shí)數(shù)。證（必要性）如果，那么由此可得：因而都是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且。（充分性）如果都是非負(fù)實(shí)數(shù)，并且，那么分式有理分式兩個(gè)

5、多項(xiàng)式的比稱為有理分式，也可簡稱為分式。有理分式的定義域在已知數(shù)域內(nèi)，任意一組使分式的分母不為零的自變數(shù)值，使分式有一個(gè)完全確定的值與它對(duì)應(yīng)，所有這樣的自變數(shù)值組的集合稱為這個(gè)分式的定義域。例 化簡解將原式各項(xiàng)通分，得到公分母，分子顯然，當(dāng)時(shí)，。因此可以斷定能被整除。同理可知，能被所含有的每一個(gè)二項(xiàng)式因式整除。如果以的所有二項(xiàng)式因式的積除，可得，這里是零次多項(xiàng)式。設(shè)代入的兩個(gè)表達(dá)式，得到，于是，從而原式化簡為。根式算術(shù)根次冪等于的非負(fù)實(shí)數(shù)，稱為數(shù)的次算術(shù)根，并記作，其中稱為根指數(shù)，稱為被開方數(shù)。最簡根式如果根式的被開方數(shù)的指數(shù)和根指數(shù)是互質(zhì)的，被開方數(shù)的每一個(gè)因式的指數(shù)都小于根指數(shù)，并且被開方

6、數(shù)不含有分母，那么稱這個(gè)根式為最簡根式。例 化簡解因?yàn)?，所以，。因?yàn)椋?，是符?hào)相同的數(shù)。由；得 可知，當(dāng)時(shí)，原式； 當(dāng)時(shí)，原式； 當(dāng)，并且時(shí)，原式； 當(dāng)，并且時(shí)，原式。指數(shù)式與對(duì)數(shù)式指數(shù)式定義1如果，規(guī)定。定義2，這里的。定義3，這里的定義4，這里的，是任何正有理數(shù)。定義5當(dāng)是正無理數(shù)，是正實(shí)數(shù)，分別是的精確到的不足近似值和過剩近似值時(shí)，規(guī)定數(shù)列的共同極限是的無理數(shù)指數(shù)冪，記作，即定義6當(dāng)是正無理數(shù)，是正實(shí)數(shù)時(shí)，規(guī)定。對(duì)數(shù)式定理（對(duì)數(shù)存在定理）：如果正實(shí)數(shù)不等于1，那么對(duì)于任一給定的正實(shí)數(shù)，有唯一的實(shí)數(shù)，使的次冪等于，即。定義如果不等于1的正實(shí)數(shù)的某次乘方的冪等于正實(shí)數(shù)，那么稱這個(gè)冪的指數(shù)

7、是以為底的的對(duì)數(shù)。三角式與反三角式在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)由幾何性質(zhì)給出定義，但研究由三角式與反三角式給出的解析式主要是運(yùn)用代數(shù)的方法，并且著重于三角式與反三角式的恒等變形。三角式在初等數(shù)學(xué)中，三角函數(shù)的定義是用幾何方法建立起來的，它僅僅給出了自變數(shù)的取值與三角函數(shù)值的對(duì)應(yīng)，而不能給出直接由自變數(shù)的值計(jì)算三角函數(shù)值的公式。在數(shù)學(xué)分析教程中，用泰勒公式可將三角函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)。事實(shí)上，三角式的概念及其運(yùn)算關(guān)系的建立并不依賴于幾何的解釋。定義對(duì)于實(shí)數(shù)，符號(hào)稱為解析余弦，稱為解析正弦，其中反三角式對(duì)于實(shí)數(shù)，如果，并且，那么表達(dá)式分別稱為反正弦、反余弦。等式兩個(gè)解析式用等號(hào)連接起來的式子稱為等式：等式可

