優(yōu)化設(shè)計作業(yè)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上作業(yè)1. 闡述優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的三要素。寫出一般形式的數(shù)學(xué)模型。答：建立最優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型的三要素： （1）決策變量和參數(shù)。決策變量是由數(shù)學(xué)模型的解確定的未知數(shù)。參數(shù)表示系統(tǒng)的控制變量，有確定性的也有隨機(jī)性的。 （2）約束或限制條件。 由于現(xiàn)實系統(tǒng)的客觀物質(zhì)條件限制，模型必須包括把決策變量限制在它們可行值之內(nèi)的約束條件，而這通常是用約束的數(shù)學(xué)函數(shù)形式來表示的。 （3）目標(biāo)函數(shù)。 這是作為系統(tǒng)決策變量的一個數(shù)學(xué)函數(shù)來衡量系統(tǒng)的效率，即系統(tǒng)追求的目標(biāo)。2. 闡述設(shè)計可行域和不可行域的基本概念答：約束對設(shè)計點在設(shè)計空間的活動范圍有所限制。凡滿足所有約束條件的設(shè)計點，它在設(shè)計

2、空間中的可能活動范圍，稱可行設(shè)計區(qū)域(可行域)。不能滿足所有約束條件的設(shè)計空間便是不可行設(shè)計區(qū)域(不可行域)。3、無約束局部最優(yōu)解的必要條件？答： （1）一元函數(shù)(即單變量函數(shù)) 極值點存在的必要條件 如果函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f(x)存在的話，則欲使x*為極值點的必要條件為： f(x*)=0 但使f(x*)=0的點并不一定部是極值點；使函數(shù)f(x)的一階導(dǎo)數(shù)f(x)=0的點稱為函數(shù)f(x)的駐點；極值點(對存在導(dǎo)數(shù)的函數(shù))必為駐點，但駐點不一定是極值點。至于駐點是否為極值點可以通過二階導(dǎo)數(shù)f(x)=0來判斷。 （2）n元函數(shù)在定義域內(nèi)極值點X*存在的必要條件為 即對每一個變量的一階偏導(dǎo)數(shù)值必

3、須為零，或者說梯度為零(n維零向量)。 f(X*)=0是多元函數(shù)極值點存在的必要條件，而并非充分條件；滿足f(X*)=0的點X*稱為駐點，至于駐點是否為極值點，尚須通過二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣來判斷。3. 闡述約束優(yōu)化問題最優(yōu)解的K-T條件。答：K-T條件可闡述為：如果X(k)是一個局部極小點，則該點的目標(biāo)函數(shù)梯度f(X(k)可表示成該點諸約束面梯度為gu(X(k)、hv(X(k)的如下線性組合：式中：q在X(k)點的不等式約束面數(shù)； j在X(k)點的等式約束面數(shù)； u(u=1,2,q)、v(v=1,2,j)非負(fù)值的乘子，亦稱拉格朗日乘子。如無等式約束，而全部是不等式約束，則式(3-20)中j0，第三項

4、全部為零。 也可以對K-T條件用圖形來說明。式(3-20)表明，如果X(k)，是一個局部極小點，則該點的目標(biāo)函數(shù)梯度f(X(k)應(yīng)落在該點諸約束面梯度gu(X(k)、hv(X(k)在設(shè)計空間所組成的錐角范圍內(nèi)。如圖3-12所示，圖(a)中設(shè)計點X(k)不是約束極值點，圖(b)的設(shè)計點X(k)是約束極值點。 5. 給出圖中的可行設(shè)計點、邊界設(shè)計點和不可行設(shè)計點。6題圖 二維設(shè)計空間答：內(nèi)點X(1)、邊界點X(3) 均為可行設(shè)計點，邊界點X(3) 為邊界設(shè)計點，外點X (2)則為不可行設(shè)計點。6、根據(jù)逼近思想所構(gòu)造的優(yōu)化計算方法的基本規(guī)則是什么？答：基本思想是：在設(shè)計空間從一個出始設(shè)計點X(0)開

