排列組合論文

1、排列組合體系重建制作：星哥摘要 排列組合是高中數(shù)學中相對獨立的內(nèi)容，對學生分析問題、解決問題能力有較高要求，師生普遍反映難學難教。產(chǎn)生困難的原因很多，比如題目變化多，結構復雜，思考過程容易出錯，很難找到一個簡明而又全面的問題歸類方式；解答思路靈活，簡繁不一，答案檢驗也不容易；師生僅憑書面交流難以真正了解彼此的想法，更不用說糾正和改正錯誤了。該論文在文獻研究的基礎上，通過對部分高三學生的測試與學生的訪談，意在揭示高中生學習排列組合時的常見認知錯誤，分析其產(chǎn)生原因，并基于實證研究，為改進排列組合教學提供具體建議。 本文中，我對排列組合問題提出了一個新的分類，先將排列組合問題分為選取模型和分配模型兩

2、大類，再依次分為4個小類，部分小類中還有進一步的劃分。希望通過新的分類，更清晰地梳理問題類型，幫助學生更容易地找到解決問題的方法。通過對測試結果的分析，我將學生常見的錯誤歸為三種類型：題意理解錯誤、模式選擇錯誤、操作技術錯誤。在這三大類錯誤中包含的具體錯誤情況共有11種。對于每種錯誤，我都根據(jù)學生的訪談內(nèi)容、文獻研究等對學生的出錯原因進行了分析。通過訪談，我還發(fā)現(xiàn)，在解決陌生問題、解決限制條件多的問題時學生普遍存在困難，而且很多學生不知道如何自我檢查答案。針對學生普遍存在的困難和常見錯誤，我的建議是：(1)幫助學生認識學習目的；(2)多采用直觀圖示的方法；(3)重視讀題過程，推敲問題特征，列式

3、之后再次讀題，檢查是否有遺漏和重復；(4)利用學生錯誤，開展有意義的學習；(5)適當變式，如改換背景和增加限制條件，提高學生的理解水平；(6)引導學生用“縮小數(shù)據(jù)”和“一題多解”的方法檢驗解法的正確性。關鍵詞：排列組合，常見錯誤，高中生，數(shù)學學習 目錄第一章 引言41.1 研究背景41.2 研究問題51.3 研究意義5第二章 文獻綜述62.1 關于排列組合問題模型62.1.1 選取模型62.1.2 分配模型62.2 課程中的排列組合知識及其要求62.2.1 課程標準及考綱要求62.2.2 教材要求72.3 關于排列組合常見錯誤類型及其成因82.4 關于排列組合教學9第三章 研究的設計和實施10

4、3.1 研究對象103.2 測試題的設計103.2.1 按排列組合模型設計103.2.2 測試題設計11詳細見附錄12第四章 研究結論和建議134.1 主要結論134.2 教學建議14第一章 引言 1.1 研究背景 我國普通高中數(shù)學課程標準中指出：“計數(shù)問題是數(shù)學中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具”。“計數(shù)原理”的教學要求是“通過實例，總結出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理；能根據(jù)具體問題的特征，選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題”。它要求教師“引導

5、學生根據(jù)計數(shù)原理分析、處理問題，而不應機械地套用公式。同時，在這部分教學中，應避免繁瑣的、技巧性過高的計數(shù)問題?！?。上海市中小學數(shù)學課程標準指出“計數(shù)問題，與中學所討論的其他數(shù)學問題有不同的特點，要重視對具體問題的分析，重視數(shù)學思維品質的培養(yǎng)”。“排列組合”的教學要求是“通過實例分析，學習和掌握乘法原理和加法原理、排列和組合的概念及其計算，但所涉及的難題情境比較簡單”，“排列、組合問題中的限制條件不超過兩個；不討論重復排列問題。解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會利用計算器求排列數(shù)和組合數(shù)”。以上是全國課程標準與上海課程標準對排列組合的課程教學要求，總的來說，既承認這部分內(nèi)容對提

