拉格朗日與牛頓插值法的比較

1、拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較一、 背景在工程和科學研究中出現(xiàn)的函數(shù)是多種多樣的。常常會遇到這樣的情況：在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接求出其他一些點上的函數(shù)值可能是非常困難的。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結構復雜的解析表達式），構造某個簡單函數(shù)作為的近似。這樣就有了插值法，插值法是解決此類問題目前常用的方法。如設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且在個不同的點上分別取值。插值的目的就是要在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類中，求一簡單函

2、數(shù)，使 而在其他點上，作為的近似。通常，稱區(qū)間為插值區(qū)間，稱點為插值節(jié)點，稱式為插值條件，稱函數(shù)類為插值函數(shù)類，稱為函數(shù)在節(jié)點處的插值函數(shù)。求插值函數(shù)的方法稱為插值法。插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)逼近的效果就不同。它的選擇取決于使用上的需要，常用的有代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。當選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時，相應的插值問題就稱為多項式插值。本文討論的拉格朗日插值法與牛頓插值法就是這類插值問題。在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過的代數(shù)多項式 使，其中，為實數(shù)。拉格朗日插值法即是尋求函數(shù)（拉格朗日插值多項式）近似的代替函數(shù)。相似的，牛頓插值法則是通過（牛頓插值

3、多項式）近似的求得函數(shù)的值。二、 理論基礎（一）拉格朗日插值法在求滿足插值條件次插值多項式之前，先考慮一個簡單的插值問題：對節(jié)點中任一點，作一n次多項式，使它在該點上取值為1，而在其余點上取值為零，即上式表明個點都是次多項式的零點，故可設其中，為待定系數(shù)。由條件立即可得故 由上式可以寫出個次插值多項式。我們稱它們?yōu)樵趥€節(jié)點上的次基本插值多項式或次插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的次插值多項式 根據(jù)條件，容易驗證上面多項式在節(jié)點處的值為，因此，它就是待求的次插值多項式。形如的插值多項式就是拉格朗日插值多項式，記為，即作為常用的特例，令，由上式即得兩點插值公式 ，這是一個線性函數(shù)

4、，故又名線性插值。若令，則又可得到常用的三點插值公式這是一個二次函數(shù)，故又名二次插值或拋物插值。（二）牛頓插值法由線性代數(shù)知，任何一個不高于次多項式，都可以表示成函數(shù)的線性組合。既可以吧滿足插值條件的次插值多項式寫成如下形式其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項式稱為牛頓插值多項式，記為，即 因此，牛頓插值多項式是插值多項式的另一種表示形式。設函數(shù)在等距節(jié)點處的函數(shù)值為已知，其中是正常數(shù)，稱步長。我們稱兩個相鄰點和處函數(shù)之差為函數(shù)在點處以為步長的一階向前差分，記作，即于是，函數(shù)在各節(jié)點處的一階差分依次為又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)在點處的階差分為。在等距節(jié)點情況下，可以利用差分

5、表示牛頓插值多項式的系數(shù)。事實上，由插值條件可得；再由插值條件可得；一般的，由插值條件可得。于是，滿足插值條件的插值多項式為三、 二者的比較拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡便，與拉格朗日插值多項式相比較，它不僅克服了“增加一個節(jié)點時整個計算工作必須重新開始”（見下面例題）的缺點，而且可以節(jié)省乘、除法運算次數(shù)。同時，在牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其他方面有著密切的關系?，F(xiàn)用一實例比較拉格朗日插值法與牛頓插值法例 已知函數(shù)表如下：x0.10.20.30.40.50.6sinx0.099830.198670.295520.3894

6、20.479430.56464計算sin(0.12)的值。利用拉格朗日插值法計算過程如下：（計算程序代碼見附件） 因為0.12位于0.1與0.2之間，故取節(jié)點利用線性插值所求的近似值為計算結果如下圖利用拋物插值所求的近似值為計算結果如下圖利用牛頓插值法計算過程如下：構造差分表如下：xsinx0.10.20.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096利用線性插值所求的近似值為利用拋物插值所求的近似值為從上面的計算過程可以看出，拉格朗日插值法的線性插值與拋物插值的計算過程沒有繼承性，即增