第四章不定積分

1、 應(yīng)用數(shù)學(xué)精品課程電子教案 hanlianjun第四章 不定積分本章討論的問題尋求一個可導(dǎo)函數(shù),使它的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù).即求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算-不定積分.第一節(jié) 不定積分的概念和性質(zhì)要求:理解原函數(shù)的概念和不定積分的概念,了解原函數(shù)存在定理、積分曲線的概念.初步掌握基本積分表和不定積分的性質(zhì).重點(diǎn):原函數(shù)、不定積分的概念，基本積分表和不定積分的性質(zhì).難點(diǎn):不定積分的概念.積分曲線的概念,運(yùn)用基本積分表和不定積分的性質(zhì)求不定積分.4教學(xué)時(shí)一. 原函數(shù)與不定積分的概念定義1.如果區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為,即.都有或那么函數(shù)就稱為(或)在區(qū)間I上的原函數(shù).例如: 所以的原函數(shù). ,所以是的原函數(shù).當(dāng)時(shí),

2、.所以是在內(nèi)的原函數(shù).關(guān)于原函數(shù)的問題:1 原函數(shù)的存在問題：一個函數(shù)具備什么條件時(shí)它的原函數(shù)一定存在？2 原函數(shù)的結(jié)構(gòu)問題:一個函數(shù)如果存在原函數(shù),其原函數(shù)的個數(shù)有多少?這些原函數(shù)的關(guān)系如何表達(dá)? 原函數(shù)存在定理:如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).那么在區(qū)間上存在可導(dǎo)函數(shù),使對任一都有 即連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù). 原函數(shù)和結(jié)構(gòu)問題:設(shè)在區(qū)間上的一個原函數(shù),那么對任意常數(shù)C有 即對任意常數(shù)C,函數(shù)也是的原函數(shù).這說明.如果有一個原函數(shù),那么就有無窮多個原函數(shù).設(shè)的另一個原函數(shù),則,有.于是所以 (為某個常數(shù))這表明只差一個常數(shù).因此當(dāng)C為任意常數(shù)時(shí),表達(dá)式 就可以表示的任意一個原函數(shù),也就是說, 的全體原

3、函數(shù)所組成的集合,即函數(shù)族.定義2:在區(qū)間上,函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分,記作,其中記號稱為積分號, 稱為被積函數(shù), 稱為被積表達(dá)式, 稱為積分變量.即如果是的一個原函數(shù),那么就是的不定積分.即 =因此不定積分可以表示的任意一個原函數(shù).例1. 求解:由于,所以是的一個原函數(shù).因此 =+C例2.求.解:當(dāng)時(shí),由于,所以在內(nèi)的原函數(shù),因此在內(nèi),有 .當(dāng)時(shí),由于,所以當(dāng)時(shí),由于內(nèi)的原函數(shù),因此在內(nèi).把以上結(jié)果綜合起來,得.例3.設(shè)曲線通過點(diǎn),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍,求此曲線的方程.解:設(shè)所求曲線方程為,由題設(shè)曲線上任一點(diǎn)處的切線斜率為.即的原函數(shù),因?yàn)楣?/p>

4、必存在某個常數(shù)C,使.因?yàn)樗笄€通過點(diǎn),故 .于是所求曲線方程為.函數(shù)的原函數(shù)的圖形稱為的積分曲線.例3即是求函數(shù)的通過點(diǎn)的那條積分曲線.不定積分與微分(求導(dǎo))互為逆運(yùn)算:由于是的原函數(shù) .所以或.又由于是的原函數(shù),所以.由此可見微分運(yùn)算(以記號表示)與求不定積分的運(yùn)算(簡稱積分運(yùn)算以記號表示)是互逆的,記號與一起時(shí)或者抵消,或者抵消后差一常數(shù).二. 基本積分表1.為常數(shù))2. .3.4. .5. .6. .7. 8. 9. .10. 11. 12. 13. 14. 15. 以上十五個基本積分公式是求不定積分的基礎(chǔ),必須熟記.例4.求.解: 例5. 三.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1.設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存

5、在,則 性質(zhì)2.設(shè)函數(shù)的原函數(shù)存在, 為非零常數(shù),則 .例6.求.解: .例7.求解: 例8. 求.解: 小結(jié):1.原函數(shù)的定義;2.原函數(shù)的存在定理和結(jié)構(gòu);3.不定積分的定義;4不定積分與微分(或求導(dǎo))互為逆運(yùn)算;5.不定積分的性質(zhì)6.基本積分表(要求熟記).作業(yè)第二節(jié) 換元積分法利用基本積分積分表與積分性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，因此，有必要進(jìn)一步來研究不定積分的求法。換元積分法是求不定積分的一種重要方法。要求：掌握換元積分法。重點(diǎn)：第一換元積分法、第二換元積分法。難點(diǎn)：第一換元積分法中中間變量的選取,靈活地地應(yīng)用微分公式湊微分；第二換元積分法中適當(dāng)連續(xù)單調(diào)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不定

