第六章定積分

1、第六章 定積分第一節(jié) 定積分的概念思考題： 1. 如何表述定積分的幾何意義？根據(jù)定積分的幾何意義推出下列積分的值： （1）, （2）, （3）, （4）. 解：若在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時(shí)，在幾何上表示由曲線，直線及軸所圍平面圖形面積的負(fù)值. （1）由下圖（1）所示，. 2A(2) -1 -1 1 1 1A1A (1) 1 -1 3A4A5A2 (3) 11(4)（2）由上圖（2）所示，.（3）由上圖（3）所示，.（4）由上圖（4）所示，.2. 若當(dāng)，有，下面兩個(gè)式子是否均成立，為什么？（1）, （2）.答：由定積分的比較性質(zhì)知（1）式成立，而不定積分的結(jié)果表示一

2、族函數(shù)，與不能比較大小，故（2）式不成立.3. 個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值與連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值有何區(qū)別與聯(lián)系？答：二者均反映了多個(gè)數(shù)的平均值大小，后者是前者的推廣，但個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值是有限個(gè)數(shù)的平均值，而連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的平均值反映的是無限個(gè)數(shù)的平均值，前者計(jì)算公式是,后者計(jì)算公式是.習(xí)作題：1. 用定積分的定義計(jì)算定積分,其中為一定常數(shù).解：任取分點(diǎn),把分成個(gè)小區(qū)間，小區(qū)間長(zhǎng)度記為=-,在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)作乘積的和式：,記, 則.2. 利用定積分的估值公式，估計(jì)定積分的值.解：先求在上的最值，由 , 得或.比較 的大小，知，由定積分的估值公式，得,即 .3. 求函數(shù)在閉區(qū)間-1，1上的平

3、均值.解：平均值.4. 利用定積分的定義證明.證明：令,則，任取分點(diǎn),把分成個(gè)小區(qū)間，并記小區(qū)間長(zhǎng)度為，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作乘積的和式,記, 則 .第二節(jié) 微積分基本公式思考題：1. ?答：因?yàn)槭且詾樽宰兞康暮瘮?shù)，故=0.2. 答：因?yàn)槭浅?shù)，故.3. ？ 答：因?yàn)榈慕Y(jié)果中不含，故0.4. ？ 答：由變上限定積分求導(dǎo)公式，知.5. ？ 答：.6. 若，則=？ 答：=.7. 當(dāng)為積分區(qū)間上的分段函數(shù)時(shí)，問如何計(jì)算定積分？試舉例說明.答：分段函數(shù)的定積分應(yīng)采用定積分關(guān)于積分區(qū)間的分割性質(zhì)，將分解為部分區(qū)間上的定積分來計(jì)算.例如：若 則=+=.8. 對(duì)于定積分，湊微分法還能用嗎？為什么？答：能

4、用.因?yàn)槎ǚe分是通過被積函數(shù)的原函數(shù)來計(jì)算，而湊微分法所得原函數(shù)不須作變量置換.習(xí)作題：1. 計(jì)算下列定積分（1）, （2）, （3）.解：（1）=+ =1.（2）=+ =4+.（3）=+ =2+2=4.2. 求極限.解：此極限是“”型未定型，由洛必達(dá)法則，得 =3. 計(jì)算下列各題：（1）， （2）， （3）, （4）,（5）, （6）, （7）,（8）, （9）, （10）,（11）, （12）, （13）.解：（1）=.（2）=.（3）.（4）=.（5）.（6）.（7）=.（8）= =. (9) =.(10) =.（11）=.（12）=.（13）=.第三節(jié) 定積分的積分方法思考題：1. 下

5、面的計(jì)算是否正確，請(qǐng)對(duì)所給積分寫出正確結(jié)果：（1）= = =.（2）=2=2.答：（1）不正確，應(yīng)該為：=.（2）不正確，應(yīng)該為： =2.2. 定積分與不定積分的換元法有何區(qū)別與聯(lián)系？答：定積分與不定積分的換元法的區(qū)別在于：不定積分換元積分后要作變量回代，定積分在換元時(shí)要同時(shí)變換積分限，而不用作變量回代. 聯(lián)系在于：二者均要求置換的變?cè)獑握{(diào)可導(dǎo)，且選擇變?cè)囊?guī)律相同.3. 利用定積分的幾何意義，解釋奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分所具有的規(guī)律.答：如圖, 設(shè)在上滿足0，則表示由曲線，直線，及軸所圍圖形的面積，不妨記為，則當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，(如下圖(1)所示)，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，(如下圖(2)所示).xyOa-aAAxya-aAAO（1） （2）習(xí)作題:1. 計(jì)算下列定積分:(1), (2).解：（1）令=, 則,當(dāng)= 0 時(shí)，= 0 ; 當(dāng)= 4 時(shí)， 于是=.（2）=.2. 計(jì)算下列定積分：（1）, （2）,（3）, （4）.解：（1）=.(2) = .(3) = =0=移項(xiàng)合并得.（4）=.第四節(jié) 廣義積分思考題:1. 下列解法是否正確？為什么？.答：不正確.因?yàn)樵冢洗嬖跓o窮間斷點(diǎn) ， 不能直接應(yīng)用公式計(jì)算，事實(shí)上，=+=+=+=+不存在,故發(fā)散.2. 指出下面廣義積分的計(jì)算錯(cuò)誤:.答：本題計(jì)算