5、始，應(yīng)用某一規(guī)定的算法，沿某一方向S(0)和步長(0)產(chǎn)生改進(jìn)設(shè)計的新點X(1)，使得f(X(1)f(X(0)，然后再從X(1)點開始，仍應(yīng)用同一算法，沿某一方向S(1)和步長(1)，產(chǎn)生又有改進(jìn)的設(shè)計新點X(2)，使得f(X(2)f(X(1)，這樣一步一步地搜索下去，使目標(biāo)函數(shù)值步步下降，直至得到滿足所規(guī)定精度要求的、逼近理論極小點的X*點為止。7、數(shù)值迭代計算中，通常采用哪三種終止條件？答： 1)點距準(zhǔn)則 當(dāng)相鄰兩迭代點X(k)，X(k+1)之間的距離已達(dá)到充分小時，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù)時，迭代終止。一般用兩個迭代點向量差的模來表示，即 用X(k+1)和X(k)在各坐標(biāo)軸上的分量

6、差來表示，即 2)函數(shù)下降量準(zhǔn)則 當(dāng)相鄰兩迭代點X(k)，X(k+1)的目 標(biāo) 函數(shù)值的下降量已達(dá)到充分小時。即小于或等于規(guī)定的萊一很小正數(shù)時，迭代終止。一般用目標(biāo)函數(shù)值下降量的絕對值來表示，即 3)梯度準(zhǔn)則 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)在迭代點X(k+1)的梯度已達(dá)到充分小時，即小于或等于規(guī)定的某一很小正數(shù)時，迭代終止。一般用梯度向量的模來表示，即 8. 對于約束極值問題試運用K-T條件檢驗點是否為約束極值點。9. 說明函數(shù)梯度的性質(zhì)。答：(l)函數(shù)f(X)在其定義空間內(nèi)某一點處的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點處的梯度在這個方向上的投影；(2)梯度是矢量。函數(shù)在其定義空間中的某一點處，其梯度標(biāo)志著函數(shù)值增加最快或最速

7、上升的方向。注意，這僅是指f(X)在該點附近而言，函數(shù)在其定義空間中的每一個點處都對應(yīng)著一個確定的梯度向量。負(fù)梯度方向必是函數(shù)值減小最快或最速下降的方向；(3)在目標(biāo)函數(shù)等值線或等值面上的每一點處，函數(shù)的梯度f(X)指向函數(shù)等值線或等值面的外法向，亦即最速上升方向；函數(shù)在與其梯度正交的方向上變化率為零；(4)線性目標(biāo)函數(shù)的梯度是一個常值向量，即在其定義空間中，其梯度處處相同； 10.將優(yōu)化問題s.t. 的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線勾畫出來，并確定：（1）可行域的范圍(用陰影線畫出)。（2）無約束最優(yōu)解、，約束最優(yōu)解、。（3）若再加入等式約束，約束最優(yōu)解、。10. 如圖所示為機(jī)床主軸計算簡圖。在設(shè)

8、計時，有兩個重要因素需要考慮，即主軸的自重和伸出端C點的撓度。試建立機(jī)床主軸以主軸自重最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型。其中，C點的撓度：；E為彈性模量。材料的密度為；外力F給定。11、選用優(yōu)化算法時，一般需考慮哪幾個因素？答：選擇優(yōu)化方法應(yīng)綜合考慮：1)設(shè)計變量是連續(xù)的還是離散的以及維數(shù)的多少。維數(shù)較低可選用結(jié)構(gòu)簡單易于編程的方法，維數(shù)高的則應(yīng)選擇收斂速度較快的方法。2)目標(biāo)函數(shù)是單目標(biāo)還是多目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)的連續(xù)性及其一階、二階偏導(dǎo)數(shù)是否存在以及是否易于求得，對于求導(dǎo)困難或?qū)?shù)不存在的應(yīng)避免求導(dǎo)而采用直接法。3)有無約束，約束條件是不等式約束，還是等式約束，還是兩者同時兼有。如具有等式約束，顯然

