麥克斯韋氣體速率分布律

1、§66 麥克斯韋氣體速率分布律Maxwell Velocity Distribution大家知道，由氣體的溫度公式可以得出氣體分子的方均根速率。例如在時，氦氣。氧氣。但我們要注意的是，方均根速率僅是運動速率的一種統(tǒng)計平均值，并非氣體分子都以方均根速率運動。事實上，處于平衡狀態(tài)下的任何一種氣體，各個分子均以不同的速率、沿各個方向運動著。有的速率大于方均根速率，有的速率小于方均根速率，它們的速率可以取零到無窮大之間的任意值。而且由于氣體分子間的相互碰撞，每個分子的速度也在不斷地改變，所以在某一時刻，對某個分子來說，其速度的大小和方向完全是偶然的。然而就大量分子整體而言，在平衡狀態(tài)下，分子

2、的速率分布遵守一個完全確定的統(tǒng)計性分布規(guī)律又是必然的。下面我們介紹麥克斯韋應用統(tǒng)計理論和方法導出的分子速率分布規(guī)律。氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律，最早是由麥克斯韋于1859年在概率論的基礎上導出的，1877年玻耳茲曼由經(jīng)典統(tǒng)計力學中也導出該規(guī)律。由于技術條件的限制，測定氣體分子速率分布的實驗，直到本世紀二十年代才實現(xiàn)。1920年斯特恩（O.Stern首先測出銀蒸汽分子的速率分布；1934年我國物理學家葛正權測出鉍蒸汽分子的速率分布；1955年密勒（Mlier和庫士（Kusch測出釷蒸汽分子的速率分布。斯特恩實驗是歷史上最早驗證麥克斯韋速率分布律的實驗。限于數(shù)學上的原因和本課程的要求，我們不推導

3、這個定律，只介紹它的一些基本內容。 *麥克斯韋（J. C. Maxwell，18311879）英國物理學家，經(jīng)典電磁理論的奠基人，氣體動理論的創(chuàng)始人之一。他提出了有旋電場和位移電流概念，建立了經(jīng)典電磁理論，這個理論包括電磁現(xiàn)象的所有基本定律，并預言了以光速傳播的電磁波的存在。1873年，他的電磁學通論問世，這本書凝聚著杜費、富爛克林、庫侖、奧斯特、安培、法拉第的心血，這是一本劃時代巨著，它與牛頓時代的自然哲學的數(shù)學原理并駕齊驅，它是人類探索電磁規(guī)律的一個里程碑。在氣體動理論方面，他還提出氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律。一、測定氣體分子速率的實驗1實驗裝置A 蒸汽源，常用汞蒸汽 BC 速度選擇器D

4、 顯示屏2實驗原理當圓盤B、C以角速度轉動時，每轉動一周，分子射線通過圓盤一次，由于分子的速率不一樣，分子由B到C的時間不一樣，所以并非所有通過B的分子都能夠通過C達到顯示屏D，只有速率滿足下式的分子才能通過C達到D即 實際上當圓盤B、C以角速度轉動時，能射到顯示屏D上的，只有分子射線中速率在vv+v區(qū)間內的分子。3實驗結果當圓盤以不同的角速率轉動時，從顯示屏上可測量出每次所沉積的金屬層的厚度，各次沉積的厚度對應于不同速率間隔內的分子數(shù)，比較這些厚度，就可以知道在分子射線中，在不同速率間隔內的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率，即相對分子數(shù)。1）分子數(shù)在總分子數(shù)中所占的比率與速率和速率間隔的大小有關；2）

5、速率特別大和特別小的分子數(shù)的比率非常??；3）在某一速率附近的分子數(shù)的比率最大；4）改變氣體的種類或氣體的溫度時，上述分布情況有所差別，但都具有上述特點。 二、麥克斯韋分子速率分布定律1速率分布函數(shù)令N表示一定量的氣體所包含的總分子數(shù)，dN表示速率分布在vv+dv內的分子數(shù)，dN/N表示在這一速率區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。由實驗可知，dN/N與dv成正比，且與速率v有關，我們把這個關系寫成如下的形式式中 此函數(shù)能夠定量地反映給定氣體在平衡態(tài)下速率分布的具體情況，我們把這個函數(shù)稱為速率分布函數(shù)。2麥克斯韋氣體分子速率分布律1859年，麥克斯韋運用統(tǒng)計理論導出氣體分子按速率分布的規(guī)律：當氣體

