專題：解析幾何中的動點(diǎn)軌跡問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：解析幾何中的動點(diǎn)軌跡問題學(xué)大蘇分教研中心 周坤 軌跡方程的探求是解析幾何中的基本問題之一，也是近幾年各省高考中的常見題型之一。解答這類問題，需要善于揭示問題的內(nèi)部規(guī)律及知識之間的相互聯(lián)系。本專題分成四個部分，首先從題目類型出發(fā)，總結(jié)常見的幾類動點(diǎn)軌跡問題，并給出典型例題；其次從方法入手，總結(jié)若干技法（包含高考和競賽要求，夠你用的了.）；然后，精選若干練習(xí)題，并給出詳細(xì)解析與答案，務(wù)必完全弄懂；最后，回顧高考，列出近幾年高考中的動點(diǎn)軌跡原題。OK，不廢話了，開始進(jìn)入正題吧.Part 1 幾類動點(diǎn)軌跡問題1、 動線段定比分點(diǎn)的軌跡例1 已知線段AB的長為5，并且它的

2、兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，點(diǎn)P在段AB上，求點(diǎn)P的軌跡。；例2 已知定點(diǎn)A(3,1),動點(diǎn)B在圓O上,點(diǎn)P在線段AB上,且BP:PA=1:2,求點(diǎn)P的軌跡的方程.所以點(diǎn)P的軌跡為2、 兩條動直線的交點(diǎn)問題例3 已知兩點(diǎn)P（-1,3），Q（1,3）以及一條直線，設(shè)長為的線段AB在上移動（點(diǎn)A在B的左下方），求直線PA、QB交點(diǎn)M的軌跡的方程例4 已知是雙曲線的兩個頂點(diǎn)，線段MN為垂直于實(shí)軸的弦，求直線與的交點(diǎn)P的軌跡3、 動圓圓心軌跡問題例5 已知動圓M與定圓相切，并且與x軸也相切，求動圓圓心M的軌跡例6 已知圓，圓M與圓和圓都相切，求動圓圓心M的軌跡4、 動圓錐曲線中相關(guān)點(diǎn)的軌跡例

3、7 已知雙曲線過和，它的一個焦點(diǎn)是，求它的另一個焦點(diǎn)的軌跡例8 已知圓的方程為，動拋物線過點(diǎn)和，且以圓的切線為準(zhǔn)線，求拋物線的焦點(diǎn)F的軌跡方程Part 2 求動點(diǎn)軌跡的十類方法一、直接法根據(jù)已知條件及一些基本公式如兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式、切線長公式等，直接列出動點(diǎn)滿足的等量關(guān)系式，從而求得軌跡方程。過程是“建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡整理”，主要用于動點(diǎn)具有的幾何條件比較明顯時。OYxNMA 例1 已知動點(diǎn)M到定點(diǎn)A（1，0）與到定直線L：x=3的距離之和等于4，求動點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？解 設(shè)M（x,y）是軌跡上任意一點(diǎn)，作MNL于N，由

4、MAMN4，得 當(dāng)x3時上式化簡為y2=12(x-4)當(dāng)x3時上式化簡為 y2=4x所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=12(x-4) (3x4)和y2=4x (0x3). 其軌跡是兩條拋物線弧。例2 已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：，動點(diǎn)M到圓C的切線長與的比等于常數(shù)，求動點(diǎn)M的軌跡方程，說明它表示什么曲線 解：設(shè)M（x，y），直線MN切圓C于N，則有 ，即 ， 整理得，這就是動點(diǎn)M的軌跡方程若，方程化為，它表示過點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若1，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓二、定義法 圓錐曲線是解析幾何中研究曲線和方程的典型問題，當(dāng)動點(diǎn)符合圓錐曲線定義時，可直接寫出其軌跡方程。此法一般用

5、于求圓錐曲線的方程，在高考中常填空題的形式出現(xiàn) 例3 在相距離1400米的A、B兩哨所上，哨兵聽到炮彈爆炸聲的時間相差3秒，已知聲速是340米/秒，問炮彈爆炸點(diǎn)在怎樣的曲線上？ 解 因?yàn)榕趶棻c(diǎn)到A、B兩哨所的距離差為3×340=1020米，若以A、B兩點(diǎn)所在直線為x軸，AB的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系，由雙曲線的定義知炮彈爆炸點(diǎn)在雙曲線 上例4 若動圓與圓外切且與直線x=2相切，則動圓圓心的軌跡方程是_解 設(shè)動圓圓心為M，由題意，動點(diǎn)M到定圓圓心（2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，故所求軌跡是以（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開

