(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)

1、(一)完全平方數(shù)的性質(zhì)  一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱(chēng)這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：  0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,  觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對(duì)它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。下面我們來(lái)研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：  性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。  性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字

2、為偶數(shù)。  證明奇數(shù)必為下列五種形式之一：  10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9  分別平方后，得  (10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1  (10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9  (10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5  (10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9  (

3、10a+9)=100+180a+81=20   (5a+9a+4)+1  綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。  性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。  證明已知=10k+6，證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6，所以m的個(gè)位數(shù)為4或6，于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則  10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6  或10k

4、+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6  即k=10+8n+1=2(5+4n)+1  或k=10+12n+3=2(5+6n)+3  k為奇數(shù)。  推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，而個(gè)位數(shù)字不是6，那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。  推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6，則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。  性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。  這是因?yàn)?2k+1)=4k(k+1)+1  (2k)=4&#

5、160; 性質(zhì)5：奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。  在性質(zhì)4的證明中，由k(k+1)一定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。  性質(zhì)6：平方數(shù)的形式必為下列兩種之一：3k,3k+1。  因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類(lèi)：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分別得  (3m)=9=3k  (3m+1)=9+6m+1=3k+1  (3m+2)=9+12m+4=3k+1&#

6、160; 同理可以得到：  性質(zhì)7：不能被5整除的數(shù)的平方為5k±1型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。  性質(zhì)8：平方數(shù)的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。  除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字

7、再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題：  一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。  下面以四位數(shù)為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)命題。  設(shè)四位數(shù)為，則  = 1000a+100b+10c+d   = 999a+99b+9c+(a+b+c+d)   = 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)  顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。  對(duì)于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。 

8、; 關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)：  性質(zhì)9：完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。  證明因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4這幾種形式，而  (9k)=9(9)+0  (9k±1)=9(9±2k)+1  (9k±2)=9(9±4k)+4  (9k±3)=9(9±6k)+9 

9、 (9k±4)=9(9±8k+1)+7  除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：  性質(zhì)10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。  證明充分性：設(shè)b為平方數(shù)，則  =(ac)  必要性：若為完全平方數(shù)，=，則    性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a，但不能整除a，則a不是完全平方數(shù)。  證明由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p，但無(wú)因子，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，p的次方為1，而完全平方數(shù)分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，各質(zhì)因子的次方

10、均為偶數(shù)，可見(jiàn)a不是完全平方數(shù)。  性質(zhì)12：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù)，即若  <k<(n+1)  則k一定不是完全平方數(shù)。  性質(zhì)13：一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子(包括1和n本身)。  (二)重要結(jié)論  1.個(gè)位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  2.個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  3.個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)

11、；  4.形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  5.形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  6.形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  7.形如8n+2, 8n+3, 8n+5, 8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；  8.數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。  (三)范例  例1：一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。  解：設(shè)此

12、自然數(shù)為x，依題意可得  (m,n為自然數(shù))  (2)-(1)可得  n>m  (  但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。  例2：求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1，等于一個(gè)奇數(shù)的平方(1954年基輔數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。  分析設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為，其中n為整數(shù)。欲證  是一奇數(shù)的平方，只需將它通過(guò)因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。  證明設(shè)這四個(gè)整數(shù)之

13、積加上1為m，則            而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。  例3：求證：11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒(méi)有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。  分析形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即  或  在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。  證明若

14、，則    因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。  若，則    因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。  綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。  另證由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過(guò)，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)。  例4：試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)。  證明  = &#

15、160;=+1  =4+8+1  =4()(9+1)+8+1  =36()+12+1  =(6+1)  即為完全平方數(shù)。  例5：用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒(méi)有可能是完全平方數(shù)？  解：設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A，則其數(shù)字和為600  36003A  此數(shù)有3的因子，故9A。但9600，矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。  例6：試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相

16、同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請(qǐng)賽試題)。  解：設(shè)此數(shù)為    此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。因此11a + b，而a,b為0,1,2,9，故共有(2,9),(3,8), (4,7),(9,2)等8組可能。  直接驗(yàn)算，可知此數(shù)為7744=88。  例7：求滿(mǎn)足下列條件的所有自然數(shù)：  (1)它是四位數(shù)。  (2)被22除余數(shù)為5。  (3)它是完全平方數(shù)。  解：

17、設(shè)，其中n,N為自然數(shù)，可知N為奇數(shù)。  11N - 4或11N + 4  或  k = 1  k = 2  k = 3  k = 4  k = 5  所以此自然數(shù)為1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。 &

18、#160;例8：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣(mài)價(jià)又恰為n元，全部賣(mài)完后，兩人分錢(qián)方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元(第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)？  解：n頭羊的總價(jià)為元，由題意知元中含有奇數(shù)個(gè)10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6。所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙2元。  例9：矩形四邊的長(zhǎng)度都是小于10的整數(shù)(單位：公分)，這四個(gè)長(zhǎng)度數(shù)可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)矩形的面積(1986年縉云杯初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)。  解：設(shè)矩形的邊長(zhǎng)