2412--垂直于弦的直徑

1、問題問題 ：你知道趙州橋嗎：你知道趙州橋嗎? ? 它的主橋是圓它的主橋是圓弧形弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所對的弦的長弧所對的弦的長) )為為37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中點到弦的距離弧的中點到弦的距離) )為為7.2m7.2m，你能你能求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？求出趙洲橋主橋拱的半徑嗎？ 趙州橋主橋拱的半徑是多少？趙州橋主橋拱的半徑是多少？ 實踐探究實踐探究把一個圓沿著它的任意一條直把一個圓沿著它的任意一條直徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什徑對折，重復(fù)幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？么？由此你能得到什么結(jié)論？可以發(fā)現(xiàn)：可以發(fā)現(xiàn)： 圓是軸對稱圖形，任何一條直圓是軸

2、對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸徑所在直線都是它的對稱軸如圖，如圖，ABAB是是O O的一條弦，作直徑的一條弦，作直徑CDCD，使，使CDCDABAB，垂足為，垂足為E E（1 1）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？）圓是軸對稱圖形嗎？如果是，它的對稱軸是什么？（2 2）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和弧？為什么？）你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和?。繛槭裁?？OABCDE活活 動動 二二（1 1）是軸對稱圖形）是軸對稱圖形直徑直徑CDCD所所在的在的直線直線是它的對稱軸是它的對稱軸（2 2） 線段：線段： AE=BEAE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圓沿著直徑把圓沿著直

3、徑CD折疊時，折疊時，CD兩側(cè)的兩個兩側(cè)的兩個半圓重合，點半圓重合，點A與點與點B重合，重合，AE與與BE重合，重合，AC , AD分別與分別與BC 、BD重合重合OEDCBA垂徑定理垂徑定理: :垂直于弦的直徑垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。的兩條弧。即：即：如果如果CDCD過圓過圓心，且垂直于心，且垂直于ABAB，則，則AE=BE,AD=BD,AC=BC 注意注意: :過圓心過圓心和和垂直于弦垂直于弦兩個兩個條件缺一不可。條件缺一不可。 平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧幾何語

4、言：幾何語言：CD是直徑是直徑,AB為為 O的弦的弦, 且且OBCDAE，“知二推三知二推三” (1)(1)垂直于弦垂直于弦 (2)(2)過圓心過圓心 (3)(3)平分弦平分弦 (4)(4)平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的優(yōu)弧 (5)(5)平分弦所對的劣弧平分弦所對的劣弧注意注意: :當具備了當具備了(2)(3)(2)(3)時時, ,應(yīng)對另一應(yīng)對另一 條弦增加條弦增加”不是直徑不是直徑”的限制的限制. .n你可以寫出相應(yīng)的命你可以寫出相應(yīng)的命題嗎題嗎?垂徑定理的推論垂徑定理的推論 如圖如圖,在下列五個條件中在下列五個條件中:只要具備其中兩個條只要具備其中兩個條件件, ,就可推出其余三就可推出其余三

5、個結(jié)論個結(jié)論. .OABCDM CD是直徑是直徑, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂徑定理及推論垂徑定理及推論條件結(jié)論命題垂直于弦的直徑平分弦垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.平分弦平分弦(不是直徑不是直徑)的直徑垂直于弦的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧并且平分弦所對的兩條弧.平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所對的并且平分弦所對的另一條弧另一條弧.弦的垂直平分線經(jīng)過圓心弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分這條弦所對的兩條弧并且平分這條弦所對的兩條弧. 垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)

6、過圓心垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,并且平并且平分弦和所對的另一條弧分弦和所對的另一條弧.平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心,垂直于弦垂直于弦,并并且平分弦所對的另一條弧且平分弦所對的另一條弧.平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.(4)若若 ，CD是直徑是直徑,則則 、 、 .(1)若若CDAB, CD是直徑是直徑, 則則 、 、 .(2)若若AM=MB, CD是直徑是直徑, 則則 、 、 .(3)若若CDAB, AM=MB, 則則 、 、 .如圖所示如圖所示:練習(xí)練習(xí)

7、OABCDMAM=BM AC=BC AD=BD CDAB AC=BC AD=BD CD是直徑是直徑 AC=BC AD=BD AC=BC CDABAM=BM AD=BD E EO OA AB BD DC CE EA AB BC CD DE EO OA AB BD DC CO OB BA AE EE EO OA AB BC CE EO OC CD DA AB B 練習(xí)練習(xí)在下列圖形中，你能否利用垂徑在下列圖形中，你能否利用垂徑定理找到相等的線段或相等的弧定理找到相等的線段或相等的弧一、判斷是非：一、判斷是非：（1 1）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。）平分弦的直徑，平分這條弦所對的弧。（2 2）

8、平分弦的直線，必定過圓心。）平分弦的直線，必定過圓心。（3 3）一條直線平分弦（不是直徑），）一條直線平分弦（不是直徑）， 那么這那么這 條直線垂直這條弦。條直線垂直這條弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)(4)弦的垂直平分線一定是圓的直徑。弦的垂直平分線一定是圓的直徑。（5 5）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。）平分弧的直線，平分這條弧所對的弦。（6 6）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。）弦垂直于直徑，這條直徑就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7 7）平分弦的直徑垂直于弦。）平分弦的直徑垂直于弦。填空：填空：1、如圖：已知、如圖：已知AB

