專題四解析幾何綜合題型分析及解題策略

1、專題四：解析幾何綜合題型分析及解題策略【命題趨向】縱觀近三年的高考題，解析幾何題目是每年必考題型，主要體現(xiàn)在解析幾何知識(shí)內(nèi)的綜合及與其它知識(shí)之間的綜合，如08年08年江西理7文7題（5分）是基礎(chǔ)題，考查與向量的交匯、08年天津文7題（5分）是基礎(chǔ)題，考查圓錐曲線間的交匯、08年08徽理22題（12分）難度中檔偏上，考查圓錐曲線與向 量、直線與圓錐曲線的綜合、08年福建21題（12分）難度中檔偏上，考查圓錐曲線與不等式的交匯、08年湖北理19題（12分）中等難度，考查直線、圓與圓 錐曲線的綜合題、08年江蘇21題（12分）中檔偏下題，考查解析幾何與三角函 數(shù)的交匯，等等預(yù)計(jì)在09年高考中解答題仍

2、會(huì)重點(diǎn)考查直線與圓錐曲線的位 置關(guān)系，同時(shí)可能與平面向量、導(dǎo)數(shù)相交匯，每個(gè)題一般設(shè)置了兩個(gè)問，第（1）問一般考查曲線方程的求法，主要利用定義法與待定系數(shù)法求解，而 第（2）問主要涉及最值問題、定值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題、探索性問 題、參數(shù)范圍問題等這類問題綜合性大，解題時(shí)需根據(jù)具體問題，靈活運(yùn) 用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識(shí)，正確構(gòu)造不等式，體現(xiàn) 了解析幾何與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的密切聯(lián)系這體現(xiàn)了考試中心提出的“應(yīng)更多地從知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)上設(shè)計(jì)題目，從學(xué)科的整體意義、思想含義上考慮問 題”的思想.【考試要求】1. 掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式，能夠

3、根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系.2. 了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.3. 掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程.4. 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程.5. 掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).6. 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).【考點(diǎn)透視】解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，包括直線和圓與圓錐曲線兩部分，而直 線和圓單獨(dú)命為解答題較少，只有極個(gè)別的省市高考有出現(xiàn)，而圓錐曲線是解 析幾何的核心內(nèi)容，每年在全國(guó)及各省市的高考中均出現(xiàn) 主要考查熱點(diǎn)：(1) 直線的方程、斜率、傾斜角、距離公式及圓的方

4、程；(2) 直線與直線、直線與圓的位置關(guān)系及對(duì)稱問題等；(3) 圓錐曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；(4) 與圓錐曲線有關(guān)的軌跡問題；(5) 與圓錐曲線有關(guān)的最值、定值問題；(6) 與平面向量、數(shù)列及導(dǎo)數(shù)等知識(shí)相結(jié)合的交匯試題【典例分析】題型一直線與圓的位置關(guān)系此類題型主要考查：(1)判斷直線與圓的三種位置關(guān)系是：相離、相切、 相交；(2)運(yùn)用三種位置關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍；(3)直線與圓相交時(shí)，求解弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)問題及軌跡問題 .【例1】 若直線3x + 4y + vm= 0=0與圓x2 + y2 2x+ 4y+ 4= 0沒有公共點(diǎn), 則實(shí)數(shù) m的取值范圍是 .【分析】 利用點(diǎn)到直線的距離來解決【解

5、】 圓心為（1, - 2），要沒有公共點(diǎn)，根據(jù)圓心到直線的距離大于半徑,|3 X 1+ 2X ( 4) + m|d =22> r得=1,即 |m 5| >5, m ( ,0) U (10, +).【點(diǎn)評(píng)】解答此類題型的思路有：判別式法 （即方程法），平面幾何法（運(yùn)用d與r的關(guān)系），數(shù)形結(jié)合法.由于圓的特殊性（既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱），因此解答直線與圓的位置關(guān)系時(shí)一般不利用判別式法，而利用平面 幾何法求解，即利用半徑 r、圓心到直線的距離 d的求解.題型二圓錐曲線間相互依存拋物線與橢圓、雙曲線的依存關(guān)系表現(xiàn)為有相同的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線重合、準(zhǔn)線過焦點(diǎn)等形式，只要對(duì)三種圓錐曲線的概念與性質(zhì)