9、不能直接采用復(fù)合形法，內(nèi)點懲罰函數(shù)法。12.用外點法和用內(nèi)點法求解，最優(yōu)化問題的懲罰函數(shù)。答：用內(nèi)點法求解 D：g(X)=x-10的約束最優(yōu)化問題。懲罰函數(shù)為13. 優(yōu)化迭代逼近搜索中是在每一迭代點X(k)上利用函數(shù)在該點鄰近局部性質(zhì)的信息，確定一個搜索方向S(k+1)和搜索步長a，求新的迭代點X(k+1)X(k)+S(k+1)。其中，最速下降法（梯度法）、共軛梯度法和牛頓法的搜索方向是如何確定？ 14. 什么是共軛梯度法答：共軛梯度法是共軛方向發(fā)中的一種，因為在該方法中每一個共軛響亮都是依賴于迭代點處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軛梯度法。尋求共軛方向作為探索方向的最優(yōu)化方法稱為共軛梯度法

10、。15. 闡述變尺度法的基本思想答：變尺度法的基本思想梯度法和阻尼牛頓法的迭代公式，即 X(k+1)= X(k)(k)f(X(k) X(k+1)= X(k)(k)H(X(k)-1f(X(k) 變尺度法所構(gòu)成的迭代公式為 X(k+1)= X(k)(k) A(k)f(X(k) （5-18）變尺度法的搜索方向應(yīng)為S(k) = A(k)f(X(k)；A(k)是根據(jù)需要構(gòu)造的一個n×n階對稱矩陣。若在初始點X(0)取A(0)為單位矩陣I，則式(5-18)為的梯度法代公式，搜索方向為負(fù)梯度方向。迭代過程不斷地修正構(gòu)造矩陣A(k)，使它在整個迭代過程中逐步地逼近目標(biāo)函數(shù)在極小點處的赫森矩陣的逆矩陣

11、。當(dāng)A(k)H(X(k)-1時，式(5-18)為阻尼牛頓法迭代公式。這樣,當(dāng)?shù)c逼近最優(yōu)點時,搜索方向趨于牛頓方向。這種構(gòu)想,綜合了梯度法和牛頓法的優(yōu)點,不計算H(X(k)-1,而用變化的構(gòu)造矩陣A(k)去逼近它。構(gòu)造矩陣A(k)在迭代過程中是變化的,稱為變尺度矩陣。由于變尺度法的迭代形式與牛頓法類似,不同的是在迭代公式中用A(k) 來逼近H(X(k)-1，所以又稱為“擬牛頓法”變尺度法的搜索方向S(k)= A(k)f(X(k),最終要逼近牛頓方向 S(k)= H(X(k)-1f(X(k)，故又稱為擬牛頓方向。16. 分析比較牛頓法、梯度法和Powell法的特點。答：梯度法 方法特點：需計算

12、一階偏導(dǎo)數(shù)。方法簡單，可靠性較好，可穩(wěn)定地使函數(shù)值下降。對初始點要求不嚴(yán)。但收斂速度十分緩慢，特別是當(dāng)?shù)c進(jìn)入最優(yōu)點鄰域時，更為嚴(yán)重。使用條件：目標(biāo)函數(shù)必須存在一階偏導(dǎo)數(shù)。適于精度要求不高的優(yōu)化問題。牛頓法 方法特點：具有二次收斂性，在極值點附近收斂速度快。但要計算函數(shù)的Hessian矩陣及其逆陣。準(zhǔn)備工作量大，程序復(fù)雜，所需貯存量大。要求迭代點Hessian矩陣非奇異且為定型（正定或負(fù)定），要求初始點靠近極值點。可靠性較差。使用條件：目標(biāo)函數(shù)存在一階或二階偏導(dǎo)數(shù)。 鮑威爾法 方法特點：屬于共軛方向法。具有直接法的共同優(yōu)點，且具有二次收斂性，收斂速度較快，可靠性也比較好。存貯量少。程序較復(fù)雜

