復變函數(shù)與積分變換復習重點

1、復變函數(shù)復習重點 (一)復數(shù)的概念1.復數(shù)的概念：，是實數(shù), . 注：一般兩個復數(shù)不比較大小，但其模（為實數(shù)）有大小.2.復數(shù)的表示1）模：；2）幅角：在時，矢量與軸正向的夾角，記為（多值函數(shù)）；主值是位于中的幅角。3）與之間的關系如下： 當 ； 當；4）三角表示：，其中；注：中間一定是“+”號。5）指數(shù)表示：，其中。 (二) 復數(shù)的運算1.加減法：若，則2.乘除法：1）若，則； 。2）若, 則； 3.乘冪與方根1） 若，則。2） 若，則（有個相異的值）（三）復變函數(shù)2復初等函數(shù)1）指數(shù)函數(shù)：，在平面處處可導，處處解析；且。注：是以為周期的周期函數(shù)。（注意與實函數(shù)不同）3） 對數(shù)函數(shù)： （多值

2、函數(shù)）；主值：。（單值函數(shù)）的每一個主值分支在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且；注：負復數(shù)也有對數(shù)存在。（與實函數(shù)不同）3）乘冪與冪函數(shù)：；注：在除去原點及負實軸的平面內處處解析，且。4）三角函數(shù)： 在平面內解析，且注：有界性不再成立；（與實函數(shù)不同）（四）解析函數(shù)的概念1復變函數(shù)的導數(shù)1）點可導：=；2）區(qū)域可導： 在區(qū)域內點點可導。2解析函數(shù)的概念1）點解析： 在及其的鄰域內可導，稱在點解析；2）區(qū)域解析： 在區(qū)域內每一點解析，稱在區(qū)域內解析；3）若在點不解析，稱為的奇點；3解析函數(shù)的運算法則：解析函數(shù)的和、差、積、商（除分母為零的點）仍為解析函數(shù)；解析函數(shù)的復合函數(shù)仍為解析函數(shù)；（五

3、）函數(shù)可導與解析的充要條件1函數(shù)可導的充要條件：在可導和在可微，且在 處滿足條件： 此時， 有。2函數(shù)解析的充要條件：在區(qū)域內解析和在在內可微，且滿足條件：；此時。注意： 若在區(qū)域具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則在區(qū)域內是可微的。因此在使用充要條件證明時，只要能說明具有一階連續(xù)偏導且滿足條件時，函數(shù)一定是可導或解析的。3函數(shù)可導與解析的判別方法1）利用定義 （題目要求用定義，如第二章習題1）2）利用充要條件 （函數(shù)以形式給出，如第二章習題2）3）利用可導或解析函數(shù)的四則運算定理。（函數(shù)是以的形式給出，如第二章習題3）（六）復變函數(shù)積分的概念與性質1 復變函數(shù)積分的概念：，是光滑曲線。注：復變函數(shù)的積分實

4、際是復平面上的線積分。2 復變函數(shù)積分的性質1） （與的方向相反）；2） 是常數(shù)；3） 若曲線由與連接而成，則。3復變函數(shù)積分的一般計算法1）化為線積分：；（常用于理論證明）2）參數(shù)方法：設曲線： ，其中對應曲線的起點，對應曲線的終點，則 。（七）關于復變函數(shù)積分的重要定理與結論1柯西古薩基本定理：設在單連域內解析，為內任一閉曲線，則 2復合閉路定理： 設在多連域內解析，為內任意一條簡單閉曲線，是內的簡單閉曲線，它們互不包含互不相交，并且以為邊界的區(qū)域全含于內，則 其中與均取正向； ，其中由及所組成的復合閉路。3閉路變形原理 ： 一個在區(qū)域內的解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因在內作連續(xù)變形而改變它

5、的值，只要在變形過程中不經(jīng)過使不解析的奇點。4解析函數(shù)沿非閉曲線的積分： 設在單連域內解析，為在內的一個原函數(shù)，則 說明：解析函數(shù)沿非閉曲線的積分與積分路徑無關，計算時只要求出原函數(shù)即可。5。 柯西積分公式：設在區(qū)域內解析，為內任一正向簡單閉曲線，的內部完全屬于，為內任意一點，則6高階導數(shù)公式：解析函數(shù)的導數(shù)仍為解析函數(shù)，它的階導數(shù)為 其中為的解析區(qū)域內圍繞的任何一條正向簡單閉曲線，而且它的內部完全屬于。7重要結論：。 （是包含的任意正向簡單閉曲線）8復變函數(shù)積分的計算方法1）若在區(qū)域內處處不解析，用一般積分法2）設在區(qū)域內解析，l 是內一條正向簡單閉曲線，則由柯西古薩定理， l 是內的一條非

6、閉曲線，對應曲線的起點和終點，則有3）設在區(qū)域內不解析l 曲線內僅有一個奇點：（在內解析）l 曲線內有多于一個奇點：（內只有一個奇點） 或：（留數(shù)基本定理）l 若被積函數(shù)不能表示成，則須改用第五章留數(shù)定理來計算。（八）解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系1調和函數(shù)的概念：若二元實函數(shù)在內有二階連續(xù)偏導數(shù)且滿足，為內的調和函數(shù)。2解析函數(shù)與調和函數(shù)的關系l 解析函數(shù)的實部與虛部都是調和函數(shù)，并稱虛部為實部的共軛調和函數(shù)。l 兩個調和函數(shù)與構成的函數(shù)不一定是解析函數(shù)；但是若如果滿足柯西黎曼方程，則一定是解析函數(shù)。3已知解析函數(shù)的實部或虛部，求解析函數(shù)的方法。1）偏微分法：若已知實部，利用條件，得；對兩邊積分，