6、掌握得好，處理這類問題的 困難不大.2 2【例2】（2009屆大同市高三學(xué)情調(diào)研測(cè)試）設(shè)雙曲線以橢圓25+魯=1長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為焦點(diǎn)，其準(zhǔn)線過橢圓的焦點(diǎn)，貝y雙曲線的漸近線的斜率為( )431A.±2B.± 3C土 4D土 2【分析】根據(jù)橢圓的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)確定雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)得到雙曲線的準(zhǔn)線方程，由此得到關(guān)于雙曲線關(guān)于a、c的值，進(jìn)而得到b的值，再進(jìn)一步求得漸近線的斜率.【解】由橢圓方程知雙曲線的焦點(diǎn)為（5，0），即c = 5,又同橢圓的焦點(diǎn)得a = 4,所以a = 2 .5,則b= c2 a2 = , 5，故雙曲線漸近線的斜率為土 °=

7、7;舟，ca 2故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)幾何量之間的相互關(guān)系.本題主要體現(xiàn)為有相同的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線重合、準(zhǔn)線過焦點(diǎn)等形式 的圓錐曲線間交匯，解答時(shí)主要根據(jù)這兩種曲線的相同點(diǎn)建立關(guān)于基本量a、b、c、p之間的方程，再通過解方程求出相關(guān)基本量值，進(jìn)而求取相關(guān)的問題.題型三 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要考查三種題型：一是判斷已知直線與已知 曲線的位置關(guān)系；二是根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求直線或曲線方程的 參數(shù)問題；三是求直線與圓錐曲線相交時(shí)所得弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)及軌跡問題等.解答此類題型的一般方法化為二次方程，利用判別式與韋達(dá)定理來求解【

8、例3】（2009屆東城區(qū)高中示范校高三質(zhì)量檢測(cè)題 ）已知中心在原點(diǎn)的 雙曲線C的右焦點(diǎn)為（2，0），實(shí)軸長(zhǎng)為2占.（I ）求雙曲線C的方程；（II）若 直線丨：y = kx + 2與雙曲線C左支交于A、B兩點(diǎn)，求k的取值范圍；（川）在（I）的條件下，線段 AB的垂直平分線l o與y軸交于M（ 0，b），求b的取值范 圍.【分析】 第（1）小題利用直接法求解；第（I）小題將直線與雙曲線方程聯(lián) 立消去y,然后利用判別式及韋達(dá)定理求解； 第（川）小題須利用“垂直”與“平 分”聯(lián)系兩條直線斜率間的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立b關(guān)于斜率k的表達(dá)式，結(jié)合第（I ）小題k的范圍求解.2 2x y【解】（I ）設(shè)雙

9、曲線方程為 二一2= 1（a >0，b>0），a b2由已知，得a= 3，c = 2，b2= c2 a2= 1,故雙曲線方程為 二y2 = 1.2(n )設(shè) A( Xa,討A , B(xb, y ), 將 y = kx + 2代入X3 y2= 1, 得(1 3k2)x26 2kx9 = 0.1 3k2M02 = 36(1 k) >0由題意知 Xa+ Xb= 1 3；V 0,解得，kv 1. I9小XaXb= 13? > 0當(dāng)fv kv 1時(shí)，丨與雙曲線左支有兩個(gè)交點(diǎn).(川)由(U)得：xa+ xb = f 2k2,.yA+ yB= (kxA+-. 2) + (kXB+