6、積分，求出不定積分后用回代。共8學(xué)時(shí)。一、 第一換元積分法定理1（第一換元積分法）設(shè)函數(shù)在所討論的區(qū)間上可微，又設(shè)，則有 證明：因?yàn)?，由定義則有：由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得所以 的一個原函數(shù)，故 第一類換元積分法的解題步驟：設(shè)要求如果被積函數(shù)可化為的形式，那么= =注：第一換元積分法的關(guān)鍵是如何選取，并將湊成微分的形式，因此，第一換元積分法又稱為“湊微分”法。例1、 求例2、 求（1）（2）例3、 求； 例4、 求不定積分：（1）（2）例5、 求不定積分例6、 求例7、 求下列不定積分：（1）；（2）；（3）例8、 求下列不定積分（其中）：（1）；（2）；（3）作業(yè)：二、第二換元積分法定理2、（

7、第二換元積分法）設(shè)是可微函數(shù)，并有可微反函數(shù)，若則 證明 由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)求導(dǎo)法則，得所以 的一個原函數(shù)。故 第二換元積分法的解題步驟：1、第二換元積分法的常見形式之一：被積函數(shù)中含有的不定積分，令，即作變換。例1 求不定積分。解：令，即，這樣就就去掉被積函數(shù)中的根號，此時(shí)，于是例2 求不定積分：（1）；（2）解：（1）令（2）令2、第二換元積分法的常見形式之二：被積函數(shù)中含有二次根式，的不定積分。這三種根式通常采用三角換元的方法可去掉根號：含時(shí)，設(shè)；含時(shí)，設(shè)；含時(shí)，設(shè)。例3 求下列不定積分（其中）：（1）C；（2）；（3）。解：（1）令 再由（2）設(shè)（3）設(shè)第二換元積分法主要解決含根式的積

8、分電路問題，但也要具體問題具體分析，如積分等，使用第一換元積分電路法更為簡便。不定積分公式（續(xù)）（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）。作業(yè)：P140 T3（3）（6） T4（1）（3）（5）。第三節(jié) 分部積分法重點(diǎn)：分部積分法公式的使用，正確地選取函數(shù)求出不定積分。難點(diǎn)：用分部積分法時(shí)，掌握選擇的原則，使不定積分的計(jì)算容易求出。教學(xué)時(shí)間：4教學(xué)時(shí)教學(xué)過程：一、 分部積分公式設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，由，得兩邊積分，有即 式稱為分部積分公式，使用分部積分公式求不定積分的方法稱為分部積分法。分部積分法的核心是將不易求出的積分轉(zhuǎn)化為較易求出的積分，而關(guān)鍵是把

9、積分寫成的形式，這個形式就是要正確地選取，使積分比積分容易求出。以下通過例子說明分部積分公式適用的題型及如何選擇。例1 求；解：令 此題若令 這樣新得到的積分反而比原積分更難求了。所以然在分部積分法中，的選擇不是任意的，如果選取不當(dāng)，就得不出結(jié)果。在通常情況下，按以下兩個原則選擇：（1）要容易求，這是使用分部積分公式的前提；（2）要比容易求出，這是使用分部積分公式的目的。例2求；解：設(shè)注：在分部積分法中，的選擇有一定規(guī)律的。當(dāng)被函數(shù)為冪函數(shù)與正（余）弦或指數(shù)函數(shù)的乘積時(shí)，往往選取冪函數(shù)為例3、求；解：為使容易求得，選取 例4求；解：設(shè)例5求。解： 注：如果被積函數(shù)含有對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)，可以

10、用考慮用分部積分當(dāng)，并設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為。注：在分部積分法應(yīng)用熟練后，可把認(rèn)定的，記在心里在而不寫出來，直接在分部積分公式中應(yīng)用。例6求；解：由于上式第三項(xiàng)就是所求的積分，把它移到等式左邊，得故 注：如果被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積，可任選項(xiàng)其一為，但一經(jīng)選定，在后面的解題過程中要始終選項(xiàng)其為。注：有時(shí)求一個不定積分，需要將換元積分法和分部積分法結(jié)合起來使用。（如下例）例7求解：先去根號，設(shè)特別注意：盡管所有初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的原函數(shù)都存在，但其原函數(shù)不一定都是初等函數(shù)。例如：及例8求下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；例9已知F(x)在-1，1上連續(xù)，在（-1，1）內(nèi)，且，求F(x)；例10已知f(x)的一個原函數(shù)是(1+sinx)lnx，求（1）；（2）；解：由已知得注：同理可解題（2）。例11，故原式=。例12；例13；例14已知一個原函數(shù)是，求；解：由題設(shè)，于是有，故；例15已知，求；課堂小結(jié)：1、分部積分公式：即 2、選擇函數(shù)、的原則：（1）要容易求，這是使用分部積分公式的前提；