微分方程數(shù)值解試題庫(kù)2011

1、- 常分方程數(shù)值解法試題一及答案-1用歐拉法解初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)h=0.2.計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)。解：h=0.2, f(x)=yxy2.首先建立歐拉迭代公式 當(dāng)k=0，x1=0.2時(shí)，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.800 0當(dāng)k1，x2=0.4時(shí)，已知x1=0.2, y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.614 4當(dāng)k=2，x3=0.6時(shí)，已知x2=0.4,y2=0.614 4，有y(0.6)»y3=0.2×0.614 4

2、15;(40.4×0.4613)0.800 02對(duì)于初值問(wèn)題試用(1)歐拉法；(2)歐拉預(yù)報(bào)校正公式；(3)四階龍格庫(kù)塔法分別計(jì)算y(0.2),y(0.4)的近似值.3證明求解初值問(wèn)題的梯形公式是 yk+1=yk+, h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 4將下列方程化為一階方程組 （1） （2） （3）5取步長(zhǎng)h = 0.2再用四階龍格庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6下列各題先用龍格庫(kù)塔法求表頭，然后用阿當(dāng)姆斯法繼續(xù)求以后各值（1）（2）7試確定公式中的系數(shù)，使之成為一個(gè)四階方法8. ,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得9. 并求滿足初始條

3、件：x=0,y=1的特解.解：對(duì)原式進(jìn)行變量分離得：- 常分方程數(shù)值解法試題二及答案-1用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)h=0.2,計(jì)算 y(0.2),y(0.4)的近似值，計(jì)算過(guò)程保留5位小數(shù).l解：步長(zhǎng)h=0.2, 此時(shí)f(x,y)=yy2sinx.歐拉預(yù)報(bào)校正公式為：有迭代公式： 當(dāng)k=0，x0=1, y0=1時(shí)，x1=1.2，有當(dāng)k=1，x1=1.2, y1=0.71549時(shí)，x2=1.4，有=0.52608 2試寫(xiě)出用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代誤差不超過(guò)105.3證明求解初值問(wèn)題的梯形公式是 yk+1=yk+,

4、h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 4求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域5取步長(zhǎng)h = 0.2再用四階龍格庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6用差分法求方程的數(shù)值解（h = 0.2）7 解：原式可化為：- 常分方程數(shù)值解法試題三及答案-1寫(xiě)出用四階龍格庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，取步長(zhǎng)h=0.2計(jì)算y(0.4)的近似值.計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù).解：此處f(x,y)=83y, 四階龍格庫(kù)塔法公式為 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)本例計(jì)算公式為： 其中 k1=83 yk；k2=5.62.1

5、yk；k3=6.322.37yk; k4=4.2081.578yk當(dāng)x0=0,y0=2,2對(duì)于初值問(wèn)題試用(1)歐拉法；(2)歐拉預(yù)報(bào)校正公式；(3)四階龍格庫(kù)塔法分別計(jì)算y(0.2),y(0.4)的近似值.3用法解初值問(wèn)題，證明：其截?cái)嗾`差為，這里，是法的近似解.4求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域5取步長(zhǎng)h = 0.2再用四階龍格庫(kù)塔方法解初值并用前題比較結(jié)果。6用差分法求方程的數(shù)值解（h = 0.2）7試確定公式中的系數(shù)，使之成為一個(gè)四階方法8.9.- 常分方程數(shù)值解法試題四及答案-1設(shè)初值問(wèn)題，證明用梯形公式求解該問(wèn)題的近似解為 證明：解初值問(wèn)題的梯形公式為(k=0,1,2,n1)整理成顯式

6、( k=0,1,2,n1)用k=n,n1,n2,1,0反復(fù)代入上式，得到2試寫(xiě)出用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代誤差不超過(guò)105.3將下列方程化為一階方程組 （1） （2） （3）4取步長(zhǎng)h = 0.2用四階龍格庫(kù)塔方法解5求出梯形格式的絕對(duì)穩(wěn)定性區(qū)域6用經(jīng)典的四階公式解初值問(wèn)題 取.7用二階展開(kāi)法求初值問(wèn)題 的解在時(shí)的近似值（取步長(zhǎng)，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位）.89解： ，這是齊次方程，令- 常分方程數(shù)值解法試題五及答案-1 選擇填空題：1取步長(zhǎng)h=0.1, 用歐拉法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式是 答案：解答：歐拉法的公式 此處，迭代公式為