10、2)=1 3kk( Xa+ Xb) + 2 2 AB中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為(1, 13P).設(shè)10方程為：y = x + b,將P點(diǎn)坐標(biāo)代入10方程，得b= 1 3k申v kV 1,a 2V1 3k2v 0,a b< 2嫗 b的取值范圍為：（：,2 2）.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用直接法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線位置關(guān)系不等式的解法等知識(shí)，以及考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思 想，考查邏輯思維能力及運(yùn)算能力.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的主要涉及到交點(diǎn) 個(gè)數(shù)問題、中點(diǎn)問題、弦長(zhǎng)問題、最值與定值問題等，解答時(shí)往往通過消元最 終歸結(jié)為一元二次方程來進(jìn)行解決特別地：（1）如果遇到弦的中點(diǎn)與斜率問

11、題則考慮利用“點(diǎn)差法”較為簡(jiǎn)單，但須注意對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)；（2）求最值與參數(shù)的范圍時(shí)注意確定自變量的范圍；（3）過焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問題一般利用圓錐曲線的統(tǒng) 一定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化可大大減少運(yùn)算量題型四圓錐曲線與三角函數(shù)的交匯此類試題主要體現(xiàn)在以三角函數(shù)為直線方程、圓的方程或圓錐曲線方程的系數(shù)，或根據(jù)三角函數(shù)滿足的等式求解解析幾何問題，或利用三角為工具研究解析幾何問題等，解答時(shí)一般要根據(jù)所涉及到的解析幾何知識(shí)及三角知識(shí)，將它們有機(jī)的結(jié)合在一起進(jìn)行解答【例4】（08年咼考新課標(biāo)各地聯(lián)考考場(chǎng)全真提咼測(cè)試）已知，是三角形的一個(gè)內(nèi)角，且15，則方程 x2tan : y2cot ：= 1 表示A. 焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線B

12、.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線C.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓【分析】首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得正弦函數(shù)與余弦函數(shù)值，進(jìn)而具體化圓錐曲線方程，再根據(jù)方程進(jìn)行判斷1224【解】 由 sin : + cos ：= 5及 sin : + cos ： = 1，且 Ov ：v n，解得 sin ：= 522cos工一5，因此x2tan : y2cot1就是管普=1，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，故選A.【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及雙曲線方程的識(shí)別 答的關(guān)鍵是求得sin a與COS a的值，以及會(huì)根據(jù)圓錐曲線方程識(shí)別曲線類型的能力題型五圓錐曲線與向量的交匯圓錐曲線與向量知識(shí)交匯

13、在一起的綜合題，以復(fù)雜多變、綜合性強(qiáng)、解法靈活，知識(shí)覆蓋面廣，注重考查邏輯推理能力、解題實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)思想方程應(yīng)用能力在解題中需要把握住知識(shí)間的聯(lián)系，注意借助轉(zhuǎn)化的思想、方程思想等.【例5】（2009屆湖南省高考模擬題）在直角坐標(biāo)平面中，AABC的兩個(gè)頂 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（ 1，0）、B（1，0），平面內(nèi)兩點(diǎn)G, M同時(shí)滿足下列條 件： 附 囲 Gt> :|MA|=|Mfe|= | MC|:否IW Afe（ I ）求厶ABC的頂點(diǎn) C的軌跡方程；（n）過點(diǎn)p（3,0）的直線丨與（n）中軌跡交于 e, F兩點(diǎn)，求PE- pF 的取值范圍.【分析】由于涉及到的動(dòng)點(diǎn)有三個(gè)，因此采用設(shè)而不

14、求思想先設(shè)C G M三點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將坐標(biāo)代入中的兩個(gè)等式，同時(shí)利用向量平行的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，第（I）小題就可求解.第（n）小題則需利用判別式確定直線與所求軌跡相交的條件，即直線斜率k的范圍，然后利用向量的數(shù)量積公式及韋達(dá)定理建立PE- PF關(guān)于k的函數(shù)式，最后根據(jù)求函數(shù)值域的方法即可求得結(jié)果.【解】（I）設(shè) C（x，y），G（x。，y。），M（xm, y”），| MA| = |點(diǎn)在線段AB的中垂線上.由已知 A（ 1,0） , B（1,0） ,xm= 0,又T GMW AB yM= y°,又 GA GB+ CjC a , （ 1 X0,y 0） + （1 X0, y°） +

