常微分方程第二章練習(xí)與答案

1、習(xí)題-判斷下列方程是否為恰當(dāng)方程，并且對(duì)恰當(dāng)方程求解：解：，則，所以 即 原方程不是恰當(dāng)方程解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：3（a,b和c為常數(shù)）解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：4解：則因?yàn)? 所以，即原方程不為恰當(dāng)方程解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：解： ， 則所以，即原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：解：則所以當(dāng)，即時(shí)，原方程為恰當(dāng)方程則兩邊積分得：而當(dāng)時(shí)原方程不是恰當(dāng)方程解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程,兩邊積分得：10其中是連續(xù)的可微函數(shù)解：則所以，即原方程為恰當(dāng)方程,兩邊積分得：,即原方程的解為(其中F為f的原

2、積分)習(xí)題-2. 1. 求解下列微分方程，并指出這些方程在平面上的有意義的區(qū)域:：（）解：原方程即為：兩邊積分得：（）解：原方程即為：兩邊積分得：（）解： 當(dāng)時(shí)原方程為：兩邊積分得：又y=0也是方程的解，包含在通解中，則方程的通解為（）；解：原方程即為：兩邊積分得：，即（）解：當(dāng)時(shí)原方程即為：兩邊積分得：=0，即也是方程的解.（）（） 解：當(dāng)時(shí)原方程即為：兩邊積分得：也是方程的解.（）解原方程即為：兩邊積分得：，原方程的解為：.2. 解下列微分方程的初值問(wèn)題（）；解：兩邊積分得：，即因?yàn)?所以.所以原方程滿足初值問(wèn)題的解為：（），；解：原方程即為：，兩邊積分得：，因?yàn)?，所以，所以原方程滿足初值

3、問(wèn)題的解為：（），；解：原方程即為：，兩邊積分得：，因?yàn)椋?，所以原方程滿足初值問(wèn)題的解為：即（）;解：原方程即為：, 兩邊積分得：,因?yàn)椋?所以，所以原方程滿足初值為：（），；解：原方程即為：，兩邊積分得：，因?yàn)?，所以，所以原方程滿足初值問(wèn)題的解為： 解下列微分方程，并作出相應(yīng)積分曲線的簡(jiǎn)圖（）解：兩邊積分得：積分曲線的簡(jiǎn)圖如下：（），（常數(shù)）；解：當(dāng)時(shí)，原方程即為：積分得：，即y也是方程的解積分曲線的簡(jiǎn)圖如下：（）；解：當(dāng)時(shí)，原方程即為：積分得：，即也是方程的解積分曲線的簡(jiǎn)圖如下：（），；解：當(dāng)時(shí)，）時(shí)，原方程即為，積分得：）時(shí)，原方程即為積分得：，即也是方程的解積分曲線的簡(jiǎn)圖如下：4.

4、 跟蹤：設(shè)某A從xoy平面上的原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向前進(jìn)；同時(shí)某B從點(diǎn)開(kāi)始跟蹤A，即B與A永遠(yuǎn)保持等距b試求B的光滑運(yùn)動(dòng)軌跡解：設(shè)B的運(yùn)動(dòng)軌跡為,由題意及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則有，所以求B的運(yùn)動(dòng)軌跡即是求此微分方程滿足的解解之得：5. 設(shè)微分方程（2.27），其中f(y) 在的某鄰域（例如，區(qū)間）內(nèi)連續(xù)，而且，則在直線上的每一點(diǎn)，方程（2.27）的解局部唯一，當(dāng)且僅當(dāng)瑕積分（發(fā)散）證明：（） 首先經(jīng)過(guò)域： 和域：內(nèi)任一點(diǎn)（）恰有方程（2.13）的一條積分曲線，它由下式確定. （*）這些積分曲線彼此不相交. 其次，域（）內(nèi)的所有積分曲線都可由其中一條，比如沿著 x 軸的方向平移而得到。因此只需詳細(xì)考

5、慮經(jīng)過(guò)內(nèi)某一點(diǎn)的積分曲線，它由（*）式確定.若收斂，即存在 ，使得,即所討論的積分曲線當(dāng) 時(shí)達(dá)到直線上點(diǎn)（）. 由（*）式易看出，所論積分曲線在（）處與 相切，在這種情形下，經(jīng)過(guò)此直線上的一點(diǎn)就不只有一條積分曲線，與局部唯一矛盾，所以發(fā)散.若積分發(fā)散，此時(shí)由（*）式易看出，所論的經(jīng)過(guò)的積分曲線，不可能達(dá)到直線 上，而以直線為漸近線，又注意到也是（.13）的積分曲線，所以（2.13）過(guò)的解是唯一的. 注：對(duì)于內(nèi)某點(diǎn)（）完全可類似地證明.6. 作出下列微分方程積分曲線族的大致圖形（）；（）習(xí)題-3 求解微分方程：（）;解：，由公式得：，原方程的解為：（）；解：，則有原方程的解為：（）；解：原方程即

6、為：，則，則有因?yàn)?，所以原方程滿足初值問(wèn)題的解為：（），；解：, 則 要求滿足初值問(wèn)題的解 只需求 代入初值得 所以滿足初值問(wèn)題的解為.2. 將下列方程化為線性微分方程：（）；解：令，則原方程化為：（）；解：由原方程得：，,即（）；解：令，則原方程化為：（）；解：原方程即為：即.令，則3. 設(shè)滿足微分不等式求證：證明：將兩邊同乘則有即從到x積分得：，得證4. 用常數(shù)變易法求解非齊次線性方程解：設(shè)方程有形如的解，將其代入方程則有解：設(shè)方程有形如的解，將其代入方程則有即，則，所以方程的解為.5. 考慮方程，其中和都是以為周期的連續(xù)函數(shù)試證：（）若，則方程的任一非零解以為周期的平均值（）若，則方程的

7、有唯一的周期解試求出此解證明：（）設(shè)是方程的任一非零解 則且也是解(2) 方程的通解為 選擇常數(shù)使成為 周期函數(shù)，即（*）我們先來(lái)證明，要使（*）對(duì)所有成立，其實(shí)只需對(duì)某一特定 （例如）成立,即只需.事實(shí)上，由于是方程的解，且，所以也是解.因此，函數(shù)是相應(yīng)齊次方程滿足初始條件的解。又因?yàn)榇她R次方程的解或者恒等于，或者恒不等于，所以，從而，由的任意性，則有。即.所以.6 連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上有界，證明：方程在區(qū)間有并且只有一個(gè)有界解試求出這個(gè)解并進(jìn)而證明：當(dāng)還是以為周期函數(shù)時(shí)，這個(gè)解也是以為周期的周期函數(shù).證明：顯然方程為一階線性微分微分方程，由一階線性微分微分方程解的求解公式得其解表達(dá)式為：，因?yàn)橛薪?，所以要?有界，當(dāng)且僅當(dāng) 從而原方程的唯一有界解為下面說(shuō)明當(dāng)是以為周期函數(shù)時(shí)，這個(gè)解也是以為周期的周期函數(shù)，令，則， 所以此解為一周期函數(shù)7. 令空間是以為周期的連續(xù)函數(shù)易知關(guān)于實(shí)數(shù)域構(gòu)成一個(gè)線性空間. ，定義它的模證明是一個(gè)完備的空間利用式(2.40)可以在空間中定義一個(gè)變換，它把 變成試證：是一個(gè)從到的線性算子，而且它是有界的證明：（）