分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析

1、分式的知識(shí)點(diǎn)及典型例題分析1、分式的定義:例:下列式子中，158a2b、9a 5a b 3a b215xy 1、2-x y23 2x y4a m6 x1、2 x1、3xy3、 、a中分式的個(gè)數(shù)為()22x ym(A)2(B)3(C)4(D)5練習(xí)題：(1)下列式子中，是分式的有耳；X1 :弓：3 :27 :丹 下列式子，哪些是分式？3a3 乂 7x xxy 1 b； 2； ； ； ； 5 x 4 y 8x 2y 452、分式有、無(wú)意義：(1) 使分式有意義：令分母工0按解方程的方法去求解;(2) 使分式無(wú)意義：令分母=0按解方程的方法去求解；例1:當(dāng)x時(shí)，分式一有意義；x 5例2:分式 也中，

2、當(dāng)x 時(shí)，分式?jīng)]有意義；2 x例3:當(dāng)x時(shí)，分式J 有意義；x21例4:當(dāng)x時(shí)，分式有意義；x21例5: x， y滿(mǎn)足關(guān)系時(shí)，分式-y無(wú)意義;例6:無(wú)論x取什么數(shù)時(shí)，總是有意義的分式是(A -x_1B.C.3x2x 1x31D.x 52_x例7:使分式有意義的x的取值范圍為(A. x2B. x2 C. x2D.x 2A. 2要是分式(x 1)(x 3)沒(méi)有意義，則x的值為或-3 C. -13、分式的值為零:使分式值為零：令分子=0且分母工0,注意：當(dāng)分子等于0使，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例1:當(dāng)x時(shí)，分式A 擴(kuò)大100倍 B 擴(kuò)大10倍 C 不變 D 縮小到原來(lái)

3、的丄10 2a的值為0;a 1例2:當(dāng)xx21時(shí)，分式x 1的值為0x 1例3:如果分式'3 2的值為為零,則a的值為（）a 2A.2C.2 D.以上全不對(duì)例4:能使分式2：2 ；的值為零的所有x的值是（）A x 0Bx 1 C x0 或 x 1 D x 0 或 x 1例5:要使分式x2x 5x9 6的值為0,則x的值為（）或-3D 2例6:若-a-130,則a是（)A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.零 D.任意有理數(shù)4、分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用：分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘或除以一個(gè)不等于 0的整式，分式的值不變。A ACC 0A A CB BCBBC例1:xya aby6x( y z)23(

4、y z);如果5(3ay z7(3a1)1)5-成立,則a的取值范7圍是例2:ab21b cb ca3b3()a()例3:如果把分式b中的a和b都擴(kuò)大10倍，那么分式的值（）a bA、擴(kuò)大10倍 B、縮小10倍 C、是原來(lái)的20倍 D、不變例4:如果把分式匹中的x，y都擴(kuò)大10倍，則分式的值（）x y例5:若把分式的x、y同時(shí)縮小12倍，則分式的值（）2xA.擴(kuò)大12倍 B.縮小12倍 C.不變D.縮小6倍例6:若x、y的值均擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則下列分式的值保持不變的是（）3x2y3x2?3x2例7:根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式 一-可變形為 a b3x3)D例8:不改變分式的值，使分式的分子、分

5、母中各項(xiàng)系數(shù)都為整數(shù),0.2x0.012x 0.05，例9 :不改變分式的值，使分子、分母最高次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)，1 x =1 x x25、分式的約分及最簡(jiǎn)分式: 約分的概念：把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分 分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì). 分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因 式. 約分的結(jié)果：最簡(jiǎn)分式（分子與分母沒(méi)有公因式的分式，叫做最簡(jiǎn)分式） 約分主要分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：分子分母是單項(xiàng)式的，主要分?jǐn)?shù)字，同字母進(jìn)行約 分。第二類(lèi)：分子分母是多項(xiàng)式的，把分子分母能因式分解的都要進(jìn)行因式分解，再去找共同的因式約去。F列式子（1）(2)(3)1 ；