15、 （x x°,x y°）= （0,0）,._x y yxo 3, yo= 3, yM= 3,| 胴=| MC,；(0 - 1)2+ (3- 0)2 =寸(0 -X)2 + (y-y)2,2 22 y2 y.x + 3 = 1(y半0) 頂點(diǎn) C的軌跡方程為x + = 1(y半0).(U)設(shè)直線 l 方程為：y= k(x 3) , E(xi,yi) , F(X2,y 2),y= k(x 3)由*2 2 2 2(k + 3)x 6k x + 9k 3 = 0,2x21 y_ 1 ，消去 y 得:x 十 3 16k2k2+ 3,XlX2 =9k2 3k2 + 3 ,而PE- PF

16、=| PE ! PF cosO°= |PE| |PF| = < 1+ k213 Xi| 71+ k213X2|229k2 + 27 18k2 + 9 k2 3=(1 + k2)|9 3(X1 + X2) + X1X2| = (1 + k2)|2| =k + 324(k2 +1)k2+ 3=24 48k2+ 33由方程知= (6k2)2 4(k2 + 3)(9k 2 3) >0, k2v82322788 " 0,. Ov kv 8，k+ 3 (3,-)，二 PE- PF (8,).【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算及幾何意義、軌跡的直接求法、不等式的解法，考查“設(shè)

17、而不求法”結(jié)合二次方程的判別式及韋達(dá)定理在解決 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的應(yīng)用，同時(shí)考查函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化的思想 以及邏輯推理能力、解題實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用能力本題解答有兩個(gè)關(guān)鍵：(1)對(duì)條件中的向量關(guān)系的轉(zhuǎn)化；(2)建立PE- pF關(guān)于直線斜率k的函數(shù).解 答本題還有一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：忽視直線與圓錐曲線相交的條件限制，造成所求范圍 擴(kuò)大.題型六圓錐曲線與數(shù)列的交匯此類試題主要體現(xiàn)為以解析幾何中的點(diǎn)的坐標(biāo)為數(shù)列，或某數(shù)列為圓錐曲線方程的系數(shù)，或以直線與圓及圓錐曲線的弦長(zhǎng)構(gòu)成數(shù)列等.解答時(shí)一般須根據(jù)解析幾何的知識(shí)確定數(shù)列的通項(xiàng)或遞推關(guān)系，進(jìn)而利用數(shù)列的知識(shí)作答例6 （2009屆渭南市高三教學(xué)

18、質(zhì)量檢測(cè)）已知雙曲線an iy2-a.x2= an£n的 一個(gè)焦點(diǎn)為（0 ,Cn），一條漸近線方程為y = 2x，其中an是以4為首項(xiàng)的正nCn數(shù)數(shù)列.（I）求數(shù)列Cn的通項(xiàng)公式；（n）求數(shù)列三的前n項(xiàng)和S.3【分析】將焦點(diǎn)坐標(biāo)與雙曲線實(shí)軸與短軸的關(guān)系建立Cn與an、an J的等式，再利用漸近線的斜率與實(shí)軸與短軸的可判斷數(shù)列a n為等比數(shù)列，由此可求得an的表達(dá)式，進(jìn)而求得Cn的通項(xiàng)公式，由此解決第（I ）小題；第（n ）小題利用nCn第（I）的結(jié)果確定數(shù)列§的通項(xiàng)公式，根據(jù)公式特點(diǎn)選擇利用錯(cuò)位相減法求2 2【解】(I ) T雙曲線方程= 1的焦點(diǎn)為(0，Cn)，C n =

