數(shù)值分析上機(jī)指導(dǎo)書

1、數(shù)值分析上機(jī)指導(dǎo)書曾繁慧 編著遼寧工程技術(shù)大學(xué)理學(xué)院目 錄MATLAB平臺簡介1實驗1 數(shù)值計算誤差與MATLAB語言3實驗2 非線性方程與MATLAB應(yīng)用4實驗3 線性方程組與MATLAB應(yīng)用5實驗4 插值法與MATLAB應(yīng)用7實驗5 函數(shù)逼近與MATLAB應(yīng)用4實驗6 數(shù)值微積分與MATLAB應(yīng)用6實驗7 常微分方程與MATLAB應(yīng)用7文檔可自由編輯打印MATLAB平臺簡介MATLAB名字由MATrix和 LABoratory 兩詞的前三個字母組合而成。那是20世紀(jì)七十年代后期的事：時任美國新墨西哥大學(xué)計算機(jī)科學(xué)系主任的Cleve Moler教授出于減輕學(xué)生編程負(fù)擔(dān)的動機(jī)，為學(xué)生設(shè)計了一組

2、調(diào)用LINPACK和EISPACK庫程序的“通俗易用”的接口，此即用FORTRAN編寫的萌芽狀態(tài)的MATLAB。經(jīng)幾年的校際流傳，在Little的推動下，由Little、Moler、Steve Bangert合作，于1984年成立了MathWorks公司，并把MATLAB正式推向市場。從這時起，MATLAB的內(nèi)核采用C語言編寫，而且除原有的數(shù)值計算能力外，還新增了數(shù)據(jù)圖視功能。MATLAB以商品形式出現(xiàn)后，僅短短幾年，就以其良好的開放性和運行的可靠性，使原先控制領(lǐng)域里的封閉式軟件包（如英國的UMIST，瑞典的LUND和SIMNON，德國的KEDDC）紛紛淘汰，而改以MATLAB為平臺加以重建。

3、在時間進(jìn)入20世紀(jì)九十年代的時候，MATLAB已經(jīng)成為國際控制界公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計算軟件。到九十年代初期，在國際上30幾個數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中，MATLAB在數(shù)值計算方面獨占鰲頭，而Mathematica和Maple則分居符號計算軟件的前兩名。Mathcad因其提供計算、圖形、文字處理的統(tǒng)一環(huán)境而深受中學(xué)生歡迎。在歐美大學(xué)里，諸如應(yīng)用代數(shù)、數(shù)理統(tǒng)計、自動控制、數(shù)字信號處理、模擬與數(shù)字通信、時間序列分析、動態(tài)系統(tǒng)仿真等課程的教科書都把MATLAB作為內(nèi)容。MATLAB是攻讀學(xué)位的大學(xué)生、碩士生、博士生必須掌握的基本工具。在國際學(xué)術(shù)界，MATLAB已經(jīng)被確認(rèn)為準(zhǔn)確、可靠的科學(xué)計算標(biāo)準(zhǔn)軟件。在許多國際一流

4、學(xué)術(shù)刊物上，（尤其是信息科學(xué)刊物），都可以看到MATLAB的應(yīng)用。在設(shè)計研究單位和工業(yè)部門，MATLAB被認(rèn)作進(jìn)行高效研究、開發(fā)的首選軟件工具。如美國National Instruments公司信號測量、分析軟件LabVIEW，Cadence公司信號和通信分析設(shè)計軟件SPW等，或者直接建筑在MATLAB之上，或者以MATLAB為主要支撐。又如HP公司的VXI硬件，TM公司的DSP，Gage公司的各種硬卡、儀器等都接受MATLAB的支持。MATLAB的一些功能如下：MATLAB擁有世界一流水平的數(shù)值計算函數(shù)庫。MATLAB自問世起，就抱定一個宗旨：其所有數(shù)值計算算法都必須是國際公認(rèn)的、最先進(jìn)的、