6、 (4)亠丄3中正確的是（）x y x yA、1個(gè) B 、2個(gè) C 、3個(gè)例2:下列約分正確的是（）6A、篤 x3 ； B、0 ; Cxx y例3:下列式子正確的是（）AJ 0 B.1 C.八2x ya yx xxy1 ；D2xy21、 2xxyx' 4x2y2y zd. cdc dc d cd 0xaaa0例5:下列式子正確的是（b2a例6:化簡(jiǎn)3m2 m的結(jié)果是例7:約分:4x2y6xy23xy21xy ；1x50.6x3x 5y0例&約分:2a_2 a 4a 4a(a b) b(a b)ax ay""2 2 x y2x-2x 8x 16161 12m

7、m0.1a0.3b0.2a bx y(x y)2a 3b2a bx2 92x 614a2bc3321a3bcx29x2 6x 9例9:分式駅a ba2 b2，4a12(a b)土中'最簡(jiǎn)分式有（）A. 1 個(gè) B 6分式的通分及最簡(jiǎn)公分母：通分：主要分為兩類(lèi)：第一類(lèi)：分母是單項(xiàng)式；第二類(lèi)：分母是多項(xiàng)式（要先把 分母因式分解）分為三種類(lèi)型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三種類(lèi)型° “二、三”型：指幾個(gè)分母之間沒(méi)有關(guān)系，最簡(jiǎn)公分母就是它們的乘積。例如：上 x最簡(jiǎn)公分母就是x 2 x 2 °x 2 x 2“二、四”型：指其一個(gè)分母完全包括另一個(gè)分母，最簡(jiǎn)公分母

8、就是其一的那個(gè) 分母。例如：2最間公分母就疋x 4 x 2 x 2x 2 x 4“四、六”型：指幾個(gè)分母之間有相同的因式，同時(shí)也有獨(dú)特的因式，最簡(jiǎn)公分 母要有獨(dú)特的；相同的都要有。例如:x2x22 最簡(jiǎn)公分母是：2x x 2x x 2這些類(lèi)型自己要在做題過(guò)程中仔細(xì)地去了解和應(yīng)用， 仔細(xì)的去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與 聯(lián)系。例1:分式一1m n2 , 的最簡(jiǎn)公分母是（m n2A. (m n)(mn2)B . (m2 n2、2)2 C . (m n)2(mn) Dm2n2例2:對(duì)分式上2xx3?通分時(shí),4xy最簡(jiǎn)公分母是（A.2 4 x2y3C.24D.l例3:下面各分式:2 x2 x2 x2 x2y2y,

9、其中最簡(jiǎn)分式有（個(gè)。A. 4例4:分式占 ,a24例5:分式a與1的最簡(jiǎn)公分母為bB. 3C. 2D. 12a 4的最簡(jiǎn)公分母是1 1例 6: 分式 , 的最簡(jiǎn)公分母為 x y x xy8、分式的加減:分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減1、同分母分式不用通分，分母不變，分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法：先觀察分母是單項(xiàng)式還是多項(xiàng)式，如果是單項(xiàng)式那就繼續(xù)考慮是什么 類(lèi)型，找出最簡(jiǎn)公分母，進(jìn)行通分；如果是多項(xiàng)式，那么先把分母能分解的要因 式分解，考慮什么類(lèi)型，繼續(xù)通分。分類(lèi)：第一類(lèi)：是分式之間的加減，第二類(lèi)：是整式與分式的加減?？斩例2:2a23 a2

10、4 =a21 a21例4：占亠亠x y y x x y計(jì)算（1）(2)2a(a b)2b2(b a)2例5:化簡(jiǎn)-x1 + -2x1 +3x等于13A . 2x B .2xC例 6: b caa bc例& xx619x 3x3xx)1156xD.6x例7:2a1a24 a 2例9:2xx 1x 1練習(xí)題：（1）b2ab2a(2)4x2 4b2(3)旦 a b a - b例 10:已知：x2 4x 30求二T1託的值ac = acbdbd 'ac. 工d . adbdbcbc分式的乘法：乘法法測(cè):分式的除法：除法法則:例題：計(jì)算:26x2 ? 25x415x6 ' 39y