19、 an+ an r，an an?又一條漸近線方程為y =，即=2，又ai = 4，pan?an?an = 42n= 2n+1，即 Cn= 2n+1 + 2n = 3 2 n.Cnn23n(n ) n，.S n= 1 2+ 22+ 3十十n2Sn= 1 22 + 2 23+ 3 24+ + (n 1)2n+ n 2 n+1由 得 Sn= 2+ 22+-+ 2n n 2 n+1，n+1n+12(1 2 ) S= 2+ n 2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)、等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式及利用錯(cuò)位相減法，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想及解答綜合處理交匯試題的能力本題是一道與數(shù)列相結(jié)合的一道綜合題，但難度并不大解答

20、本題注意兩點(diǎn)基本知識(shí)及（2）利用錯(cuò)方法的應(yīng)用：（2）通過雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與漸近線方程建立等式;位相減法求解求和【專題訓(xùn)練】、選擇題1.設(shè)x，y R,且2y是1 + x和1 -x的等比中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡為除去X軸上點(diǎn)的（A. 條直線B. 個(gè)圓C.雙曲線的一支D. 個(gè)橢圓2.已知 ABC的頂點(diǎn) A (0，- 4)，B (0，4)，且 4(sinB sinA) = 3sinC，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是2 2x yA. 9 - 7= 1(x > 3)2 2B. X -y = 1(x > 72 2y xc. 9 - 7 = 1(y > 3)2 2D.冷-Xj = 1(y v 7)

21、3.現(xiàn)有一塊長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10分米，短軸長(zhǎng)為8分米，形狀為橢圓的玻璃鏡子，欲從此鏡中劃塊面積盡可能大的矩形鏡子,則可劃出的矩形鏡子的最大面積A 10平方分米B . 20平方分米C . 40平方分米D . 41平方分米4.設(shè) A（X1，y1），B（4，5），2 2C（X2，y2）是右焦點(diǎn)為F的橢圓25十£ = 1上三個(gè)不同的點(diǎn)，貝y“|AF| , |BF|，|CF|成等差數(shù)列”是“x 1 + X2= 8”的A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既非充分也非必要2 25.直線丨：y = k（x 2） + 2與圓C: x + y -2x 2y= 0相切，則直線 丨的一個(gè)方向向量V

22、=點(diǎn)，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，若|PFi|PF2|=e,貝V e的值為( )A. (2,1-2) B. (1, 1)C. (-3, 2) D. (1, )6.已知橢圓E的離心率為e,兩焦點(diǎn)為F1, F2,拋物線C以F1為頂點(diǎn)，F(xiàn)2為焦|OQ = 4,則點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為A.2 2x y7. 橢圓孑+卡=1(a >b>0)的左、右焦點(diǎn)為Fi, F2,過Fi的直線I與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)。若/ AF1F2 = 60 :，且：AFi :Af = 0,則橢圓的離心率為( )A. 3+1 B. 3-1C. 2- 3D. 4- 38. 如圖一圓形紙片的圓心為 O, F是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓

23、周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折 疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為 CD設(shè)CD與OM交于P,則點(diǎn)P 形成的圖形是()A. 橢圓B. 雙曲線C. 拋物線D. 圓2 2( )9. 如圖，p是橢圓25+9 = 1上的一點(diǎn)，f是橢圓的左焦點(diǎn)，且 金2(時(shí)of),A. 6B. 4C. 3D.10.(理科)設(shè)xi,X2 R,a>O,定義運(yùn)算“ *”：xi*X2=(xi+ X2)2 (x i X2)2,若x> O,則動(dòng)點(diǎn)P(x , x*a)的軌跡方程為2 2A. y = 4ax B. y = 4ax(y > 0)2 2C. y = 4axD.y =4ax(y > 0)11.設(shè)集合A= (x