6、高學生思維品質有幫助，又強調(diào)要嚴格控制課程難度?！芭帕薪M合”是高中教材中相對獨立的一個章節(jié)，很多學生（包括教師）覺得它和其他章節(jié)聯(lián)系不大，在高考中所占分值很少，對其不重視。其實，當今排列組合的應用已經(jīng)超越了歷史上的自然數(shù)計數(shù)范疇，與計算機算法結合，在計算機科學、編碼和密碼學等學科有著廣泛的應用。無論是從歷史文化角度看，還是從對培養(yǎng)人們邏輯思維的影響看，它都有著重要的教育價值。上海高三年級的數(shù)學教材中有介紹排列組合的歷史，中國周代初期（公元前1035公元前879）的周易中有“四象”和“八卦”，宋代科學家沈括在夢溪筆談中討論了圍棋可能擺出的棋局數(shù)是“以一為基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3連乘

7、361次”，即3613（圍棋每格可有白子、黑子或空格三種可能，棋盤共有361 個位置），而他也提到計算數(shù)值太大，無法表達。當今社會，排列組合也有其重要的應用。在生產(chǎn)調(diào)度中，排列組合可用于計算各種可能的調(diào)度方案的數(shù)目；在科學實驗中，可用于計算各種配置方式的數(shù)目；在交通問題中，可用于計算可能路徑的數(shù)目。而組合數(shù)學更是涉及計算機科學、生物學、化學、心理學以及基因工程等前沿學科中的最新應用，例如在基因工程中，每組基因密碼都是從四個堿基：腺嘌呤(A)，烏漂呤(G),胞嘧啶(C)和胸腺嘧啶(T)中可重復選取三個進行排列而成，而人類疾病的發(fā)生往往就是某些堿基的組合而形成的，所以堿基的組合研究在基因工程研究中

8、是不能缺少的。當今高中數(shù)學課程中的排列組合看似獨立，其實，它涉及集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、幾何等多個領域，例如在數(shù)列中，對原數(shù)列每一項進行不同組合都會產(chǎn)生一個新的數(shù)列，產(chǎn)生新的性質；在立體幾何中，可以用排列組合方法來統(tǒng)計某些立體圖形內(nèi)的頂點數(shù)、邊數(shù)、面數(shù)、異面直線對數(shù)、正交線面對數(shù)等等，比直接數(shù)數(shù)要便利，尤其是在很難畫清圖形的情況下；排列組合也為概率統(tǒng)計學習如二項分布、古典概率計算等提供了必要的基礎。所以，排列組合的學習不應當是孤立的，在培養(yǎng)數(shù)學優(yōu)秀生時應當重視其在思維訓練中的重要價值。排列組合問題內(nèi)容抽象、類型繁多、解法靈活，所以歷來是教師教學中比較困難的部分，也是廣大學生極易犯錯，卻很難糾正

9、的一個學習主題。總結一下，最常被提到的有以下幾個難點：(1) 從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學模型，需要較強的抽象思維能力； (2) 限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞（特別是邏輯關聯(lián)詞和量詞）準確理解；(3) 計算手段簡單，與舊知識聯(lián)系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；(4) 計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力，采用縮小數(shù)據(jù)和一題多解等方法加以檢驗。 基于此，在學完基本的原理與公式后，更需要學生自我探究與感悟，達到真正的理解。同時，教師也要傾聽學生的想法，以便及時了解和幫助學生學習。由此看來，排列組合

10、無論是其歷史淵源、當今社會地位及高中數(shù)學教育中的作用都是不容小覷的，但教師難教、學生易錯也確實是我們面臨的難題，對排列組合學習中學生的錯誤及成因研究是很有必要的。1.2 研究問題 鑒于排列組合在高中數(shù)學及現(xiàn)實世界中的重要性，以及師生在這一章節(jié)的教與學均存在一定困難，所以我決定以高三學生對排列組合的認知錯誤為研究主題。具體來說，主要采取問卷測試和訪談的方法，深入了解學生在解排列組合題時的常見錯誤及主要原因。我主要關注以下兩個方面： 1. 高中學生在學習排列組合時有哪些常見錯誤？ 2. 導致高中生發(fā)生錯誤的主要原因有哪些？1.3 研究意義 解排列組合綜合題常常需要學生具備良好的語言理解能力、扎實的