11、73 4416x y 56x1013125a100a22x 5y 10y3y2 6x 21x2求值題：（1）已知:-，求42 2x yx 2xy y2今的值。x xy求值題：（1）已知:求 xy yz xz的值。(2)已知:10x 252x x 0求xy2y的值。9、分式的求值問(wèn)題：一、所求問(wèn)題向已知條件轉(zhuǎn)化1 x2例1已知x+1 =3,則42 的值1例2：若ab=1，則二的值為a 1 b 1例3:已知 x = 2, y=丄，求 一24竺三 -的值.2 (x y) (x y) x y x y由已知條件向所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化例4:已知1 a -a3 ,那么a2丄a7例5:已知1 13 ,則 5x xy5

12、y的值為（)x yx xyy“7722A - BCD22772 . . 2例6:如果a=2,則aab b =b2 2 -a b例7:已知 y=3xy+x，求代數(shù)式 2x3xy2y的值x 2xy y例8:已知亠與旦的和等于糾，則a= , b =x 2x 2x 4例9:若 xy x y0，則分式1 ()yxA、-B 、 yx C、1 D、-1xy練習(xí)1:已知x為整數(shù)，且 2+丄 + 2： 18為整數(shù)，求所有符合條件的x值的和.x 3 3 x x 92:已知實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足4x2-4x+I=O，則代數(shù)式2x+丄的值為.2x10、分式其他類(lèi)型試題：例1:觀察下面一列有規(guī)律的數(shù):其規(guī)律可知第n個(gè)數(shù)應(yīng)是根據(jù)2

13、3j4_5_67_? ? ? ? ?3 815243548n為正整數(shù))例2:是例3:(觀察下面一列分式:m昊，根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項(xiàng)x x x x x，第n項(xiàng)是按圖示的程序計(jì)算，若開(kāi)始輸入的 n值為4,則最后輸出的結(jié)果m是A 10 B 20 C 55 D 50例4:當(dāng)x=時(shí),分式 丄與互為相反數(shù).5 x 2 3x例5:在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算，其規(guī)則為 a b = 1 1，根據(jù)這個(gè)規(guī)則a bx (x1)33的解為2()A . x2B. x1c.x-或12D. x 或 1333例6:已知4ABxC則A,B,Cx(x24)2 xx41 1=1。 1 =nn 1n 1n 21 1 =。(3 分)n

14、 2 n 3 (本小題4分)1111n(n 1)解:(n 1)(n1n(n 1)2) (n 2)(n 3) (n1 1(n 1)(n2) (n 2)(n3)2007)( n 2008)1(n 2007)(n2008)11、分式方程：(1) 分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程 分式方程。(2) 解分式方程的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個(gè)整式(最簡(jiǎn)公分母) ， 把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時(shí)，方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母時(shí)，最 簡(jiǎn)公分母有可能為0,這樣就產(chǎn)生了增根，因此分式方程一定要驗(yàn)根。(3) 解分式方程的步驟：(1)能化簡(jiǎn)的先化簡(jiǎn)；(2)方程兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母，化為整式方程；

15、(3)解整式方程；(4) 驗(yàn)根.例1:如果分式的值為一1，則x的值是；2x 1例2:要使旦與亠的值相等，貝U x=。x 1 x 2例3:當(dāng)m=時(shí)方程竺1=2的根為1 .m x2例4:如果方程-23的解是x= 5，貝U a =。a(x1)例 5: (1) 23(2)2x 1 1x x1x33 x例6:解方程：216x 2x2x24x 2例7:已知：關(guān)于x的方程1a無(wú)解，求< a的值x 33 x例&已知關(guān)于x的方程 a1的根是正數(shù)，求a的取值范圍x 2例9:若分式丄與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為x 2 x 3例10:當(dāng)m為何值時(shí)間？關(guān)于x的方程二x的解為負(fù)數(shù)?例12解關(guān)于x的方程：

16、異走(a 0)例13:當(dāng)a為何值時(shí),x騎角的解是負(fù)數(shù)?例14關(guān)于x的方程丄x 2(x 2)(x 1)的解為負(fù)值，求m的取值范圍。12、分式方程的增根問(wèn)題：(1) 增根應(yīng)滿(mǎn)足兩個(gè)條件：一是其值應(yīng)使最簡(jiǎn)公分母為0, 二是其值應(yīng)是去分 母后所的整式方程的根。(2) 分式方程檢驗(yàn)方法：將整式方程的解帶入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的 值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個(gè)解不是原分式方程的 解。例1:分式方程+1: m有增根，則m_x 3x 3例2:當(dāng)k的值等于時(shí)，關(guān)于x的方程k2x 3例3:右方程4有增根，則增根可能為(x 2 xx(x2)A 0B、2C、0或2D13、分式的應(yīng)用題：4