24、, y)|x , y, 1 x y是三角形的三邊長(zhǎng)，貝U A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是()A.B.C12.在平面直線坐標(biāo)系 xoy中，已知 ABC的頂點(diǎn)A ( 4 , 0)和C (4 , 0),頂2 2 點(diǎn)B在橢圓25+9 =1上,4A 54B. 55C 45D-4二、填空題13.若拋物線2 22x yy2= 2px(p > 0)的焦點(diǎn)與橢圓& + 4 -=1的右焦點(diǎn)重合,貝y p的值為14. 若點(diǎn)(1 , 1)到直線xcos a + ysin a = 2的距離為d,則d的最大值是 .2 2x y15. 橢圓二+ 2= 1(a > b> 0)的左、右焦點(diǎn)

25、為F1 , F2 ,過F1的直線I與橢圓相交于a bA、B兩點(diǎn).若/AF1F2 = 60?,且：AF :AF2 = 0,則橢圓的離心率為 .16. 設(shè)A(1 , 0),點(diǎn)C是曲線y = .1 x2(0 <x< 1)上異于 A的點(diǎn)，CELy軸于D,/ CAd 9 （其中0為原點(diǎn)），將|AC| + |CD|表示成關(guān)于9的函數(shù)f（ 9 ），則 f（ 9 ） =.三、解答題17. 在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線 x- 3y = 4相切. 求圓O 的方程；（2）圓O與x軸相交于A, B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P使|PA| , |PO| , |PB|成等比數(shù)列，求PA- PB的取值范圍.

26、18. （08屆麻城博達(dá)學(xué)校高三數(shù)學(xué)綜合測(cè)試四）設(shè)OC i，OC2，OCn是圓心在拋物線y = x2上的一系列圓，它們的圓心的橫坐標(biāo)分別記為ai, a2，an，1已知ai = 4，ai>a2>> an>0，OC k（k = 1，2，n）都與x軸相切，且順次逐個(gè)相鄰?fù)馇校↖）求由a1，a2，an構(gòu)成的數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（n）2 2 2 1 求證：a； + a：+ a：v4.19.20.（08年泰興市3月調(diào)研）已知O O x2+ y2= 1和定點(diǎn)A（2，1），由O O外一點(diǎn)P（a，b）向OO引切線PQ切點(diǎn)為Q且滿足|PQ|=|PA|.（ I）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；

27、（n ）求線段PQ長(zhǎng)的最小值；（旺）若以P為圓心所作的OP與OO有公共點(diǎn)，試求半徑最小值時(shí)O P的方程已知定點(diǎn)A（ 2，- 4），過點(diǎn)A作傾斜角為45 :的直線y2 = 2px(p > 0)于 B、C 兩點(diǎn)，且 | BQ = 2 ,10.（I）求拋物線的方程;（n）在（I）中的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得|DB| = |DC|成立？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.21. 已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M（1, 2），它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn),橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).(I)求這三條曲線的方程；(n )已知?jiǎng)又本€I過點(diǎn)P(3 , 0)，交拋物線于

28、A、B兩點(diǎn)，是 否存在垂直于x軸的直線I :被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存 在，求出I :的方程；若不存在，說明理由.2 2x y22. 橢圓C: a2 +詁=1(a >b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fl、F2,短軸兩端點(diǎn)B、已知Fi、F2、Bi、B2四點(diǎn)共圓，且點(diǎn)N( 0，3)到橢圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)距離為 5 2.( I) 求此時(shí)橢圓C的方程；(n )設(shè)斜率為k (" 0)的直線m與橢圓C相交于不 同的兩點(diǎn)E、F，Q為EF的中點(diǎn)，問E、F兩點(diǎn)能否關(guān)于過點(diǎn) P (0, 3)、Q 的直線對(duì)稱？若能，求出 k的取值范圍；若不能，請(qǐng)說明理由.【專題訓(xùn)練】參考答案一、選擇題1. D 【

29、解析】由題意得(2y) 2= (1 + x)(1 x)，即 x2 + 4y2= 1.2. C【解析】由條件c = |AB| = 8.由正弦定理：4(b a) = 3c = 24，b a = 6,即|CA| |CB| = 6.點(diǎn)C的軌跡是焦點(diǎn)在y軸的雙曲線上支，3, c ： = 4,2 2b,7,其方程 £ 7 = 1(y >3).2 2x y3. C 【解析】 設(shè)橢圓方程為齊1, P(5cos ：,4sin ：) , Q( 5cos 4sin ：),2516R(5cos :, 4si n ：)是矩形的三頂點(diǎn)，貝 U S 矩形=|10cos ：| |8sin = 40|sin2