5、可靠算法；其程序由世界一流專家編制，并經(jīng)高度優(yōu)化；而執(zhí)行算法的指令形式則必須簡單、易讀易用。MATLAB正是仰賴這些高質(zhì)量的數(shù)值計算函數(shù)贏得了聲譽(yù)。MATLAB數(shù)值計算函數(shù)庫的另一個特點是其內(nèi)容的基礎(chǔ)性和通用性。它正由于這一特點，而適應(yīng)了諸如自動控制、信號處理、動力工程、電力系統(tǒng)等應(yīng)用學(xué)科的需要，并進(jìn)而開發(fā)出一系列應(yīng)用工具包。MATLAB的圖形可視能力在所有數(shù)學(xué)軟件中是首屈一指的。MATLAB的圖形系統(tǒng)有高層和低層兩個部分組成。高層指令友善、簡便；低層指令細(xì)膩、豐富、靈活。一般說來，不管二元函數(shù)多么復(fù)雜，它的三維圖形，僅需10條左右指令，就能得到富于感染力的表現(xiàn)。數(shù)據(jù)和函數(shù)的圖形可視手段包括：

6、線的勾畫、色圖使用、濃談處理、視角選擇、透視和裁剪。MATLAB有比較完備的圖形標(biāo)識指令，它們可標(biāo)注：圖名、軸名、解釋文字和繪畫圖例。MATLAB的圖形用戶界面(GUI)以其友好性和直觀易懂性在軟件編程上被廣泛使用。開發(fā)一個GUI程序的過程主要有：布局好圖形用戶界面對象和給這個圖形用戶界面編寫代碼。具體的開發(fā)步驟：GUI界面的設(shè)計和布局、GUI的編程、菜單的設(shè)計和布局以及菜單的編程。MATLAB的控制仿真功能SIMULINK。這是一個交互式操作的動態(tài)系統(tǒng)建模、仿真、分析集成環(huán)境。它的出現(xiàn)使人們有可能考慮許多以前不得不做簡化假設(shè)的非線性因素、隨機(jī)因素，從而大大提高了人們對非線性、隨機(jī)動態(tài)系統(tǒng)的認(rèn)

7、知能力。MATLAB開發(fā)了與外部進(jìn)行直接數(shù)據(jù)交換的組件，打通了MATLAB進(jìn)行實時數(shù)據(jù)分析、處理和硬件開發(fā)的道路。MATLAB的符號計算工具箱。1993年MathWorks公司從加拿大滑鐵盧大學(xué)購得Maple的使用權(quán)，以Maple為“引擎”開發(fā)了Symbolic Math Toolbox 1.0。MathWorks公司此舉加快結(jié)束了國際上數(shù)值計算、符號計算孰優(yōu)孰劣的長期爭論，促成了兩種計算的互補(bǔ)發(fā)展新時代。MATLAB的Notebook功能。MathWorks公司瞄準(zhǔn)應(yīng)用范圍最廣的Word ，運用DDE和OLE，實現(xiàn)了MATLAB與Word的無縫連接，從而為專業(yè)科技工作者創(chuàng)造了融科學(xué)計算、圖形

8、可視、文字處理于一體的高水準(zhǔn)環(huán)境。影像處理也是MATLAB最主要的特色與功能之一。影像是指經(jīng)過攝影而獲得的像。影像處理的科學(xué)定義是：使用計算機(jī)將數(shù)字影像信息進(jìn)行數(shù)字化，并進(jìn)一步予以分析、加強(qiáng)、編碼、解譯、分割、辨識、復(fù)原、強(qiáng)化、縮放、著色等及與之相關(guān)的技術(shù)。事實上MATLAB幾乎可以設(shè)計與處理所有的影像處理方面的問題。它不但可以生成各種各樣的影像，而且處理起來具有更高的理論層次水平。比如對一幅影像它可以取出該影像的外緣，而舍棄其它部分不要，它還可以對該影像進(jìn)行傅立葉分析與處理把影像處理在頻域內(nèi)進(jìn)行。數(shù)字信號的處理。MATLAB對數(shù)字信號進(jìn)行基本處理，包括進(jìn)行快速傅立葉變換、求信號的功率譜和濾波

9、等，從被處理的信號中獲得我們想要的信息。MATLAB的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)功能。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)這門學(xué)科是受了人腦這部高度智能、發(fā)達(dá)的“機(jī)器”的啟發(fā)，而逐漸發(fā)展起來的一門前沿技術(shù)科學(xué)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢在于它的學(xué)習(xí)性和自動調(diào)整性，所以非常適合于處理非線性的問題。它被廣泛應(yīng)用于各行各業(yè)上，例如語音識別、實時語言翻譯、目標(biāo)的跟蹤和識別、工業(yè)方面的過程控制等等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無論是工業(yè)應(yīng)用還是科學(xué)研究都是一個有力的工具，有著巨大的潛力。它的應(yīng)用主要是偏重于特征的提取、過程的控制和狀態(tài)的預(yù)測。實驗1 數(shù)值計算誤差與MATLAB語言要求：掌握MATLAB語言，理解誤差與數(shù)值穩(wěn)定性。1實驗?zāi)康模赫莆誐ATLAB語言的程序設(shè)計。實驗內(nèi)容