7、得 （*）再對（*）式兩邊對求偏導，得 （*） 由條件，得，可求出 ；代入（*）式，可求得 虛部 。 2）線積分法：若已知實部，利用條件可得，故虛部為；由于該積分與路徑無關，可選取簡單路徑（如折線）計算它，其中與 是解析區(qū)域中的兩點。3）不定積分法：若已知實部，根據(jù)解析函數(shù)的導數(shù)公式和條件得知， 將此式右端表示成的函數(shù)，由于仍為解析函數(shù)，故 （為實常數(shù)）注：若已知虛部也可用類似方法求出實部（九）復數(shù)項級數(shù)1復數(shù)列的極限1）復數(shù)列（）收斂于復數(shù)的充要條件為 （同時成立）2）復數(shù)列收斂實數(shù)列同時收斂。2復數(shù)項級數(shù)1）復數(shù)項級數(shù)收斂的充要條件是級數(shù)與同時收斂；2）級數(shù)收斂的必要條件是。注：復數(shù)項級數(shù)

8、的斂散性可以歸納為兩個實數(shù)項級數(shù)的斂散性問題的討論。（十）冪級數(shù)的斂散性1冪級數(shù)的概念：表達式或為冪級數(shù)。2冪級數(shù)的斂散性1）冪級數(shù)的收斂定理阿貝爾定理(Abel)：如果冪級數(shù)在處收斂，那么對滿足的一切，該級數(shù)絕對收斂；如果在處發(fā)散，那么對滿足的一切，級數(shù)必發(fā)散。2）冪級數(shù)的收斂域圓域冪級數(shù)在收斂圓域內，絕對收斂；在圓域外，發(fā)散；在收斂圓的圓周上可能收斂；也可能發(fā)散。3）收斂半徑的求法：收斂圓的半徑稱收斂半徑。l 比值法 如果，則收斂半徑；l 根值法 ，則收斂半徑；l 如果，則；說明在整個復平面上處處收斂；如果，則；說明僅在或點收斂；注：若冪級數(shù)有缺項時，不能直接套用公式求收斂半徑。（如）3冪

9、級數(shù)的性質1）代數(shù)性質：設的收斂半徑分別為與，記，則當時，有 （線性運算） （乘積運算）2）復合性質：設當時，當時，解析且，則當時，。3） 分析運算性質：設冪級數(shù)的收斂半徑為，則l 其和函數(shù)是收斂圓內的解析函數(shù)；l 在收斂圓內可逐項求導，收斂半徑不變；且 l 在收斂圓內可逐項求積，收斂半徑不變； （十一）冪函數(shù)的泰勒展開1. 泰勒展開：設函數(shù)在圓域內解析，則在此圓域內可以展開成冪級數(shù) ；并且此展開式是唯一的。注：若在解析，則在的泰勒展開式成立的圓域的收斂半徑；其中為從到的距最近一個奇點之間的距離。 2常用函數(shù)在的泰勒展開式1） 2） 3） 4） 3解析函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法1）直接法：直接求

10、出，于是。2）間接法：利用已知函數(shù)的泰勒展開式及冪級數(shù)的代數(shù)運算、復合運算和逐項求導、逐項求積等方法將函數(shù)展開。（十二）冪函數(shù)的洛朗展開 1. 洛朗級數(shù)的概念：，含正冪項和負冪項。 2洛朗展開定理：設函數(shù)在圓環(huán)域內處處解析，為圓環(huán)域內繞的任意一條正向簡單閉曲線，則在此在圓環(huán)域內，有 ，且展開式唯一。3解析函數(shù)的洛朗展開法：洛朗級數(shù)一般只能用間接法展開。*4利用洛朗級數(shù)求圍線積分：設在內解析，為內的任何一條正向簡單閉曲線，則 。其中為在內洛朗展開式中的系數(shù)。說明：圍線積分可轉化為求被積函數(shù)的洛朗展開式中的系數(shù)。（十三）孤立奇點的概念與分類1。 孤立奇點的定義 ：在點不解析,但在的內解析。2。孤立

11、奇點的類型：1）可去奇點：展開式中不含的負冪項；2）極點：展開式中含有限項的負冪項；其中在解析，且；3）本性奇點：展開式中含無窮多項的負冪項； （十四）孤立奇點的判別方法1可去奇點：常數(shù)；2極點：3本性奇點：不存在且不為。4零點與極點的關系1）零點的概念：不恒為零的解析函數(shù)，如果能表示成，其中在解析，為正整數(shù)，稱為的級零點；2）零點級數(shù)判別的充要條件是的級零點3）零點與極點的關系：是的級零點是的級極點；4）重要結論若分別是與的級與級零點，則l 是的級零點；l 當時，是的級零點；當時，是的級極點；當時，是的可去奇點；l 當時，是的級零點，當時，是的級零點，其中（十五）留數(shù)的概念 1留數(shù)的定義：設為的孤立奇點，在的去心鄰域內解析，為該域內包含的任一正向簡單閉曲線，則稱積分為在的留數(shù)（或殘留），記作 2留數(shù)的計算方法若是的孤立奇點，則，其中為在的去心鄰域內洛朗展開式中的系