中考專題--幾何綜合之旋轉專題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第四講 旋轉專題例題1. 點在同一直線上，點在直線的同側，直線交于點.（1）如圖，若，則_；如圖，若，則_；（2）如圖，若，則_（用含的式子表示）；（3）將圖中的繞點旋轉（點不與點重合），得圖或圖.在圖中，與的數(shù)量關系是_；在圖中，與的數(shù)量關系是_.請你任選其中一個結論證明.思路點撥 從特殊到一般，在動態(tài)的旋轉過程中，有兩組不變的關系：，這是解本例的關鍵.例2.如圖1，是等腰直角三角形，四邊形是正方形，、分別在、邊上，此時，成立（1）當正方形繞點逆時針旋轉（）時，如圖2，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由（2）當正方形繞點逆時針旋轉時，如圖3，延長交于點求證

2、：；當，時，求線段的長例3. 在正方形的邊上任取一點，作交于點，取的中點，連接，如圖，易證且.（1）將繞點逆時針旋轉，如圖，則線段和有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請直接寫出你的猜想.（2）將繞點逆時針旋轉，如圖，則線段和有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？請寫出你的猜想，并加以證明.例4. 如圖，在等邊中，點是邊的中點，點是線段上的動點（點與點不重合），連接.將繞點按順時針方向旋轉角（），得到，連接，射線分別交射線、射線于點.（1）如圖，當時，在角變化過程中，與始終存在_關系（填“相似”或“全等”），并說明理由；（2）如圖，設.當時，有角變化過程中，是否存在與全等？若存在，求出與之間的數(shù)量關系；若不存在

3、，請說明理.（3）如圖，當時，點與點重合.已知，設，的面積為，求關于的函數(shù)關系式.例5. 將兩塊全等的直角三角形紙片ABC和DEF疊放在一起，其中ACB=E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，點D與邊AB的中點重合，將DEF繞著點D旋轉（1）如圖1，如果EDF的邊DE經(jīng)過點C，另一邊DF與邊AC交于點G，求GC的長；（2）如圖2，如果EDF的邊DF、DE分別交邊BC于點M、N，設CN=x、BM=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并求它的定義域；（3）如圖3，如果EDF的邊DF、DE分別交邊AC于點M、N，如果DMN是等腰三角形，求AN的值例6. 已知，直角三角形ABC中，C=90&#

4、176;，點D、E分別是邊AC、AB的中點，BC=6（1）如圖1，動點P從點E出發(fā)，沿直線DE方向向右運動，則當EP=時，四邊形BCDP是矩形；（2）將點B繞點E逆時針旋轉如圖2，旋轉到點F處，連接AF、BF、EF設BEF=°，求證：ABF是直角三角形；如圖3，旋轉到點G處，連接DG、EG已知BEG=90°，求DEG的面積例7.如圖1，點O為正方形ABCD的中心（1）將線段OE繞點O逆時針方向旋轉90°,點E的對應點為點F，連結EF，AE，BF，請依題意補全圖1；（2）根據(jù)圖1中補全的圖形，猜想并證明AE與BF的關系；（3）如圖2，點G是OA中點，EGF是等腰直角

5、三角形，H是EF的中點，EGF=90°，AB=22，GE=2，EGF繞G點逆時針方向旋轉角度，請直接寫出旋轉過程中BH的最大值例8. 如圖1，在ABC中，CA=CB，ACB=90°，D是ABC內部一點，ADC=135°，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE，連接DE（1）依題意補全圖形；請判斷ADC和CDE之間的數(shù)量關系，并直接寫出答案（2）在（1）的條件下，連接BE，過點C作CMDE，請判斷線段CM，AE和BE之間的數(shù)量關系，并說明理由（3）如圖2，在正方形ABCD中，AB=2，如果PD=1，BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離

6、例9.如圖1，在ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開始繞點B順時針旋轉，旋轉角為（0°180°）（1）當BAC=60°時，將BP旋轉到圖2位置，點D在射線BP上若CDP=120°，則ACDABD（填“”、“=”、“”），線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關系是；（2）當BAC=120°時，將BP旋轉到圖3位置，點D在射線BP上，若CDP=60°，求證：BDCD=3AD；（3）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉，當30°180°時，點D是直線BP上一點（點P不在線段BD上），若CDP=120°，請直接寫出線段BD