6、處于平衡態(tài)時，分布在任一速率間隔vv+dv內的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為 這個結論稱為麥克斯韋速率分布律。式中 m是分子的質量；T是熱力學溫度；k是玻耳茲曼常量。而為 速率分布函數(shù)f(v的物理意義：f(v表示氣體分子在速率v附近單位速率間隔內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率?；驓怏w任一分子速率恰在v附近單位速率間隔內的幾率。這樣f(v的大小就定量地反映了在溫度T時，分子按速率分布的具體情況。如果畫出f(v v的變化曲線，也就是速率分布曲線，如右圖，它與實驗得到的分布結果吻合。說明速率分布函數(shù)是符合實際的。為了加深地理解，我們作以下說明： 1）幾率：在任一速率區(qū)間vv+dv上，取以分布函數(shù)的量值為高，以

7、速率間隔dv為寬的窄條的面積為，也就是分布在該區(qū)間內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率；或任一分子速率恰在該區(qū)間隔的幾率。2）表示速率分布在v1v2內的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率?；蛘f任一分子速率恰在v1v2區(qū)間隔的幾率。3）歸一化條件（Normalization Condition） 速率分布曲線下的總面積，表示各個速率區(qū)間內分子數(shù)的百分率的總和，即百分之百，應等于1。 這個關系是由f(v本身的意義所決定的，或者說是f(v必須滿足的條件，故稱其為分布函數(shù)的歸一化條件。4）速率分布曲線以速率v為橫軸，以速率分布函數(shù)f(v為縱軸，可作出速率分布曲線。由此曲線可看出，曲線有一極大值，與此極大值對應的速率叫最

8、概然速率（最可幾速率），它的物理意義在下面討論，另外從速率分布曲線的形狀看出：具有很大速率和很小速率的分子的百分比都很小。三、氣體分子的三種統(tǒng)計速率氣體分子的速率可以在零到無窮大之間，速率很大和很小的分子的相對分子數(shù)較小，而具有中等速率的分子所占總分子數(shù)的比率較大。這里討論三種具有代表性的分子的速率，它們是分子速率的三種統(tǒng)計值。1最概然速率（the most probable speed）1）定義：從f(v與v的關系曲線圖中可以看出，f(v有一極大值，與f(v的極大值相對應的速率叫做最概然速率，用vp表示。2）物理意義：在一定溫度下，氣體分子分布在最概然速率附近的單位速率間隔內的相對分子數(shù)最大

9、。它的值是由速率分布函數(shù)對v求一階導數(shù)并令其為零得到，即因而可得用摩爾質量表示，有注意：最概然速率并不是最大速率。2平均速率（mean speed）1）定義：大量氣體分子速率的算術平均值叫做平均速率，用表示。2）計算：如取dN代表氣體分子在vv+dv間隔內的分子數(shù)，則平均速率可由積分計算由速率分布函數(shù)可得 因而平均速率為考慮到 和積分公式 得平均速率為 用摩爾質量表示，有3方均根速率（root-mean-square speed）前面我們曾根據(jù)理想氣體的溫度公式求得了氣體分子的方均根速率，那么用速率分布函數(shù)也可以求得同樣的結論。由平均值的定義可得。1）定義：速率平方平均值的平方根。2）計算：對于氣體分子考慮到 和積分公式 得平均速率為用摩爾質量表示，有4關于三種速率的討論1）三種速率都與溫度的平方根成正比，與質量的平方根或摩爾質量的平方根成反比溫度高，vp大摩爾質量大，vp小2）三種速率的大小順序為，且 3）三種速率各有不同的含義，也各有不同的意義討論速率分布時用最概然速率討論分子碰撞時用平均速率討論分子平均平動動能時用方均根速率例4試求氮氣分子的平均平動動能、方均根