30、< 40.44. S【解析】5, b= 3, c二4, e = 5, f(4 , 0)，由焦半徑公式可得|AF|=5-4xi, |BF| = 5-|x 4= 5, |CF| = 5-|x2，故 |AF| , |BF| , |CF| 成等差4 49數(shù)列：(5 _xi) + (5 X2) = 2 xxi + X2= 8.5 555. A【解析】圓 C: (x 1)2+ (y 1)2= 2,圓心 C(1, 1)，半徑 r = 2,直線I : kx y 2k+ 2= 0,由直線與圓相切的條件知托Jp|十紅=迄，解得k= 1.6. A【解析】過P作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為H,則拋物線準(zhǔn)線為x =

31、3c斟=e,又|PF2| = |PH| ,.|PF1|"|PH|=e, x = 3c也為橢圓E的準(zhǔn)2線一e=a=3c= c7. B 【解析】 Cf Kf = 0, AF1 丄A2F,AF1F2= 60?, 圧丘| = 2陽(yáng)| ,|AF2| =心|AF1|，二 2a=|AF1| + |AF2| ,2c =圧丘| , e = |=肩:Af ="1.8. 橢圓【解析】|PO| + |PF| = |PM| + |PO| = R(半徑)>|OF|，根據(jù)橢圓定義知P形成的圖形是以O(shè) F為焦點(diǎn)的橢圓.19. D【解析】由雄2(齢OF)，得Q是PF的中點(diǎn)又J OQ = 4,所以P占到

32、右焦占八、亠J I八、八、|PF|c 4F'的距離為8,a |PF| = 2x5 8 = 2,又=e = = (d表示P到橢圓左da 5準(zhǔn)線的距離)，.d10. B【解析】設(shè) P(x, y)，則 y _ x*a _ (x + a)2 (x a) 2_ 4ax，即2y _ 4ax(y > 0).11. A【解析】了x + y> 1 x y 了2x + 2y> 1由構(gòu)成三角形的條件知x + 1 xy > y，即2y v 1,y + 1 xy > x2x v 1易知選A.12. C【解析】由雙曲線方程及定義|BC| + |AB| = 10,|AC| = 8,根據(jù)

33、正弦定理知sinA + si nCsi nB_ |BC| 土 |AB| _ 5_ |AC| _ 4.二、填空題13. 4【解析】拋物線的焦點(diǎn)為(p, 0)，橢圓的右焦點(diǎn)為(2 , 0)，則由號(hào)_2,得 p_4.14. 2+ 2【解析】d_ |cos a + ysin a | _ | 2sin( a + 才2|，當(dāng) sin( a+ 4)_ 1時(shí)，d的最大值是2 + 2.15. 宀一1【解析】叮祈 _ 0, AF1 丄A2F,AF1F2 _ 60?, IFFI_ 2|AF1| , |AF2| _ 3|AF1| , 2a_ |AF1| + |AF2| , 2c _ 圧丘|F冋|AF1| + |AF2

34、|_ ,31.216. 2cos 9 + 2cos 9+1,999 (4, q)【解析】根據(jù)條件知/ COAf 180?-29 ,且 9 (4,2),則點(diǎn) C(cos(180 : 2 9 ) , sin(180 : 2 9 ),即 C(-cos2 9 , sin2 9 ),則 |AC| + |CD| =(1 + cos2 9 ) + 3=2，圓0的方程為x2 + y2= 4.(n )不妨設(shè) A(X1, 0) , B(X2, 0) , X1V X2，由 x2= 4 即得 A( 2 , 0) , B(2 , 0),設(shè)P(x , y)，由|PA| , |P0| , |PB|成等比數(shù)列，得 (x +