6、口向左，所以方程是例5 一動圓與兩圓和都外切，則動圓圓心軌跡為（ ）（A）拋物線 （B）圓（C）雙曲線的一支 （D）橢圓解 設(shè)動圓圓心為M，半徑為r，則有所以動點(diǎn)M到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以O(shè)、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，選（C） 三、轉(zhuǎn)移法（重中之重） 若軌跡點(diǎn)P（x ,y）依賴于某一已知曲線上的動點(diǎn)Q（x0, y0），則可先列出關(guān)于x、y, x0、y0的方程組，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲線方程便得動點(diǎn)P的軌跡方程。一般用于兩個或兩個以上動點(diǎn)的情況。 例6 已知P是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線上的動點(diǎn)，求F1F2P的重心G的軌跡方程。 解 設(shè) 重心

7、G（x, y）, 點(diǎn) P（x0, y0）， 因?yàn)镕1（-5，0），F(xiàn)2（5，0） 則有 , ， 故代入 得所求軌跡方程（y0） 例7 已知拋物線，定點(diǎn)A（3，1），B為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP:PA=1:2，當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上變動時，求點(diǎn)P的軌跡方程，并指出這個軌跡為哪種曲線解：設(shè)，由題設(shè)，P分線段AB的比， 解得.又點(diǎn)B在拋物線上，其坐標(biāo)適合拋物線方程， 整理得點(diǎn)P的軌跡方程為其軌跡為拋物線四、點(diǎn)差法 圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2）的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y

8、2, x1-x2, y1-y2 等關(guān)系式，由于弦AB的中點(diǎn)P（x, y）的坐標(biāo)滿足2x= x1+x2, 2y= y1+y2且直線AB的斜率為，由此可求得弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程。 例8 已知以P（2，2）為圓心的圓與橢圓x2+2y2=m交于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。Y解 設(shè)M（x, y），A（x1, y1），B（x2, y2）PMA則x1+x2=2x , y1+y2 = 2y 由， B兩式相減并同除以（x1-x2）得XO ,而kAB= kPM=, 又因?yàn)镻MAB所以kAB×kPM=1故 化簡得點(diǎn)M的軌跡方程xy +2x- 4y=0五、幾何法 運(yùn)用平面幾何的知識如平幾中的5

9、個基本軌跡、角平分線性質(zhì)、圓中垂徑定理等分析軌跡形成的條件，求得軌跡方程。 例9 如圖，給出定點(diǎn)A（a,0）(a>0)和直線L：x=1, B是直線L上的動點(diǎn)，BOA的平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系。LCAOB解 設(shè)B（-1，b），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=bx , 設(shè)C（x,y），由點(diǎn)C到OA，OB的距離相等，得|y|= 又點(diǎn)C在直線AB上，故有y=由x-a0得b= 代入 化簡整理得 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0若y0, 則 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0<x<a)若y=0, 則 b

10、=0,AOB=得C（0，0）滿足上式 ，綜合得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0 (0x<a) 以下對a分類討論略(本題用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理來解亦很方便)6、 交軌法一般用于求兩動曲線交點(diǎn)的軌跡方程，可以通過這兩曲線的方程直接求出交點(diǎn)的方程，也可以選出一個適當(dāng)?shù)膮?shù)，求出兩動曲線的方程或動點(diǎn)坐標(biāo)適合的含參數(shù)的等式，再消去參數(shù)，即得所求動點(diǎn)軌跡的方程ONMBA例10 已知MN是橢圓中垂直于長軸的動弦，A、B是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，求直線 MA和NB的交點(diǎn)P的軌跡方程。 解1:(利用點(diǎn)的坐標(biāo)作參數(shù))令M(x1,y1 ) ，則N(x1,-y1)而A(-a,0),B(

11、a,0) .設(shè)AM與NB的交點(diǎn)為P(x,y)因?yàn)锳, M, P 共線. 所以因?yàn)镹, B,P 共線. 所以兩式相乘得， 而即代入得，即交點(diǎn)P的軌跡方程為解2: (利用角作參數(shù))設(shè)M(acos,bsin) 則N(acos,-bsin)所以 , 兩式相乘消去即可得所求的P點(diǎn)的軌跡方程為 例11 已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長為的線段AB在直線上移動，求直線PA和QB交點(diǎn)M的軌跡方程解：PA和QB的交點(diǎn)M（x，y）隨A、B的移動而變化，故可設(shè)，則PA：QB：消去t，得當(dāng)t=2，或t=1時，PA與QB的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)M的軌跡方程是七、參數(shù)法若動點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)x與y之間的關(guān)系不易直