8、以分為兩類：恒等式和條件等式。當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時(shí)，等號(hào)兩邊的解析式都取相同的值，稱之為恒等式，也稱之為絕對(duì)等式。當(dāng)一個(gè)等式，只在不定元取某些特殊的數(shù)值時(shí)才成立，稱之為條件等式。不等式兩個(gè)解析式用不等號(hào)連接起來的式子稱為不等式：不等式可以分為兩類：絕對(duì)不等式和條件不等式。當(dāng)不定元取一切有意義的數(shù)值時(shí)，不等式恒成立，稱之為恒不等式，也稱之為絕對(duì)不等式。當(dāng)一個(gè)不等式，只當(dāng)不定元取某些特殊的數(shù)值時(shí)才成立，我們稱之為條件不等式。（補(bǔ)充）不等式基本性質(zhì)不等式具有如下的基本性質(zhì)定理1（傳遞性） 若，則。定理2（三歧性） 若中有且只有一個(gè)成立。定理3 若，則推論1 可以把不等式中任何一項(xiàng)變?yōu)橄喾吹姆?/p>

9、號(hào)后，從一邊移到另一邊。推論2 若，則。推論3 若，則。定理4 若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。推論1 若則。推論2 若則。推論3 若，整數(shù)，則。推論4 若，整數(shù)，則。定理5 設(shè)，則的充要條件是；的充要條件是或。定理6 ，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。推論1 推論2 五、絕對(duì)不等式的證明l 用放縮法證明不等式利用放縮法證明不等式的關(guān)鍵是尋找中間變量，使成立，在量與之間架起一座橋梁，通過橋梁的過渡，使與之間間接地建立起不等關(guān)系。例 已知為正整數(shù)，試證：分析由不等式，得將這個(gè)同向不等式相乘得故，證畢。l 構(gòu)造函數(shù)證明不等式某些不等式從結(jié)構(gòu)上接近某一函數(shù)，把某一字母看成自變量構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的某些性質(zhì)來證明

10、不等式。利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式關(guān)鍵是構(gòu)造恰當(dāng)?shù)牟坏仁?。?已知，求證：分析從不等式的結(jié)構(gòu)來看，易構(gòu)造函數(shù)，易證在上是增函數(shù)。因?yàn)?，所以。從而有l(wèi) 構(gòu)造幾何圖形證明不等式如果說不等式中的抽象的數(shù)量關(guān)系能用圖形表示，利用圖形的幾何性質(zhì)即可證明不等式。例 設(shè)，求證：分析從左式四個(gè)表達(dá)式特征可以看出，它們表示兩點(diǎn)間的距離。故可構(gòu)造點(diǎn)四邊形為正方形，令點(diǎn)坐標(biāo)為，則由三角形的性質(zhì)得所以， 即。l 反證法在不等式證明中的應(yīng)用反證法是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要方法，在不等式的證明中也有廣泛的應(yīng)用。用反證法證明不等式，即先否定結(jié)論不成立，然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理，逐步導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條

11、件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論，從而肯定原結(jié)論是正確的。例 已知，求證：中至少有一個(gè)不小于。分析此題從正面解決比較困難，可用反證法，假設(shè)結(jié)論不成立，即都小于，則由于得此式與矛盾，這說明假設(shè)不成立，故原命題成立。六、條件不等式的求解l 分類討論例 為自然數(shù)，解關(guān)于的不等式：分析此不等式比較復(fù)雜，不僅含有參數(shù)，還有自然數(shù)。先把此不等式化簡，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論。不等式化簡為：對(duì)進(jìn)行討論：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，原不等式轉(zhuǎn)化為下面再對(duì)進(jìn)行討論，由于為對(duì)數(shù)的底，故當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椴坏仁浇M當(dāng)時(shí)，不等式變?yōu)椴坏仁浇Ml 用幾何方法求解不等式如果不等式的結(jié)構(gòu)可以通過某種方式與圖形建立起聯(lián)系，則可設(shè)法構(gòu)造圖形，將不等式所表達(dá)的抽象的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形加以解決