7、2對(duì)于初值問(wèn)題試用(1)歐拉法；(2)歐拉預(yù)報(bào)校正公式；(3)四階龍格庫(kù)塔法分別計(jì)算y(0.2),y(0.4)的近似值.3證明求解初值問(wèn)題的梯形公式是 yk+1=yk+, h=xk+1xk (k=0,1,2,n1)， 4用法解初值問(wèn)題，證明：其截?cái)嗾`差為，這里，是法的近似解.5用改進(jìn)的Euler公式求解初值問(wèn)題，證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解6取步長(zhǎng)h = 0.2用四階龍格庫(kù)塔方法解7用四步顯式公式求解初值問(wèn)題 取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.8. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 9.- 常分方程數(shù)值解法試題六及答案-1改進(jìn)歐拉法的平均形式公式是( )(A) (B

8、) (C) (D)2試寫(xiě)出用歐拉預(yù)報(bào)校正公式求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式，并取步長(zhǎng)h=0.1，求y(0.2)的近似值.要求迭代誤差不超過(guò)105.3試證線性二步法當(dāng)時(shí)方法為二階，當(dāng)時(shí)方法為三階4取步長(zhǎng)h = 0.2用四階龍格庫(kù)塔方法解5用差分法求方程的數(shù)值解（h = 0.2）6用四步顯式公式求解初值問(wèn)題 取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.7用經(jīng)典的四階公式解初值問(wèn)題 取.8. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得9.求具有性質(zhì) x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x(0)存在。解：令t=s=0 x(0)= 若x(0)0 得x=-1矛盾。所以x(0)=0. x(t)=) 兩邊積分得ar

9、ctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 當(dāng)t=0時(shí) x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t- 常分方程數(shù)值解法試題七及答案-1求解初值問(wèn)題歐拉法的局部截?cái)嗾`差是( ); 改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差是( ); 四階龍格庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差是( )(A)O(h2) (B)O(h3) (C)O(h4) (D)O(h5)2用平均形式改進(jìn)歐拉法公式求解初值問(wèn)題在x=0.2,0.4,0.6處的近似值.3將下列方程化為一階方程組 （1） （2） （3）4取步長(zhǎng)h = 0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問(wèn)題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。5試建立求解初值問(wèn)題 的如下數(shù)值解法 其中，（

10、）6用四步顯式公式求解初值問(wèn)題 取步長(zhǎng).小數(shù)點(diǎn)后至少保留六位.- 常分方程數(shù)值解法試題八及答案-1改進(jìn)歐拉預(yù)報(bào)校正公式是 改進(jìn)歐拉法平均形式公式為yp= , yc= ，yk+1= 試說(shuō)明它們是同一個(gè)公式.2用平均形式改進(jìn)歐拉法公式求解初值問(wèn)題在x=0.2,0.4,0.6處的近似值.3試證線性二步法當(dāng)時(shí)方法為二階，當(dāng)時(shí)方法為三階4取步長(zhǎng)h = 0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問(wèn)題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。5下列各題先用龍格庫(kù)塔法求表頭，然后用阿當(dāng)姆斯法繼續(xù)求以后各值（1）（2）6求方程的數(shù)值解（取h = 0.2）。7試建立求解初值問(wèn)題 的如下數(shù)值解法 其中，（）- 常分方程數(shù)值解法試題九及答案-1設(shè)四

11、階龍格庫(kù)塔法公式為 其中 k1=f(xk,yk)；k2=f(xn+h，yk+hk1)；k3=f(xk+h，yn+hk2)；k4=f(xk+h，yk+hk3)取步長(zhǎng)h=0.3，用四階龍格庫(kù)塔法求解初值問(wèn)題的計(jì)算公式是 .2用法解初值問(wèn)題，證明：其截?cái)嗾`差為，這里，是法的近似解.3取步長(zhǎng)h = 0.1用改進(jìn)歐拉法解初值問(wèn)題試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。4用改進(jìn)的Euler公式求解初值問(wèn)題，證明其近似解為，并證明當(dāng)時(shí)，它收斂于原初值問(wèn)題的準(zhǔn)確解5求方程的數(shù)值解（取h = 0.2）。6試建立求解初值問(wèn)題 的如下數(shù)值解法 其中，（）7用二階展開(kāi)法求初值問(wèn)題 的解在時(shí)的近似值（取步長(zhǎng)，小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位）.- 常分方程數(shù)值解法試題十及答案-1用歐拉法解初值問(wèn)題，取步長(zhǎng)h=0.2.計(jì)算過(guò)程保留4位小數(shù)。解：h=0.2, f(x)=yxy2.首先建立歐拉迭代公式 當(dāng)k=0，x1=0.2時(shí)，已知x0=0,y0=1，有y(0.2)»y1=0.2×1(40×1)0.800 0當(dāng)k1，x2=0.4時(shí)，已知x1=0.2, y1=0.8，有y(0.4)»y2=0.2×0.8×(40.2×0.8)0.614 4當(dāng)k=2，x3=0.6時(shí)，已知x2=0.4,y2=0.614 4，有y(0.6)»y3=0.2