平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

1、06平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用突破點(diǎn)(一)平面向量的數(shù)量積1向量的夾角；2平面向量的數(shù)量積；3平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積的運(yùn)算1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求解過程要注意方程思想的應(yīng)用；第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可2根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種思路(1)若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，需要通過平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解典例(1)設(shè)向

2、量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b與2ab平行，那么a與b的數(shù)量積等于()AB C. D.(2)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且，則·的值為_解析(1)a2b(1,2)2(m,1)(12m,4)，2ab2(1,2)(m,1)(2m,3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以b，所以a·b1×2×1.(2)取，為一組基底，則，··|2·|2×4×2×1×. 答案(1)D(2)易錯(cuò)提醒(1)解決

3、涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)(2)兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”突破點(diǎn)(二)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示：模、夾角、ab|、a·b|與|a|b|的關(guān)系平面向量的垂直問題1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問題第一，計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可2已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)例1(1)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三

4、角形，已知向量a，b滿足2a，2ab，則下列結(jié)論正確的是()A|b|1 Bab Ca·b1 D(4ab)(2)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，則實(shí)數(shù)k()A B0 C3 D.解析(1)在ABC中，由2ab2ab，得|b|2，A錯(cuò)誤又2a且|2，所以|a|1，所以a·b|a|b|cos 120°1，B，C錯(cuò)誤所以(4ab)·(4ab)·b4a·b|b|24×(1)40，所以(4ab)，D正確，故選D.(2)(2a3b)c，(2a3b)·c0.a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)

5、，2a3b(2k3，6)(2k3，6)·(2,1)0，即(2k3)×260.k3.答案(1)D(2)C易錯(cuò)提醒x1y2x2y10與x1x2y1y20不同，前者是兩向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件平面向量模的相關(guān)問題利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2a·a|a|2； (2)|a±b|.例2(1)(2017·衡水模擬)已知|a|1，|b|2，a與b的夾角為，那么|4ab|()A2 B6 C2 D12(2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2.若

6、平面向量b滿足b·e1b·e21，則|b|_.解析(1)|4ab|216a2b28a·b16×148×1×2×cos12.|4ab|2.(2)e1·e2，|e1|e2|cose1，e2，e1，e260°.又b·e1b·e210，b，e1b，e230°.由b·e11，得|b|e1|cos 30°1，|b|.答案(1)C(2)方法技巧求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|.(2)若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求

7、向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2a2a·a，或|a±b|2(a±b)2a2±2a·bb2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解平面向量的夾角問題求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積第二步分別求出這兩個(gè)向量的模第三步根據(jù)公式cosa，b求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值第四步根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是0，及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角例3(1)若非零向量a，b滿足|a|b|，且(ab)(3a2b)，則a與b的夾角為()A. B. C. D(2)已知單位向量e1與e2的夾角為，且cos ，向量a3e12

8、e2與b3e1e2的夾角為，則cos _.解析(1)由(ab)(3a2b)，得(ab)·(3a2b)0，即3a2a·b2b20.又|a|b|，設(shè)a，b，即3|a|2|a|b|cos 2|b|20，|b|2|b|2·cos 2|b|20.cos .又0，.(2)a2(3e12e2)2942×3×2×9，b2(3e1e2)2912×3×1×8，a·b(3e12e2)·(3e1e2)929×1×1×8，cos .易錯(cuò)提醒(1)向量a，b的夾角為銳角a·

9、b>0且向量a，b不共線(2)向量a，b的夾角為鈍角a·b<0且向量a，b不共線突破點(diǎn)(三)平面向量與其他知識(shí)的綜合問題平面向量集數(shù)與形于一體，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種非常重要的工具.在高考中，常將它與三角函數(shù)問題、解三角形問題、幾何問題等結(jié)合起來考查.平面向量與三角函數(shù)的綜合問題例1已知函數(shù)f(x)a·b，其中a(2cos x，sin 2x)，b(cos x,1)，xR.(1)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)1，a，且向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，求邊長(zhǎng)b和c的值解(

10、1)f(x)a·b2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)f(A)12cos1，cos1.又0<A<，故<2A，2A，即A.a，由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)23bc7.向量m(3，sin B)與n(2，sin C)共線，所以2sin B3sin C由正弦定理得2b3c，由，可得b3，c2.方法技巧平面向量與三角函數(shù)綜合問題的類型及求解思路(1)向量平行(共線)、垂直與三角函數(shù)的綜合：此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系得到三角