11、數(shù)學知識功底、過硬的計算能力等，因為計數(shù)結果龐大，學生往往無法檢查答案的正確性，思考時也容易出現(xiàn)錯誤，降低了學生做題的興趣。這不僅讓很多學生懼怕排列組合題，也給教師的教學帶來了很多阻礙。排列組合問題對學生分析問題、解決問題能力有較高要求，同一個答案可以有多種思考途徑到達，除了結論的對錯外，很難有其他嚴格證明的方式去驗證。教師自己解答題目不一定有困難，但是要發(fā)現(xiàn)學生思考中的問題卻是一個不小的挑戰(zhàn)。因此，對排列組合的教和學生的學進行深入研究并提出改進建議是很有必要的。雖然中外文獻中涉及排列組合知識和教學的為數(shù)不少，很多期刊論文也分析了學生常見的錯誤，但是國內(nèi)文章很少是基于實證研究的。本文希望能結合

12、文獻研究與對學生的測試調(diào)查來找出學生在求解排列組合問題中的常見錯誤表現(xiàn)，確認、修改和補充已有文獻關于學生在排列組合學習中的主要困難，讓我們更加了解學生的“數(shù)學現(xiàn)實”。這是我想要了解的第一方面。 通過測試和訪談的方式了解學生的真實想法是什么？到底是什么原因讓學生出現(xiàn)這些錯誤？學生希望教師做何教學改進？這是我想要了解的第二方面。 最后，在上述研究的基礎上，我將對本主題的教學提出具體的有針對性的建議，以促進教師改進教學。第二章 文獻綜述 本章主要從四個方面著手，第一個方面是“關于排列組合問題模型”；第二個方面是“課程中的排列組合知識及其要求”；第三個方面是“常見的錯誤類型及其成因”；最后一個方面是“

13、關于排列組合教學”。2.1 關于排列組合問題模型 由于排列組合問題常常是文字描述相近但卻可能分屬于完全不同的類型，因此教學中一般都采用分類講模型的辦法，所以，應該對文獻中的問題歸類作一個梳理。 指導求解排列組合問題的文章較多。常見的排列組合題型歸類主要有以下幾種：特殊元素與特殊位置問題、相鄰問題、相離問題、定序問題、分組分配問題、配對問題、多排問題（對象站成多排進行排隊）、環(huán)排問題、相同元素排列問題（參與排列的部分元素完全相同）等等，每種問題都有相應的解題策略。這種教法因為問題之間缺乏聯(lián)系，類型多而且要仔細地根據(jù)問題的特征來判斷，不容易準確記憶，學生普遍感覺難學。于是課程標準通過限制問題中最多

14、只能出現(xiàn)兩個約束條件和不討論重復排列問題的辦法降低課程難度，而上述歸類中的多排問題、環(huán)排問題和相同元素排列問題都不在現(xiàn)行課標范圍內(nèi)。 根據(jù)參考的文獻，我將排列組合問題分為兩大類：選取模型和分配模型，再將選取模型分為4個小類，分配模型分為4個小類，下面作具體介紹。2.1.1 選取模型選取模型借用了抽樣概念，它是指“從一個有m個元素的集合中選取n個元素”的問題。在選取模型下，分別對應以四種可能性： 從m個元素中取n個元素的排列（不放回、元素有序） 從m個元素中有放回地取n個元素的排列（放回、元素有序） 從m個元素中取n個元素的組合（不放回、元素無序） 從m個元素中有放回地取n個元素的組合（放回、元