10、：對以下問題，編寫M文件。（1）用起泡法對10個數(shù)由小到大排序。即將相鄰兩個數(shù)比較，將小的調(diào)到前頭。（2）有一個4×5矩陣，編程求其最大值及其所處的位置。（3）編程求 。（4）一球從100米高度自由落下，每次落地后反跳回原高度的一半，再落下。求它在第10次落地時，共經(jīng)過多少米？第10次反彈有多高？（5）有一函數(shù)，寫一程序，輸入自變量的值，輸出函數(shù)值。2實驗?zāi)康模赫莆誐ATLAB語言的圖形繪制。實驗內(nèi)容：（1）在同一平面中的兩個窗口分別畫出心形線和馬鞍面。并且1）在圖形上加格柵、圖例和標(biāo)注；2）定制坐標(biāo)；3）以不同角度觀察馬鞍面。（2）以不同的視角觀察球面和圓柱面 所圍區(qū)域。3實驗?zāi)康?/p>

11、：理解算法的數(shù)值穩(wěn)定性。實驗內(nèi)容：對于積分，有下面兩個算法。算法1：，；算法2：，。數(shù)值對比說明舍入誤差與算法的數(shù)值穩(wěn)定性的關(guān)系。實驗2 非線性方程與MATLAB應(yīng)用要求：理解非線性方程數(shù)值求解思想，掌握常用算法的設(shè)計，掌握用MATLAB實現(xiàn)的數(shù)值解法。1. 實驗?zāi)康模罕容^不同方法的計算量。實驗內(nèi)容：比較求的根到三位小數(shù)所需的計算量：（1）在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法；（2）用迭代法，取初值；（3）用牛頓迭代法，取初值。2. 實驗?zāi)康模貉芯坎煌某踔祵εｎD迭代過程的影響。實驗內(nèi)容：用牛頓法求方程在區(qū)間上誤差不大于的根。分別取初值、進(jìn)行計算，比較它們的迭代次數(shù)。3. 實驗?zāi)康模貉芯康ǖ氖諗啃耘c收斂

12、速度。實驗內(nèi)容：1225年，達(dá)·芬奇研究了方程并得到它的一個根。沒有人知道他用什么方法得到的。分別對上述方程建立迭代法（1）；（2）。分別研究這兩個迭代法的收斂性、收斂速度以及用斯蒂芬森加速的可能性。通過數(shù)值計算加以比較，請自行設(shè)計一種比較形象的記錄方式，如利用MATLAB的圖形功能。4. 實驗?zāi)康模貉芯恳话愕降膹?fù)雜行為，初步看到混沌現(xiàn)象。實驗內(nèi)容：考慮迭代公式。取中不同的值，并取進(jìn)行迭代，畫出不同情況下的的圖形，并分析取值與圖形的關(guān)系。你將對于迭代法有更深刻的理解。實驗3 線性方程組與MATLAB應(yīng)用要求：理解線性方程組直接法與迭代法思想，掌握常用算法的設(shè)計，掌握用MATLA

13、B實現(xiàn)的數(shù)值解法。1實驗?zāi)康模豪斫饩仃嚨姆稊?shù)與條件數(shù)。實驗內(nèi)容：已知矩陣 求，和。2實驗?zāi)康模貉芯扛咚瓜シǖ臄?shù)值穩(wěn)定性（出現(xiàn)小主元）。實驗內(nèi)容：設(shè)方程組，其中（1），（2），分別對以上兩個方程組（1）計算矩陣的條件數(shù)，判斷系數(shù)矩陣是良態(tài)的還是病態(tài)的？（2）用列主元消去法求得L和U及解向量；（3）用不選主元的高斯消去法求得L和U及解向量；（4）觀察小主元并分析對計算結(jié)果的影響。3實驗?zāi)康模貉芯烤€性方程組直接法的時間復(fù)雜性。實驗內(nèi)容：分別用高斯消去法、LU分解法、追趕法、平方根法解方程組取，比較所用時間。4實驗?zāi)康模豪斫鈼l件數(shù)的意義和方程組的性態(tài)對解向量的影響。實驗內(nèi)容：設(shè)和，其中，由相應(yīng)矩陣的