7、、CD與AD之間的數(shù)量關系（不必證明）例10.已知：點D是等腰直角三角形ABC斜邊BC所在直線上一點（不與點B重合），連接AD（1）如圖1，當點D在線段BC上時，將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到線段AE，連接CE求證：BD=CE，BDCE（2）如圖2，當點D在線段BC延長線上時，探究AD、BD、CD三條線段之間的數(shù)量關系，寫出結論并說明理由；（3）若BD=3CD，直接寫出BAD的度數(shù)例11.如圖1，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，EAC=90°，點M為射線AE上任意一點（不與A重合），連接CM，將線段CM繞點C按順時針方向旋轉90°得到線

8、段CN，直線NB分別交直線CM、射線AE于點F、D（1）直接寫出NDE的度數(shù)；（2）如圖2、圖3，當EAC為銳角或鈍角時，其他條件不變，（1）中的結論是否發(fā)生變化？如果不變，選取其中一種情況加以證明；如果變化，請說明理由；（3）如圖4，若EAC=15°，ACM=60°，直線CM與AB交于G，BD=6+22，其他條件不變，求線段AM的長例12.已知正方形ABCD和正方形EBGF共頂點B，連AF，H為AF的中點，連EH，正方形EBGF繞點B旋轉（1）如圖1，當F點落在BC上時，求證：EH=12FC；（2）如圖2，當點E落在BC上時，連BH，若AB=5，BG=2，求BH的長；（3

9、）當正方形EBGF繞點B旋轉到如圖3的位置時，求EHCF的值例13.已知正方形和等腰，按圖甲放置，使點在上，取 的中點，連接 探索的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由； 將圖甲中繞點順時針旋轉得圖乙，連接，取的中點，問中的結論是否成立？并說明理由； 將圖甲中繞點轉動任意角度（旋轉角在到之間）得圖丙，連接，取的中點，問中的結論是否成立，請說明理由例14.如圖，ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DEAB，將CDE繞點C按順時針方向旋轉得到CDE（使BCE180°），連接AD、BE，設直線BE與AC、AD分別交于點O、E（1）若ABC為等邊三角形，則AD'BE'的值為1，

10、求AFB的度數(shù)；（2）若ABC滿足ACB=60°，AC=3，BC=2，求AD'BE'的值和AFB的度數(shù)；若E為BC的中點，求OBC面積的最大值例15.已知，在中，過點的直線從與邊重合的位置開始繞點按順時針方向旋轉角，直線交邊于點（點不與點、點重合），的邊始終在直線上（點在點的上方），且，連接（1）當時，如圖a，當時，的度數(shù)為_；如圖b，當時，中的結論是否發(fā)生變化？說明理由；（2）如圖c，當時，請直接寫出與之間的數(shù)量關系，不必證明例16.兩個大小相同且含30°角的三角板和如圖擺放，使直角頂點重合將圖中繞點逆時針旋轉30°得到圖，點、分別是、與的交點，

11、點是與的交點（1）不添加輔助線，寫出圖中所有與全等的三角形；（2）將圖中的繞點逆時針旋轉45°得，點、對應點分別為、，如圖探究線段與之間的數(shù)量關系，并寫出推理過程；（3）在（2）的條件下，若與交于點，求證：例17.如圖1，在中，點為邊中點，直線繞頂點旋轉，若點，在直線的異側，直線于點直線于點，連接，（1）延長交于點（如圖2）求證：；求證：；（2）若直線繞點旋轉到圖3的位置時，點，在直線的同側，其它條件不變，此時還成立嗎？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（3）若直線繞點旋轉到與邊平行的位置時，其它條件不變，請直接判斷四邊形的形狀及此時還成立嗎？不必說明理由例18.已知是等腰直