9、是是 O的直徑，弦的直徑，弦CD與與AB相交于相交于點點E，若，若_，則則CE=DE（只需填寫一個你認為適當?shù)臈l件）（只需填寫一個你認為適當?shù)臈l件）2、如圖：已知、如圖：已知AB是是 O的弦，的弦，OB=4cm，ABO=300，則，則O到到AB的距離是的距離是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。 OAB第第1題圖題圖第第2題題圖圖ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H弦心距弦心距.選擇：選擇：如圖：在如圖：在OO中，中，ABAB為直徑，為直徑，CDCD為非直徑的弦，對為非直徑的弦，對于（于（1 1）ABCD ABCD （2 2）ABAB平分平分CD CD （3 3）ABAB平分

10、平分CDCD所所對的弧。若以其中的一個為條件，另兩個為結(jié)論對的弧。若以其中的一個為條件，另兩個為結(jié)論構(gòu)成三個命題，其中真命題的個數(shù)為構(gòu)成三個命題，其中真命題的個數(shù)為 （ ）A A、3 B3 B、2 2 C C、1 D1 D、0 0。OCDBAA1如圖，在如圖，在 O中，弦中，弦AB的長為的長為8cm，圓心，圓心O到到AB的距離為的距離為3cm，求求 O的半徑的半徑OAB練習(xí)練習(xí)活活 動動 三三OABC 已知已知A A、B B、C C是是OO上三點，且上三點，且AB=ACAB=AC，圓心圓心O O到到BCBC的距離為的距離為3 3厘米，圓的半徑為厘米，圓的半徑為5 5厘米，求厘米，求ABAB長。

11、長。DD試一試試一試OABCOABOAB 已知已知OO的半徑為的半徑為5 5厘米，弦厘米，弦ABAB的長為的長為8 8厘米，求此弦的中點到這條弦所對的弧厘米，求此弦的中點到這條弦所對的弧的中點的距離。的中點的距離。 EEDD練習(xí)練習(xí)2 2如圖，在如圖，在O O中，中，ABAB、ACAC為互相垂直且為互相垂直且相等的兩條弦，相等的兩條弦，ODODABAB于于D D，OEOEACAC于于E E，求證四邊形求證四邊形ADOEADOE是正方形是正方形DOABCE證明：證明： OEAC ODAB ABAC90 90 90OEAEADODA四邊形四邊形ADOE為矩形，為矩形，又又AC=AB11 22AEA

12、CADAB， AE=AD 四邊形四邊形ADOE為正方形為正方形. OEAC ， ODAB判斷下列說法的正誤判斷下列說法的正誤 平分弧的直徑必平分弧所對的弦平分弧的直徑必平分弧所對的弦 平分弦的直線必垂直弦平分弦的直線必垂直弦 垂直于弦的直徑平分這條弦垂直于弦的直徑平分這條弦 平分弦的直徑垂直于這條弦平分弦的直徑垂直于這條弦 弦的垂直平分線是圓的直徑弦的垂直平分線是圓的直徑 平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦平分弦所對的一條弧的直徑必垂直這條弦 在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平在圓中，如果一條直線經(jīng)過圓心且平分弦，必平分此弦所對的弧分弦，必平分此弦所對的弧 弓形的弦長為弓形的弦長為6cm6cm

13、，弓形的高為，弓形的高為2cm2cm，則這弓形所在的圓的半徑則這弓形所在的圓的半徑為為. D C A B O134cm你能利用垂徑定理解決求趙州你能利用垂徑定理解決求趙州橋拱半徑的問題嗎橋拱半徑的問題嗎? ?37.4m7.2mABOCE2 5cm已知已知P為為 O內(nèi)一點內(nèi)一點,且且OP=2cm,如果如果 O的半徑是的半徑是3cm,那么過那么過P點的最短的弦等于點的最短的弦等于_小小 結(jié)結(jié)直徑平分弦直徑平分弦 直徑垂直于弦直徑垂直于弦=直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑垂直于弦直徑垂直于弦 直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦（不是直徑）直徑平分弦所對的弧直徑平分弦所對的弧 直徑平分弧所對的

14、弦直徑平分弧所對的弦 直徑平分弧直徑平分弧 直徑垂直于弧所對的弦直徑垂直于弧所對的弦=、圓的軸對稱性、圓的軸對稱性、垂徑定理及其推論的圖式、垂徑定理及其推論的圖式 如圖，已知如圖，已知ABAB是是OO的弦，的弦，P P是是ABAB上一上一點，點，AB=10cm,PB=4cm,PO=5cmAB=10cm,PB=4cm,PO=5cm則則OO的的半徑等于半徑等于 cmcm名題引路?0?A?B?PC72 2、如圖，點、如圖，點P P是半徑為是半徑為5 cm5 cm的的OO內(nèi)內(nèi)一點，且一點，且OP=3cm, OP=3cm, 則過則過P P點的弦中，點的弦中，（1 1）最長的弦）最長的弦= = cmcm（2 2）最短的弦）最短的弦= = cmcm順利闖關(guān) ?O?PABCD108如圖，如圖， O的直徑的直徑AB=16cm，M是是