13、。使用條件：用于維數(shù)較高的目標(biāo)函數(shù)（50維以下）其他同上。 17. 已知約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型 試寫出混合型罰函數(shù)。18. 外點法和混合懲罰函數(shù)法都可處理同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題，兩種方法在構(gòu)造懲罰函數(shù)時有何主要區(qū)別？19. 設(shè)約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型為試用混合懲罰函數(shù)法構(gòu)造該問題的懲罰函數(shù)。20. 確定目標(biāo)函數(shù)、設(shè)計變量、約束條件應(yīng)注意哪些問題？選擇優(yōu)化方法應(yīng)掌握哪些原則？ ¡ 答：目標(biāo)函數(shù)是以設(shè)計變量表示設(shè)計所要追求的某種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用來評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度。¡ 對于不同的機(jī)械設(shè)計有不同的衡量評價標(biāo)準(zhǔn)。¡ 從使用性能出發(fā)，有要求效率最高，功

14、率利用率最好，可靠性最好，測量或運動傳遞誤差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，盡可能滿足某動力學(xué)參數(shù)要求等等。¡ 從結(jié)構(gòu)型式出發(fā)，有要求重量最輕，體積最小等等。¡ 從經(jīng)濟(jì)性考慮，有要求成本最低，工時最少，生產(chǎn)率最高，產(chǎn)值最大等等。¡ 往往要求同時兼顧幾方面的要求。¡ 一般說來，目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計結(jié)果越趨完善，但優(yōu)化設(shè)計的難度也相應(yīng)增加。實際使用中應(yīng)盡量控制目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目，抓問題的主要矛盾，針對影響機(jī)械設(shè)計的質(zhì)量和使用性能最重要、最顯著的問題來建立目標(biāo)函數(shù)，保證重點要求的實現(xiàn)，其余的要求可處理成設(shè)計約束來加以保證。¡ 設(shè)計變量是在設(shè)計過

15、程中需要進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨立參數(shù)。¡ 凡能影響設(shè)計質(zhì)量或結(jié)果的可變參數(shù)均可作為設(shè)計變量¡ 總原則應(yīng)該在確保優(yōu)化效果的前提下,盡可能地減少設(shè)計變量。¡ 在優(yōu)化設(shè)計中，對某一種參數(shù)是否作為設(shè)計變量，必須考察這種參數(shù)是否能夠控制，實行起來是否便利，制造加工成本如何以及允許調(diào)整范圍等實際問題。¡ 參數(shù)中對優(yōu)化目標(biāo)影響最大的那些獨立參數(shù)作為設(shè)計變量。¡ 力求選取容易控制調(diào)整的參數(shù)作為設(shè)計變量。¡ 對有關(guān)材料的機(jī)械性能，由于可供選用的材料往往是有限的，而且它們的機(jī)械性能又常常需要采用試驗的方法來確定，無法直接控制，所以作設(shè)計常量處理較

16、為合理。那些根據(jù)以往經(jīng)驗或資料可確定的參數(shù)，受工廠條件限制無法隨意變動的參數(shù)，也都應(yīng)取作設(shè)計常量。¡ 對于應(yīng)力、應(yīng)變、壓力、撓度、功率、溫度等等設(shè)計者不能直接判斷，而是一些具有一定函數(shù)關(guān)系式計算出的因變量，當(dāng)它們在數(shù)學(xué)上易于消去時，也可不定為設(shè)計變量。但如果避免這種參數(shù)在數(shù)學(xué)上有困難,可取為設(shè)計變量。 ¡ 設(shè)計約束是考慮邊界和性能對設(shè)計變量取值的限制條件。¡ 邊界約束規(guī)定設(shè)計變量的取值范圍，在優(yōu)化設(shè)計中，先對每個設(shè)計變量都給出明確的上、下界限約束是完全可能的。盡管其中某些約束會由于引入其它約束條件成為不起作用的消極約束，但對求解中確定計算初始點，估計可行區(qū)域，判斷結(jié)果合理性等都會帶來好處。¡ 在優(yōu)化設(shè)計中，對于一個性能指標(biāo)，可以取為目標(biāo)函數(shù)，也可以定為設(shè)計約束(或稱為性能約束)。如機(jī)械設(shè)