12、接找到，而動點(diǎn)變化受到另一變量的制約，則可求出x、y關(guān)于另一變量的參數(shù)方程，再化為普通方程常用的參數(shù)有點(diǎn)參數(shù)，角參數(shù),斜率參數(shù),定比參數(shù),用此法要注意參數(shù)的實(shí)際意義.MOAB例12 如圖,設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y2= 4px (p>0)上原點(diǎn)O以外的兩個動點(diǎn),且OAOB,過O作OMAB于M，求點(diǎn)M的軌跡方程. 解1 (常規(guī)設(shè)參)設(shè)M(x,y)，A(x1,y1),B(x2,y2),則（）由A,M B共線得 則把（）代入上式得化簡得M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x0)解2 (變換方向) 設(shè)OA的方程為y=kx (k0) 則OB的方程為由 得 A() ， 由得B (2pk2,-2pk)所以

13、直線AB的方程為 因?yàn)镺MAB,所以直線OM的方程為 ×即得M的軌跡方程:x2+y2-2px=0(x0)解3 (轉(zhuǎn)換觀點(diǎn)) 視點(diǎn)M為定點(diǎn),令M( x0,y0), 由OMAB可得直線AB的方程為, 與拋物線y2=4px聯(lián)立消去y 得,設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2) 則又因?yàn)镺AOB 所以 故=即 所以M點(diǎn)的軌跡方程為例13 設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)O，一個焦點(diǎn)為F（0，1），長軸和短軸的長度之比為t（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為Q，點(diǎn)P在該直線上，且，當(dāng)t變化時，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形解：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解

14、得 所以橢圓方程為(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得 由和得其中t1消去t，得點(diǎn)P軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分例14 過點(diǎn)M(-2, 0)作直線L交雙曲線xy = 1于A、B兩點(diǎn)，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB。求動點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)過M的直線方程為: y = k (x + 2) (k0，k1)，代入雙曲線xy = 1得：（1 k）x4 kx 4 k1 = 0OAPB為平行四邊形，則：x = x + x = ； yy = y + y = k (x + x) + 4k = 。 P 消去k得xy+ 4xp = 0 M O x當(dāng)Lx軸時，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，0），也

15、滿足上述方程。而由k0，得x0。故所求的軌跡方程為：xy+ 4x = 0 (x0)。八、韋達(dá)定理法有些軌跡問題,其變量或不確定的因素較多,直接探求顯得困難,但是,根據(jù)題設(shè)構(gòu)造出一個一元二次方程,利用韋達(dá)定理來探究,則往往能消除一些參變量,迅速求得軌跡方程例15 過拋物線y=x2的頂點(diǎn) O,任作兩條互相垂直的弦OA,OB, 若分別以O(shè)A,OB為直徑作圓, 求兩圓的另一交點(diǎn)C的軌跡方程解：設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (), () , 則由OAOB得 t1t2=1因?yàn)橐設(shè)A為直徑的圓方程為 同理以O(shè)B為直徑的圓方程為 而點(diǎn)C(x,y)滿足 ,由知t1,t2是關(guān)于t的二次方程yt2 + xt- x2-

16、y2= 0的兩根,根據(jù)t1t2=1及韋達(dá)定理得 , 即有x2 + y2 - y =0(y0)這就是C點(diǎn)的軌跡方程.九、復(fù)數(shù)法 如果動點(diǎn)的運(yùn)動和角度有明顯的關(guān)系，那么可以將直角坐標(biāo)平面看成復(fù)平面,利用復(fù)數(shù)的幾何意義求解動點(diǎn)軌跡方程。 例16 邊長為m的正三角形ABC的兩頂點(diǎn)A,B分別在x軸,y軸上滑動, A .B .C三點(diǎn)按順時針順序排列，求點(diǎn)C的軌跡方程. 解: 視xoy為復(fù)平面,設(shè) C(x,y), A(a,0) , B(0,b)則向量表示的復(fù)數(shù)為x+yi,向量表示的復(fù)數(shù)為a,向量表示復(fù)數(shù) a+bi,把向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)就得到向量,所以向量表示的復(fù)數(shù)為,由得由復(fù)數(shù)相等的條件得 而a2+b2=