15、素無序）其中是我們熟知的排列定義；是我們熟知的組合定義；是可重復選擇的題型；超出了高考要求，不要求掌握。2.1.2 分配模型分配模型則是借用映射的概念，它是指“將n個元素分配進m個容器”。在分配模型下，分別對應以下四種情況：將n個不同的元素分配進m個不同的容器將n個不同的元素分配進m個相同的容器將n個相同的元素分配進m個不同的容器將n個相同的元素分配進m個相同的容器由于元素的個數(shù)及元素之間的順序也是需要考察的重要指標，因此在原來的劃分基礎上，還需要根據(jù)元素是否平均分配再劃分，再根據(jù)元素之間是否考慮順序更細致的劃分。2.2 課程中的排列組合知識及其要求 2.2.1 課程標準及考綱要求 上海市中小

16、學數(shù)學課程標準（試行稿）和2012年上海高考數(shù)學考綱中對排列組合的要求總結如表2-2表2-2 課程標準和考綱要求學習內(nèi)容考綱要求課程標準要求加法原理掌握加法原理學習內(nèi)容 考綱要求 課程標準要求 乘法原理 掌握乘法原理 通過實例分析，學習和掌握乘法 原理和加法原理、排列和組合的概念 及其計算，但所涉及的難題情境比較 簡單。 說明：排列、組合問題中的限制條件不超過兩個；不討論重復排列問題。 解排列和組合的問題，限用常見方法（包括枚舉法）。會利用計算器求排 列數(shù)和組合數(shù)乘法原理掌握乘法原理排列與排列數(shù)掌握排列的概念及其計算。會用常 見方法（包括枚舉法）解排列的問 題。會利用計算器求排列數(shù)組合與組合數(shù)

17、掌握組合的概念及其計算。會用常見方法（包括枚舉法）解組合的問題。會利用計算器求組合數(shù)在上述課程標準和考綱中，都對兩個原理和排列組合的概念提出了掌握的要求，都提出要求學生運用常見方法解題，如枚舉法。可見對于學生的要求是要掌握排列組合的基本原理和方法，不需要在問題情境和限制條件方面給學生增加太大難度。2.2.2 教材要求在高中數(shù)學必修教材中，排列組合的知識結構框架如下：教材主要介紹了排列和組合的基本概念和計算公式以及兩個計數(shù)原理。在排列中側重以例題涵蓋不相鄰問題、相鄰問題和特殊元素優(yōu)先考慮等問題，之后的內(nèi)容側重在有一個限制條件的排列組合混合題上。2.3 關于排列組合常見錯誤類型及其成因人的計數(shù)能力

18、是在不斷發(fā)展的，兒童時期的計數(shù)是具體化的，從最初的數(shù)數(shù)到借助一定方法有步驟地計數(shù)，再到使用排列組合數(shù)計數(shù)。學生學習排列組合通常從直觀的“枚舉法”開始，“枚舉”是分析解答數(shù)學題的一種方法，它是根據(jù)問題的要求，把不重復的、不遺漏的有限情況一一列舉出來，達到解答問題的目的。它適用于枚舉數(shù)量不大的計數(shù)問題，但枚舉過程要求有縝密的思維，否則容易遺漏或重復。高中生學習了排列組合，計數(shù)能力會有更大提高，但是也會有很多主觀與客觀的因素影響他們答題的準確率。根據(jù)市面上統(tǒng)計的資料發(fā)現(xiàn)，學生的錯誤類型有：“對問題陳述的誤解(改變了問題陳述中的數(shù)學模型、簡單問題復雜化、動詞意思理解錯誤)”、“分不清排列還是組合”、“

19、分不清元素是否可重復使用”、“混淆對象異同性”、“相同元素只當做一個元素”、“列舉無系統(tǒng)性”、“憑直覺的錯誤解答”、“公式錯誤”、“組合數(shù)性質錯誤”等。但是他們并沒有繼續(xù)就這些錯誤的成因作具體分析，他們統(tǒng)計錯誤類型是為了確定影響排列組合問題難度的主要因素。國內(nèi)對于學生在排列組合學習中的錯誤及其成因的研究有很多，但基本是期刊上的短文章，一般會按問題類型，介紹正確的求解方法，或者羅列學生的典型錯誤，很少通過測試訪談等進行實證研究的。 我認為比較重要的論文有胡海霞的影響高中生組合推理的因素和徐娟的高中排列組合的教學研究與實踐。胡海霞（2006）基于Batanero的研究，對國內(nèi)高中生作了類似的測試。