11、函數(shù)式，再利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解(2)向量的模與三角函數(shù)綜合：此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)|a|2a2，如果涉及向量的坐標(biāo)，解答時(shí)可利用兩種方法：一是先進(jìn)行向量的運(yùn)算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行求解；二是先將向量的坐標(biāo)代入，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解此類題型主要表現(xiàn)為兩種形式：利用三角函數(shù)與向量的數(shù)量積直接聯(lián)系；利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達(dá)到與數(shù)量積的綜合平面向量與幾何的綜合問題例2(1)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn)若·1, 則AB的長(zhǎng)為_(2)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD120°

12、，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別在邊BC，DC上，BC3BE，DCDF.若·1，則 的值為_解析(1)設(shè)|x，x0，則·x.又·()·()1x2x1，解得x，即AB的長(zhǎng)為.(2)由題意可得·|·|cos 120°2×2×2，在菱形ABCD中，易知，所以，··21，解得2.答案(1)(2)2方法技巧平面向量與幾何綜合問題的求解方法(1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得到解決(2)基向量法：適當(dāng)選取一組基底，溝通向量之

13、間的聯(lián)系，利用向量間的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于未知量的方程來進(jìn)行求解 檢驗(yàn)高考能力一、選擇題1已知向量a(，1)，b(0,1)，c(k，)，若a2b與c垂直，則k()A3 B2 C1 D1解析：選A因?yàn)閍2b與c垂直，所以(a2b)·c0，即a·c2b·c0，所以k20，解得k3.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，(1，2)，(2,1)，則·()A5 B4 C3 D2解析：選A由四邊形ABCD是平行四邊形，知(1，2)(2,1)(3，1)，故·(2,1)·(3，1)2×31×(1)5.3若平面向量a(

14、1,2)與b的夾角是180°，且|b|3，則b的坐標(biāo)為()A(3，6) B(3,6) C(6，3) D(6,3)解析：選A由題意設(shè)ba(，2)(0)，而|b|3，則3，所以3，b(3，6)，故選A.4(2016·山東高考)已知非零向量m，n滿足4|m|3|n|，cosm，n，若n(t mn)，則實(shí)數(shù)t的值為()A4 B4 C. D解析：選Bn(t mn)，n·(t mn)0，即t m·n|n|20，t|m|n|cosm，n|n|20.又4|m|3|n|，t×|n|2×|n|20，解得t4.故選B.5(2016·天津高考)已知

15、ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE2EF，則·的值為()A B. C. D.解析：選B如圖所示，.又D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，且DE2EF，所以，所以.又，則· ·()·22·22·.又|1，BAC60°，故·×1×1×.故選B.6已知ABC為等邊三角形，AB2，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足，(1)，R，若·，則()A. B. C. D.解析：選A(1)，又·，|2，A60°，·|·|c

16、os 60°2，(1)·()，即|2(21)·(1)|2，所以42(21)4(1)，解得.二、填空題7已知平面向量a(2,4)，b(1，2)，若ca(a·b)·b，則|c|_.解析：由題意可得a·b2×14×(2)6，ca(a·b)·ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8.答案：88已知向量a，b滿足(2ab)·(ab)6，且|a|2，|b|1，則a與b的夾角為_解析：(2ab)·(ab)6，2a2a·bb26，又|a|2，|b|1，a·b1，

17、cosa，b，又a，b0，a與b的夾角為.答案：9已知a(，2)，b(3，2)，如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是_解析：a與b的夾角為銳角，則a·b>0且a與b不共線，則解得<或0<<或>，所以的取值范圍是.答案：10.如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，BAD60°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，則·的最大值為_解析：設(shè)，因?yàn)镹在菱形ABCD內(nèi)，所以01,01.所以··()2·2×4×2×2×445.所以0·9，所以當(dāng)1時(shí)，·

18、有最大值9，此時(shí)，N位于C點(diǎn)答案：9三、解答題11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m與n的夾角為，求x的值解：(1)若mn，則m·n0.由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin xcos x0，tan x1.(2)m與n的夾角為，m·n|m|n|cos1×1×，即sin xcos x，sin.又x，x，x，即x.12已知在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m(sin A，sin B)，n(cos B，cos A)，m·nsin 2C.(1)求角C的大??；(2)若sin A，sin C，sin B成等差數(shù)列，且·