17、m2所以點(diǎn)C的軌跡方程為十、極坐標(biāo)法 某些動點(diǎn)按照一定的規(guī)律運(yùn)動時,如果與角度和長度有關(guān),則可通過建立極坐系較為方便地求得軌跡方程.PRQ 例17 已知橢圓與直線L: , P為直線L上的任一點(diǎn),OP交橢圓于點(diǎn)R,OLQ是OP上一點(diǎn),且滿足|OP|OQ|=|OR|2求動點(diǎn)Q的軌跡方程并指出軌跡的曲線.解 以原點(diǎn)為極點(diǎn),ox軸正方向?yàn)闃O軸建立極坐標(biāo)系則橢圓的極坐標(biāo)方程為,直線L的極坐標(biāo)方程,則,設(shè)點(diǎn)Q(,),由|OQ|OP|=|OR|2得整理得 即2x2+3y2=4x+6y(x,y不同為0)故Q點(diǎn)的軌跡方程為(x,y不同為0),其軌跡是去掉原點(diǎn)的一個橢圓.例18 已知AOB =2(0 < &

18、lt;)，其內(nèi)一動點(diǎn)P,從點(diǎn)P向角的兩邊分別作垂線PQ、PR，且四邊形OQPR的面積為定值a，求動點(diǎn)P的軌跡方程。解：以O(shè)點(diǎn)為極點(diǎn)，AOB的平分線為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)P(,) = cos(+) , = sin(+), = cos() , = sin()sin(+)cos(+) + B sin() cos() = a O P x 即 sin2(+) + sin2() = a A sin2 cos2 = a cos2 = 即動點(diǎn)P的軌跡方程為：xy= 2acsc2 (在AOB的內(nèi)部的一段)。Part 3 經(jīng)典習(xí)題一、選擇題1. 已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個動點(diǎn)，如果延長F1P到Q

19、，使得|PQ|=|PF2|，那么動點(diǎn)Q的軌跡是( )A.圓B.橢圓C.雙曲線的一支D.拋物線2. 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長軸兩個端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( )A.B.C.D.二、填空題3. ABC中，A為動點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動點(diǎn)A的軌跡方程為_.4. 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_.三、解答題5. 已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|A

20、B|=|BC|=6，O切直線l于點(diǎn)A，又過B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程.6. 雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個動點(diǎn)，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程.7. 已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.(1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)mn時，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.8. 已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R.(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)

21、動時，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l：y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時，求k的值.解析與答案一、1.解析：|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長2a,故動點(diǎn)Q的軌跡是圓.答案：A2.解析：設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案：C二、3.解析：由sinCsinB=sinA,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為,故方

22、程為.答案：4.解析：設(shè)P(x,y），依題意有,化簡得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0.答案：4x2+4y285x+100=0三、5.解：設(shè)過B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切線的性質(zhì)知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y0)6.解：設(shè)P(x0

23、,y0）(x±a),Q(x,y).A1(a,0),A2(a,0).由條件而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2.即b2(x2)a2()2=a2b2化簡得Q點(diǎn)的軌跡方程為：a2x2b2y2=a4(x±a).7.解：(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為：y=A2Q的方程為：y=×得：y2=又因點(diǎn)P在雙曲線上，故代入并整理得=1.此即為M的軌跡方程.(2)當(dāng)mn時，M的軌跡方程是橢圓.()當(dāng)mn時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=

24、；()當(dāng)mn時，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.8.解：(1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對稱點(diǎn)為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0).|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,則(x1+c)2+y12=(2a)2.又得x1=2x0c,y1=2y0.(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，x02+y02=a2.故R的軌跡方程為：x2+y2=a2(y0)(2)如右圖，SAOB=|OA|·|OB|·sinAOB=sinAOB當(dāng)AOB=90°時，SAOB最大值為a2.此時弦心距|OC|=.在RtAOC中，AOC=45°，Part 4 高考中的動點(diǎn)軌跡問題1已知兩點(diǎn)、，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足，求動點(diǎn)的軌跡方程2已知動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)到定直線：的距離之比為，求動點(diǎn)的軌跡的方程3已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線上的動點(diǎn), 圓與軸交于兩點(diǎn)，且，求橢圓的方程4已知點(diǎn)，直線：，為平面上的動點(diǎn)，過