20、通過對867名學過和未學過排列組合知識的高中生的測試，她將學生排列組合常見錯誤類型歸結為“與兩個基本原理和概念有關的錯誤”、“文字或語義理解上的錯誤”、“重復和遺漏”、“關于公式和計算的錯誤”、“錯誤的直觀解答（學生憑直覺直接作答）”等，但她也沒有做詳細的錯因剖析。徐娟（2006）在2006年對蘭州市的326位高中生進行了測試，其中理科班159人，文科班167人。設計了十道問卷調(diào)查題和三道測試題，問卷與測試內(nèi)容囊括了學生學習目的、概念掌握、原理應用等方面。其調(diào)查是在學生剛學完排列組合后兩周，開始總復習時進行的，花時15分鐘。調(diào)查得到的主要錯誤類型有：“對問題陳述的誤解”、“順序錯誤”、“重復錯

21、誤”、“混淆對象類型(元素異同)”、“混淆單元類型(容器異同)”、“混淆題目類型”和“錯誤的直觀解答”等。比較她們兩位對于錯誤類型的總結，她們都提到了“題意本身的理解錯誤” 和“重復錯誤”，這兩種也是相關的期刊論文常常提到的。我認為，“題意本身的理解錯誤”其實是對于很多錯誤的一種涵蓋，還需要進一步細化。對于重復錯誤，劉明遠（2009）的排列組合中重復性錯誤的六種表現(xiàn)、歐陽尚昭（2003）的排列組合中幾種常見的“重復性”錯誤、應朝偉（1990）的排列組合計算中的重復錯誤淺析等都對其做了詳細的剖析，這是學生在思考排列組合題時思維很容易出現(xiàn)的一個差錯。徐娟對于錯誤原因的解釋比較籠統(tǒng)，但是也點出了學生

22、的錯誤有客觀原因，如問題書面陳述的復雜性，也有主觀原因，如知識遷移的困難性等。尤其是她提到的最后一點“學生不能很好地進行知識遷移、類比解題”（第18頁），再次說明排列組合學習的困難性，學生不能靠記憶、套公式的方法解決新的問題，要靠自己的閱讀理解和分析解答。在對于學生產(chǎn)生問題的原因解釋中，研究客觀原因，即排列組合知識特點和 13 問題本身特點的研究較多，而對于學生認知方面的原因，即思考過程研究較少，這與學生難以用書面形式表達清楚自己的思維也有關。2.4 關于排列組合教學徐娟（2006）在其論文中除了對學生的排列組合錯誤類型做出分析外，還專門針對教師的教學做了研究。她對蘭州市的60位高中教師做了調(diào)

23、查問卷，問卷包含10道題，主要包括排列組合教學的現(xiàn)狀、教學中存在的問題、教師教學的目的以及排列組合教學的思考等方面。她的調(diào)查結果是“基本上所有的教師都認為排列組合知識是高中階段的難點，有近40%的教師認為教學的主要任務是迎接高考的選拔”。而在教師的教學實踐中，有以下幾個問題：(1) 兩個原理與概念的講解不透徹。教師在講解過程中往往認為兩個原理的理解很容易，交代清楚后便進行習題訓練，把重點放在解題方法上。學生在利用原理時出現(xiàn)了不會分類或有重復或遺漏的情況。在區(qū)分排列與組合問題時，學生也出現(xiàn)了問題。(2) 忽視了讀懂題目，導致學生在求解問題時，不了解要解決的問題是什么或要達到什么目的，不知如何下手

24、做題。(3) 忽視了教學過程中前后知識聯(lián)系的重要性。有些排列組合問題，如果直接從排列組合的角度著手，很難找到解題方向，可考慮引進集合，找到解題的突破口。部分教師可能自身缺乏高水平運用知識的能力。(4) 教師對學生解決問題的實際操作過程了解和重視不夠，導致教師不知道學生是怎么想的。(5) 題目的相似性與差異性困擾了學生，學生不能辨別清楚。教師在教學中滲透思想方法教學的不多，知識零散，難以進一步遷移。(6) 教師教學研究不夠，很多教師認為排列組合教學需要改革，但做過教學研究的教師很少。這些問題的存在的確會影響教學效果，同時也影響著學生的思考方式，導致學生解題錯誤。 其他文章基本上都是憑教學經(jīng)驗總結