17、x不會(huì)產(chǎn)生增根x 3)、1(1)列方程應(yīng)用題的步驟是什么？(1)審； 設(shè)；(3)列； 解；(5)答.(2)應(yīng)用題有幾種類(lèi)型；基本公式是什么？基本上有四種：a. 行程問(wèn)題：基本公式：路程=速度x時(shí)間而行程問(wèn)題中又分相遇問(wèn)題、追及問(wèn)題.b. 數(shù)字問(wèn)題： 在數(shù)字問(wèn)題中要掌握十進(jìn)制數(shù)的表示法.c. 工程問(wèn)題： 基本公式：工作量二工時(shí)x工效.d. 順?biāo)嫠畣?wèn)題: v 順?biāo)?v靜水+V水. V 逆水=V靜水-V水.工程問(wèn)題：例1： 一項(xiàng)工程，甲需x小時(shí)完成，乙需y小時(shí)完成，則兩人一起完成這項(xiàng)工程 小時(shí)rfn例2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個(gè)字，小明打120 個(gè)字所用的時(shí)間和小張打鐘

18、，則列方程正確的是(A型倒 Bx 6 x180個(gè)字所用的時(shí)間相等。設(shè)小明打字速度為x個(gè)/分)180C 120180D 120 180xxx 6xx 6120x 6例3:某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲工程隊(duì)獨(dú)做，恰好如期完成；如果乙 工作隊(duì)獨(dú)做,則超過(guò)規(guī)定日期3天，現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合作2天，剩下的由乙隊(duì)獨(dú) 做,恰好在規(guī)定日期完成，求規(guī)定日期.如果設(shè)規(guī)定日期為x天，下面所列方程中 正確的是（）2 x2311x2lx”A.1 ； B.； C.21 ； D.1x x 3x x 3x x 3 x 3x x 3例4：趙強(qiáng)同學(xué)借了一本書(shū)，共280頁(yè)，要在兩周借期內(nèi)讀完，當(dāng)他讀了一半時(shí)， 發(fā)現(xiàn)平時(shí)每天要多讀

19、21頁(yè)才能在借期內(nèi)讀完.他讀了前一半時(shí)，平均每天讀多少頁(yè)？如果設(shè)讀前一半時(shí)，平均每天讀x頁(yè),則下列方程中，正確的是（）A14014014 B、28028014xx 21xx 211010140140C1 D 、14xx 21xx 21例5:某工程由甲、乙兩隊(duì)合做6天完成，乙、丙兩隊(duì)合做10天完成，甲、丙兩隊(duì)合做5天完成全部工程的-。求甲、乙、丙各隊(duì)單獨(dú)完成全部工程各需多少3天？?jī)r(jià)格價(jià)錢(qián)問(wèn)題：例1: “五一”江北水城文化旅游節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車(chē)前去旅游，面包車(chē)的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少攤了 3元錢(qián)車(chē)費(fèi)，設(shè)參加游覽的同學(xué)共 x人，則所列方程為（）A.1

20、801803xx 2D.1801803x 2x180x 2180x180x 2例2:為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款。已 知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第 一次捐款人數(shù)多20人，而且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人 進(jìn)行捐款？順?biāo)嫠畣?wèn)題：例1: A B兩地相距48千米，一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地則可列方程（48484 x 4 x逆流返回A地，共用去9小時(shí)，已知水流速度為4千米/時(shí)，若設(shè)該輪船在靜 水中的速度為x千米/時(shí)，48x 496x 448x 496一只船順流航行例2：2km/h，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中速度為x 490km與逆流航行60km所用的時(shí)間相等，若水流速度是xkm/h，則可列方程（）90 _ 6090 _ 6090_60,60_90A、x 2 = x 2 B、x 2 = x 2 C、 x +3= x D、 x +3= x例3:輪船順流航行66千米所需時(shí)間和逆流航行48千米所需時(shí)間相同，已知水 流速度是每小時(shí)3千米，求輪船在靜水中的速度。行程問(wèn)