12、角三角形，是邊上一動點（、兩點除外），將繞點按逆時針方向旋轉角得到，其中點是點的對應點，點是點的對應點（1）如圖1，當時，是邊上一點，且，連接求證：；（2）如圖2，當時，與相交于點當點與點、不重合時，連接，求的度數(shù)；設為邊的中點，當從變化到時，求點運動的路徑長例19.已知正方形ABCD的邊長為4，一個以點A為頂點的45°角繞點A旋轉，角的兩邊分別與邊BC、DC的延長線交于點E、F，連接EF設CE=a，CF=b（1）如圖1，當EAF被對角線AC平分時，求a、b的值；（2）當AEF是直角三角形時，求a、b的值；（3）如圖3，探索EAF繞點A旋轉的過程中a、b滿足的關系式，并說明理由例20

13、. 已知：點P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點（點不與點A、C重合），分別過點A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點E、F，點O為AC的中點.（1）當點P與點O重合時如圖1，易證OE=OF（不需證明）.（2）直線BP繞點B逆時針方向旋轉，當OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明. 例21. 在ABC中，AB=AC，A=60°，點D是線段BC的中點，EDF=120°，DE與線段AB相交于點EDF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F（1）如圖1，若DFAC

14、，垂足為F，AB=4，求BE的長；（2）如圖2，將（1）中的EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F求證：BE+CF=AB；（3）如圖3，將（2）中的EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DNAC于點N，若DNAC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BECF）例22. 在ABC中，AB=BC=2，ABC=90°，BD為斜邊AC上的中線，將ABD繞點D順時針旋轉（0°180°）得到EFD，其中點A的對應點為點E，點B的對應點為點FBE與FC相交于點H（1）如圖1，直接寫出BE與FC的數(shù)量關系： ；（2）

15、如圖2，M、N分別為EF、BC的中點求證：MN=；（3）連接BF，CE，如圖3，直接寫出在此旋轉過程中，線段BF、CE與AC之間的數(shù)量關系： 例23.如圖1，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，AC，BD相交于點O （1）求邊AB的長；（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別于邊BC，CD相交于E，F(xiàn)，連接EF與AC相交于點G判斷AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；旋轉過程中是否存在線段EF最短，若存在，求出最小值，若不存在，請說明理由例24.在RtABC中，A=90°，AC=

16、AB=4，D，E分別是邊AB，AC的中點，若等腰RtADE繞點A逆時針旋轉，得到等腰RtAD1E1，設旋轉角為（0180°），記直線BD1與CE1的交點為P（1）如圖1，當=90°時，線段BD1的長等于 ，線段CE1的長等于 ；（直接填寫結果）（2）如圖2，當=135°時，求證：BD1=CE1，且BD1CE1；（3）求點P到AB所在直線的距離的最大值（直接寫出結果）例25.在正方形ABCD中，對角線AC與BD交于點O；在RtPMN中，MPN=90°（1）如圖1，若點P與點O重合且PMAD、PNAB，分別交AD、AB于點E、F，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關

17、系；（2）將圖1中的RtPMN繞點O順時針旋轉角度（0°45°）如圖2，在旋轉過程中（1）中的結論依然成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；如圖2，在旋轉過程中，當DOM=15°時，連接EF，若正方形的邊長為2，請直接寫出線段EF的長；如圖3，旋轉后，若RtPMN的頂點P在線段OB上移動（不與點O、B重合），當BD=3BP時，猜想此時PE與PF的數(shù)量關系，并給出證明；當BD=mBP時，請直接寫出PE與PF的數(shù)量關系例26.如圖，QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，QPN=，將QPN繞點P旋轉，旋轉過程中QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD

18、和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）（1）如圖，當=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系是 ；（2）如圖，將圖中的正方形ABCD改為ADC=120°的菱形，其他條件不變，當=60°時，（1）中的結論變?yōu)镈E+DF=AD，請給出證明；（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數(shù)量關系，直接寫出結論，不用加以證明例27. 如圖1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A、B、E在同一條直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC若ABC=BEF=60°（1

19、）請直接寫出線段PG與PC的位置關系及的值（2）若將圖1中的菱形BEFG饒點B順時針旋轉，使菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，原問題中的其他條件不變，如圖2那么你在（1）中得到的結論是否發(fā)生變化？若沒變化，直接寫出結論，若有變化，寫出變化的結果（3）在圖1中，若ABC=BEF=2（0°90°），將菱形BEFG饒點B順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請直接寫出的值（用含的式子表示）例28.如圖所示，在和中，AB=AC,AD=AE,，且點B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點（1）求證：BE=CD；AMN是