25、得到的成果，采用實證方法研究教學的極少。我歸納教師對于排列組合教學的主要策略有1、 講清加法原理與乘法原理的聯(lián)系與區(qū)別 加法原理與乘法原理是解排列組合應用題的基礎，掌握它們有利于學生從原理的角度去思考問題。要解決這一問題，關鍵是引導學生理解加法原理中的“分類”與乘法原理中的“分步”，尤其讓學生明白乘法原理中的每一步都是相互獨立的。此外，應該把加法原理和乘法原理的教學貫穿于整個章節(jié)。2、指導學生正確判斷排列與組合問題能判斷一個問題是排列問題還是組合問題是解決排列組合復雜問題的基礎。要引導學生通過具體的實例，用比較直觀的方法如框圖與樹狀圖對問題進行分析，相互對比，使學生切實把握排列與組合的概念以及

26、他們的區(qū)別。3、 指導學生正確選擇分析對象對于一個具體的復雜問題，要先考慮題中哪些具體對象應看成“元素”，哪些作為“容器”，選對正確的分析角度。4、 重視解題模型的分析與訓練解決排列組合問題必須重視解法的分析和訓練，提高學生的解題能力。主要通過一般與特殊相結合、分析與判斷相結合、將復雜問題簡單化等方面來訓練學生的思維。5、 重視教學中數(shù)學思想的滲透主要是分類思想、特殊化思想、轉化思想和對應思想的滲透，促使學生思想認識發(fā)生“飛躍”，達到不但“學會”，而且“會學”的效果。第3章 研究的設計和實施本章主要介紹本研究的對象、測試題的設計以及試卷分析。3.1 研究對象本研究的測試對象是我所帶的高三學生，

27、剛好高二結束，上完了排列組合章節(jié)，也完成了這個章節(jié)的復習，對排列組合有一定的認識。 為了更清楚地了解學生的解題過程，在分析完測試卷后，我就試卷中一些比較特殊的回答和我還不了解的想法向一些位學生作了個別訪談。3.2 測試題的設計3.2.1 按排列組合模型設計在第二章中給出了排列組合的兩個模型及分類，但是在具體的題目中，還會有附加的一些限制條件，為了降低難度，課程標準中指出最多只能有兩個限制條件。因此我把每個模型的具體分類及添加的條件作了一個綜合的整理，然后配對上相應的測試題。（1） 選取模型和對應的測試題 注意：選取模型是指“從一個有m個不同元素的集合中選取n個元素（mn）”的問題。所有元素都不

28、同，而且是部分元素參與。具體分類與測試題對應關系見表3-1。表3-1 選取模型及相應的測試題號 模型具體分類無限制條件一個限制條件兩個限制條件選取模型可重復無序超綱可重復有序1（2）無重復無序2(1)2(3)、7無重復有序2(2)2（4）“選取模型”中的“可重復無序樣本”解題過程中涉及到要先考慮“重復元素的排列”，然后除序，而“重復元素的排列”對于學生來說難度較高，已不屬于高中課程標準中的內(nèi)容，所以不予考查。對應的具體練習： 1)可重復無序型：超綱，不要求 2)可重復有序型：例：學校運動會中，五名學生報名參加四項體育比賽，若五名學生同時參加這四項比賽，則獲得冠軍的可能有多少種？ 3)無重復無序