35、2)2+y2 - (x 2)2 + y2= x2 + y2 ,即 x2 y2=2 ,PA- PB= ( 2 x, y) - (2 x, y) = x2 4+ y2= 2(y 2 1), + sin 22 9 cos2 9 =22cos 999+ 2cos 9 + 1, 9 (4,).三、解答題17.【解析】(I)依題知圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x 3y = 4的距離,4由于點(diǎn)P在圓0內(nèi)，故<2 2 - 仃-富:,由此得2y v 1,G+g,xk+J，相應(yīng)的半徑為rk,又vy>0,所以pa- pB的取值范圍為：2,18. 【解析】(1)設(shè)相鄰兩圓心為G(Xk, xk),rk+i,則

36、2 2r k= Xk , r k+1 = Xk+1 , m > r k+1 , 如圖,作 G+1B丄AkG于 B,則 |CkG+1| 2|CkB|2 = |AkA+Ck+1Ak+1AkXk+1 Xk即(r k + r k+1) (r k r k+1) = (x k xk+1) , = 2,是首項(xiàng)為4且公差為2的等差數(shù)列，.二尸2（k + 1）1 111 (k + 1)2vk(k +1) = k kT!，1 1 1 1 1 1-k + + )=2T2tn n+1丿 42 2 2 1 1 1 1 1Ax1 + x2+ Xn = 42"+ 亍十(n + 1)2 v4(1(1_2219

37、. 【解析】（1）連OR vq為切點(diǎn)，PQLOQ由勾股定理有|PQ| =|0P| |OQ|2.2222222又由已知 |PQ| = |PA|，故 |PQ| =|PA| ,即卩 a + b 1 = (a 2) + (b 1),化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：2 a + b 3= 0.(II)由 2a + b 3 = 0,得 b= 2a + 3.=a2 + b2 1 =；a2 + ( 2a+ 3)2 1 =5a2 12a+ 8 =/6 24,5(a 5)+ 5，故當(dāng)a= £時(shí)，|PQ| min = 2*5,即線段PQ長(zhǎng)的最小值為2,5.(川)設(shè)OP的半徑為R, OP設(shè)00有公共點(diǎn)，。

38、0的半徑為1， |R 1| < |OP| < R+ 1, R> |OP| 1,且 R< |OP| + 1.而 |OP| = .a2 + b2 = _a2 + ( 2a+ 3)2=5(a ；)2十；，故當(dāng) a= 5時(shí)，|PQ| min = 5*5,此時(shí) b= 2a + 3 = 3, Rmin = 51 5 1,得半徑取最小值OP的方程為（x |）2+ （y 1）2=（5 .*51）2.20. 【解析】 (I )直線丨方程為y = x 2,將其代入y2= 2px，并整理，得2x 2(2 + p)x + 4= 0 ，2 p> 0,仏=4(2 + p) 16>0,設(shè)

39、 B(xi,yi)、C(X2,y 2) ,.xi + X2= 4+ 2p, Xi X2= 4,= 2 10，而 |BC| =1 + k2|x i X2| ,2 2 p2 + 4p = 2 10，解得 p= 1,A拋物線方程 y2= 2x.(n )假設(shè)在拋物線y = 2x上存在點(diǎn)D(X3,y 3)，使得|DB| = |DC|成立，1 記線段 BC中點(diǎn)為 E(X0,y 0)，則 |DB| = |DC| DELBC：kDE=廠=1, k12X1 + X2當(dāng) p= 1 時(shí)，式成為 x 6x + 4 = 0,X0 = 3, y°= X0 2 = 1,2r y3=2X3o.、卄廠小/口X3= 2亠 X3= 8點(diǎn) D(x3,y 3)應(yīng)滿足 < y3 1解得，_?；?，_ /.=1、屮=2 , y3= 4X3 3存在點(diǎn)D(2, 2)或(8 , 4)，使得|DB| = |DC|成