20、等腰三角形；（2）在圖的基礎上，將ADE繞點A按順時針方向旋轉180°，其他條件不變，得到圖所示的圖形請直接寫出（1）中的兩個結論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請你在圖中延長ED交線段BC于點P求證：PBDAMN例29.如圖1，和都是等腰直角三角形，點在線段上，點在線段上（1）請直接寫出線段與線段的關系：_；（2）如圖2，將圖1中的繞點順時針旋轉角（），（1）中的結論是否成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；當時，探究在旋轉的過程中，是否存在這樣的角，使以、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出角的度數(shù)；若不存在，請說明理由例30.如圖，在中，.將直

21、角三角板的直角頂點放在線段的中點上，以點為旋轉中心，轉動三角板并使三角板的兩直角邊分別與相交于點，連，交于點.（1）求證：；（2）設線段的長為，的面積為，求與的函數(shù)關系式；（3）當三角板旋轉到時，求的長.例31. 如圖，中，于點，點在上，且，連結（1）求證：；（2）將繞點旋轉，得到（點，分別與點，對應），連接如圖，當點落在上時，（不與重合），若，求的長；如圖，當是由繞點逆時針旋轉得到時，設射線與相交于點，連接，試探究線段與之間滿足的等量關系，并說明理由例32. 如圖1，在四邊形中，點、分別是、的中點，過點作的垂線，過點作的垂線，兩垂線交于點，連接、，且（1）求證：；（2）求證：；（3）如圖2，

22、若、所在直線互相垂直，求的值例33. 已知是等腰直角三角形，連接，點是的中點（1）如圖1，若點在邊上，連接，當時，求的長；（2）如圖2，若點在的內部，連接，點是中點，連接，求證：；（3）如圖3，將圖2中的繞點逆時針旋轉，使，連接，點是中點，連接，探索的值并直接寫出結果例34. 已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點逆時針旋轉45°，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG問（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；（3）將圖中BEF繞B點旋

23、轉任意角度，如圖所示，再連接相應的線段，問（1）中的結論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結論（均不要求證明）例35. 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM（1）求證：AMBENB；（2）當M點在何處時，AM+CM的值最小；當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當AM+BM+CM的最小值為時，求正方形的邊長例36. 如圖甲，在ABC中，ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF解答下列問題：（1）如果AB=

24、AC，BAC=90°，當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CF，BD之間的位置關系為，數(shù)量關系為當點D在線段BC的延長線時，如圖丙，中的結論是否仍然成立，為什么？（2）如果ABAC，BAC90°，點D在線段BC上運動試探究：當ABC滿足一個什么條件時，CFBC（點C，F(xiàn)重合除外）畫出相應圖形，并說明理由（畫圖不寫作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，求線段CP長的最大值例37. 已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD探究下列問題：（1）如圖1，當點D與點C位于直線AB的兩側

25、時，a=b=3，且ACB=60°，則CD=；（2）如圖2，當點D與點C位于直線AB的同側時，a=b=6，且ACB=90°，則CD=；（3）如圖3，當ACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側時，求 CD的最大值及相應的ACB的度數(shù)例38. 在ABC中，點D在AC上，點E在BC上，且DEAB，將CDE繞點C按順時針方向旋轉得到CDE（使BCE180°），連接AD、BE，設直線BE與AC交于點O（1）如圖1，當AC=BC時，AD：BE的值為；（2）如圖2，當AC=5，BC=4時，求AD：BE的值；（3）在（2）的條件下，若ACB=60°，且E為BC的中點，求OAB面積的最小值例39. 將繞點按逆時針方向旋轉度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼谋?，得，即如圖，.我們將這種變換記為，.(1) 如圖，對作變換60°，得，則_ ；直線與直線所夾的銳角為 度(2) 如圖，中，對作變換，得，使點，在同一直線上，且四邊形為矩形，求和的值。(3) 如圖，