29、型：例：從0,5,11,13中任意抽取兩個數(shù)相加，問最終一共有多少種不同的和？ 4)無重復有序型：例：從0,5,11,13中任意抽取兩個數(shù)相減，問最終一共有多少種不同的差？（2）分配模型和對應的測試題注意：分配模型是指“將m個元素分配到n個容器中”。此模型與選取模型的最大區(qū)別是元素全部元素參與以及參與分配的元素可以相同也可以不同，但每個元素僅被分配一次，所以不存在重復使用的問題。由于在第二章中談到分配模型的考察要素還有元素的個數(shù)及是否有順序，因此我在原來的4個分類的基礎上，增加了是否平均分配，而且被分配的元素同時還要考慮是否有序。最終一共細分為11個小類。（見表3-2）。其中對于“元素在容器間

30、平均分配”，我特別將“一一對應”模式單獨列出，主要是其做法比較簡單。當元素不同，容器相同時，“一一對應”方式只有一種情況，故不再討論。當元素相同時，不存在順序問題，且此時的平均分配都只有一種情況，故也不作討論?！胺峙淠Ｐ汀敝小癿個相同元素非平均分配到n個相同容器中”，只需考慮每個元素分堆時每堆數(shù)量的可能性，難度較低，也未考查。對于分配到各個容器中元素的有序性問題在高中階段的排列組合問題中很少碰到，所以只在E5模型中出一道題，而其他三種有序模型中不再出題。具體分類與測試題對應關系見表3-2。表3-2分配模型及相應的測試題號模型元素與容器的異同元素在容器間的分配形式容器內(nèi)元素是否有序無條件限制一個

31、條件限制兩個條件限制分配模型元素不同容器不同平均分配一個容器中只有一個元素/一個容器中有多個元素無序有序非平均分配無序有序元素不同容器相同平均分配無序有序非平均分配無序有序元素相同容器不同 非平均分配元素相同容器相同 非平均分配 對應的具體練習： 1、元素不同、容器不同、平均分配且符合一一對應： 例：將5個人分配到5個不同的工作崗位，問一共有多少種不同的分配方式？ 2、元素不同、容器不同、平均分配、元素無序 例：將9個人分配到3所不同的學校，每個學校分配3人，問一共有多少種 不同的分配方式？ 3、元素不同、容器不同、平均分配、元素有序 例：將9個人分配到3所不同的學校，每個學校分配3人，且被分

32、配到學校 里的人需要從周一、周三、周五中選擇一天值班，問共有多少種不同的情況？ 4、元素不同、容器不同、非平均分配、元素無序 例：將5個人分配到3所不同的學校，每所學校至少分配一人，問一共有多 少種不同的分配方式？ 5、元素不同、容器不同、非平均分配、元素有序 例：學校文藝匯演原本有10個節(jié)目，現(xiàn)要增加3個節(jié)目，不能加在第一個，原 有節(jié)目 順序不變，增加后，節(jié)目安排共有幾種方案？ 6、元素不同、容器相同、平均分配、元素無序 例：將6本不同的書平均分成三堆，問有多少種不同的分法？ 7、元素不同、容器相同、平均分配、元素有序（不要求） 8、元素不同、容器相同、非平均分配、元素無序 例：把5本不同的

33、書分成3組，每組至少一本，問有多少種不同的分法？ 9、元素不同、容器相同、非平均分配、元素有序（不要求） 10、元素相同、容器不同 例：現(xiàn)有10個保送上大學的名額，分配給7所學校，每校至少1個名額，共有 幾種分 配方法？ 11、元素相同、容器相同（不要求）3.2.2 測試題設計 詳細見附錄第四章 研究結論和建議4.1 主要結論本研究主要關注的是高中學生在解決排列組合問題過程中顯現(xiàn)的困難，根據(jù)平時教學中的經(jīng)驗和學生所反映出的意見主要提出兩個研究問題： 1. 高中學生在學習排列組合時有哪些常見錯誤？ 2. 導致高中生發(fā)生錯誤的主要原因有哪些？我通過測試分析主要得到如下結論： 學生在排列組合中出現(xiàn)的

