上海高考數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典壓軸題解析詳解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上上海高考數(shù)學(xué)壓軸題系列訓(xùn)練含答案及解析詳解1.(本小題滿分12分)已知常數(shù)a>0,n為正整數(shù)，fn(x)=xn(x+a)n(x>0)是關(guān)于x的函數(shù).(1)判定函數(shù)fn(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.(2)對(duì)任意n?a,證明fn+1(n+1)<(n+1)fn(n)解:(1)fn(x)=nxn1n(x+a)n1=nxn1(x+a)n1,a>0,x>0,fn(x)<0,fn(x)在（0，+）單調(diào)遞減.4分（2）由上知：當(dāng)x>a>0時(shí),fn(x)=xn(x+a)n是關(guān)于x的減函數(shù),當(dāng)n?a時(shí),有：(n+1)n(n+1+a)n?n

2、n(n+a)n.2分又fn+1(x)=(n+1)xn(x+a)n,fn+1(n+1)=(n+1)(n+1)n(n+1+a)n<(n+1)nn(n+a)n=(n+1)nn(n+a)(n+a)n12分(n+1)fn(n)=(n+1)nnn1(n+a)n1=(n+1)nnn(n+a)n1,2分(n+a)>n,fn+1(n+1)<(n+1)fn(n).2分2.(本小題滿分12分)已知：y=f(x)定義域?yàn)?，1，且滿足：f(1)=f(1)=0，對(duì)任意u,v?1，1，都有|f(u)f(v)|uv|.(1)判斷函數(shù)p(x)=x21是否滿足題設(shè)條件？(2)判斷函數(shù)g(x)=，是否滿足題設(shè)條

3、件？解：(1)若u,v?1，1，|p(u)p(v)|=|u2v2|=|(u+v)(uv)|，取u=?1，1，v=?1，1,則|p(u)p(v)|=|(u+v)(uv)|=|uv|>|uv|，所以p(x)不滿足題設(shè)條件.（2）分三種情況討論：10.若u,v?1，0，則|g(u)g(v)|=|(1+u)(1+v)|=|uv|，滿足題設(shè)條件；20.若u,v?0，1，則|g(u)g(v)|=|(1u)(1v)|=|vu|，滿足題設(shè)條件；30.若u?1，0，v?0，1，則：|g(u)g(v)|=|(1u)(1+v)|=|uv|=|v+u|vu|=|uv|，滿足題設(shè)條件;40若u?0，1，v?1，0

4、,同理可證滿足題設(shè)條件.綜合上述得g(x)滿足條件.3.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)P(t,y)在函數(shù)f(x)=(x?1)的圖象上，且有t2c2at+4c2=0(c?0).(1)求證：|ac|?4;(2)求證：在(1，+）上f(x)單調(diào)遞增.(3)(僅理科做)求證：f(|a|)+f(|c|)>1.證：(1)t?R,t?1,=(c2a)216c2=c4a216c2?0，c?0,c2a2?16,|ac|?4.(2)由f(x)=1,法1.設(shè)1<x1<x2,則f(x2)f(x1)=11+=.1<x1<x2,x1x2<0,x1+1>0,x2+1>0,f(x2

5、)f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),x?0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.法2.由f(x)=>0得x?1,x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增.（3）（僅理科做）f(x)在x>1時(shí)單調(diào)遞增，|c|?>0,f(|c|)?f()=f(|a|)+f(|c|)=+>+=1.即f(|a|)+f(|c|)>1.4（本小題滿分15分）設(shè)定義在R上的函數(shù)（其中R，i=0,1,2,3,4），當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極大值，并且函數(shù)y=f(x+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對(duì)稱（1） 求f(x)的表達(dá)式；（2） 試在函數(shù)f(x)的圖象上求兩點(diǎn)，使這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的

6、橫坐標(biāo)都在區(qū)間上；（3） 若，求證：解：（1）5分（2）或10分（3）用導(dǎo)數(shù)求最值，可證得15分5（本小題滿分13分）設(shè)M是橢圓上的一點(diǎn)，P、Q、T分別為M關(guān)于y軸、原點(diǎn)、x軸的對(duì)稱點(diǎn)，N為橢圓C上異于M的另一點(diǎn)，且MNMQ，QN與PT的交點(diǎn)為E，當(dāng)M沿橢圓C運(yùn)動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)則1分3分由（1）（2）可得6分又MNMQ，所以直線QN的方程為，又直線PT的方程為10分從而得所以代入（1）可得此即為所求的軌跡方程.13分6（本小題滿分12分）過拋物線上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)使得？若存在，求出的

7、值，若不存在，請(qǐng)說明理由.解法（一）：（1）設(shè)由得：3分直線PA的方程是：即同理，直線PB的方程是：由得：點(diǎn)P的軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分所以故存在=1使得12分解法（二）：（1）直線PA、PB與拋物線相切，且直線PA、PB的斜率均存在且不為0，且設(shè)PA的直線方程是由得：即3分即直線PA的方程是：同理可得直線PB的方程是：由得：故點(diǎn)P的軌跡方程是6分（2）由（1）得：10分故存在=1使得12分7（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)在上是增函數(shù).（1） 求正實(shí)數(shù)的取值范圍；（2） 設(shè)，求證：解：（1）對(duì)恒成立，對(duì)恒成立又為所求.4分（2）取，一方面，由（1）知在上是增函數(shù)，即8分另一方面，設(shè)函

8、數(shù)在上是增函數(shù)且在處連續(xù)，又當(dāng)時(shí)，即綜上所述，14分8(本小題滿分12分)如圖，直角坐標(biāo)系中，一直角三角形，、在軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在邊上，的周長為12若一雙曲線以、為焦點(diǎn)，且經(jīng)過、兩點(diǎn)(1)求雙曲線的方程；(2)若一過點(diǎn)（為非零常數(shù)）的直線與雙曲線相交于不同于雙曲線頂點(diǎn)的兩點(diǎn)、，且，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)雙曲線的方程為，則由，得，即（3分）解之得，雙曲線的方程為（5分）(2)設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使設(shè)直線的方程為，由，得即（6分），即（8分）把代入，得（9分）把代入并整理得其中且，即且（10分）代入，得，化簡得當(dāng)時(shí)，上式恒成立因此，在軸上存在定點(diǎn)，使（12分）9(本小題滿分14分)已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1)求；(2)試比較與的大?。ǎ?；(3)求證：，（）解：(1)，得，即（3分）