34、常見錯誤類型有 1) 重復考慮順序出錯 例：有4雙不同顏色的鞋子，從中取出2只不成雙的鞋子，問共有幾種取法? 常見錯誤答案： 正確答案： 2) 遺忘部分對象排序 例：將7個人排成一排，其中甲乙必須站在一起，問共有多少種不同的站法? 常見錯誤答案是 正確答案是 3) 無序分配重復除序 例：將5本書分成3組，其中一組有一本，另外兩組各兩本,問有多少種不同的分法？ 常見錯誤答案有 ，正確答案是 4) 增序性重復 例：將6本書平均分成3組，常見錯誤答案有，正確答案是 5) 元素是否可重復使用不分 例：學校運動會中，五名學生報名參加四項體育比賽，若五名學生同時參加這四 項比賽，則獲得冠軍的可能有多少種？

35、 常見錯誤答案： 正確答案： 6) 誤解題目陳述 7) 元素異同不分 例：將4個乒乓球分別裝進兩個不同的盒子中，每個盒子中至少裝一個球，問有多少 種方法？ 常見錯誤答案： 正確答案： 8) 計數(shù)錯誤 9) 分類過程中產(chǎn)生遺漏 例：將5本書分成3堆，沒堆至少有一本，問有多少種不同的分法？ 常見錯誤答案：，正確答案 10) 同一性重復 例：從0,5,11,13中任意選取兩個數(shù)相乘，問最終又多少種不同的結果？ 常見錯誤答案： ，正確答案： 11) 分不清屬于排列還是組合 例：某學校高二連續(xù)七天內(nèi)要排四門科目的考試，三天休息。現(xiàn)有物理、化學、 歷史、 生物四門學業(yè)水平科目考試各要排一天，若要使三天休息

36、連在一起，則考試安排方法 有幾種？ 常見錯誤答案：, 正確答案：這11類錯誤中的“元素異同不分”、“元素是否可重復使用不分”和“誤解題目陳述”都是學生對于題目中關鍵的元素、容器和動詞沒有理解到位，這三種類型的平均錯誤比例處于中間位置，但涉及題目數(shù)量較多，特別是“元素異同不分”的錯誤尤其頑固?！胺诸愡^程中產(chǎn)生遺漏”的錯誤也涉及到多到題型，很多學生對于一些可以直接總體解決的問題使用基礎的分類方法進行討論，而討論過程中涉及多次基本的排列組合運算，大大增大了其錯誤的比例。與原來文獻中歸類的錯誤類型相比，我發(fā)現(xiàn)結果有一定改動。我將“誤解題目中的動詞”改為“誤解題目陳述”主要是因為對于題目的誤解包含對整件

37、事情各方面的讀題錯誤；將“插空時空隙數(shù)數(shù)錯”改為“計數(shù)錯誤”，主要是將其涵蓋范圍擴大，“計數(shù)”問題不僅包括空隙數(shù)，也可包括元素數(shù)量等等。文獻中“枚舉不全”問題在測試題中出現(xiàn)比例不高，主要是使用枚舉法的學生很少，即使在枚舉過程中出現(xiàn)的問題也都是由其他提到的錯誤類型涵蓋了；“未考慮特殊情況(元素)出錯”在學生中同樣出現(xiàn)比例很低，即使出現(xiàn)問題主要都是對限制條件把控不到位，很少有遺漏或為考慮的現(xiàn)象；“分類有交叉性重復”同樣在學生中沒有太多表現(xiàn)，即學生對于“類”之間的差別基本能分清，反而是“分類過程產(chǎn)生遺漏”更為嚴重?！板e誤選擇分析”在筆者的分析中有談及，但是在統(tǒng)計時比例較低，將其不列為常見錯誤；“解題方法選用不當”涵蓋面太廣，泛泛而談，故舍去。新增“無序分配重復除序”是在以往文獻中未詳細談及的錯誤類型。 4.2 教學建議 針對本研究所得到的主要結論，我給出以下教學建議：1. 在學生剛開始接觸排列組合時，教師不必急于歸納題型，教給方法，而應該 讓學生更清楚學習排列組合是為了解決計數(shù)問題，并在簡單問題情境下使用樹狀圖或列表法等具體直觀地演示一般的求總數(shù)的方法，分類不重復、不遺漏。在后期的教學過程中，也不應完全摒棄這些具體的一般的方法，以適應學