14、元素計算，其計算公式為。對取，下面均用MATLAB函數(shù)求方程組的解。（1）取=4,6,8，分別計算和，判斷和是否為病態(tài)矩陣？隨的增大，矩陣性態(tài)的變化如何？（2）取=6，分別求出兩個方程組的解向量；（3）取=6，不變，對的元素和分別加一個攝動10-6，分別求出的解向量；（4）取=6，不變，對的元素和分別加一個攝動10-7，分別求出的解向量；不變，對的元素加一個攝動10-4，求出的解向量；（5）觀察和分析和的微小擾動對解向量的影響，得出你的結(jié)論；（6）求，和的計算結(jié)果和理論估計。5. 實驗?zāi)康模豪斫庋趴杀鹊ㄅc高斯塞德爾迭代法。實驗內(nèi)容：設(shè)是階矩陣。取方程組的精確解，并且對于，由此形成右端向量。

15、取初始向量，分別取，用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法求解，并分別對，記錄所需的迭代次數(shù)。分析結(jié)果并得出你的結(jié)論。6. 實驗?zāi)康模豪斫獾ㄊ諗康暮x以及迭代初值和方程組系數(shù)矩陣性質(zhì)對收斂速度的影響。實驗內(nèi)容：用迭代法解方程組，其中（1）選取不同的初始向量和不同的方程組右端向量，給定迭代誤差要求，用雅可比迭代法與高斯塞德爾迭代法計算，觀測得到的迭代向量序列是否收斂？若收斂，記錄迭代次數(shù)，分析計算結(jié)果并得出你的結(jié)論；（2）取定初始向量和右端向量，將的主對角線元素成倍增長若干次，非主對角線元素不變，每次用雅可比迭代法計算。要求迭代誤差滿足，比較收斂速度，分析現(xiàn)象并得出你的結(jié)論。實驗4 插值法與MAT

16、LAB應(yīng)用要求：理解插值的基本原理，掌握常用算法的設(shè)計，掌握用MATLAB實現(xiàn)插值。1. 實驗?zāi)康模貉芯咳丝跀?shù)據(jù)的插值與預(yù)測。實驗內(nèi)容：下表給出了從1940年到1990年的美國人口，用插值方法推測1930年、1965年、2010年人口的近似值。美國人口數(shù)據(jù)年194019501960197019801990人口：千132,165151,326179,323203,302226,542249,6331930年美國的人口大約是123203千人，你認(rèn)為你得到的1965年和2010年的人口數(shù)字精確度如何？2. 實驗?zāi)康模豪斫獠逯档幕驹?。實驗?nèi)容：已知數(shù)據(jù)如下0.20.40.60.81.00.9798

17、6520.91777100.80803480.63860930.3843735（1） 設(shè)計全區(qū)間上拉格朗日插值或者Newton插值程序，并在第一個圖中畫出離散數(shù)據(jù)及插值函數(shù)曲線。（2） 在第一個圖中畫出分段線性插值函數(shù)，并與（1）作對比說明。（3） 對于自然邊界條件，在第二個圖中畫出離散數(shù)據(jù)及滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)。（4） 對于第一種邊界條件，在第三個圖中畫出離散數(shù)據(jù)及滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)。3. 實驗?zāi)康模貉芯扛叽尾逯档臄?shù)值不穩(wěn)定性。實驗內(nèi)容：這是Runge提出的著名的多項式插值問題。設(shè)函數(shù)，在-1，1上取個等距節(jié)點，構(gòu)造次Lagrange插值多項式。Runge提出一個問題，

18、隨著的增加，是否收斂于？答案是，對一些是收斂的，但對另一些不成立。（1） 在同一個圖上，分別畫出的與。對Runge現(xiàn)象分析，對什么樣的有，當(dāng)時？（2） 改變插值點的分布，使它們不等間距，這樣做對收斂有何影響？你是否能找到一種分布，使得對-1，1區(qū)間內(nèi)所有都成立？4. 實驗?zāi)康模阂痪S插值的應(yīng)用畫圖。實驗內(nèi)容：畫你自己的手的形狀，在MATLAB中輸入figure('position',get(0,'screensize')axes('position',0 0 1 1)x,y=ginput;將你的手掌張開放在計算機(jī)屏幕上，然后使用計算機(jī)鼠標(biāo)選取一系列

19、點勾勒出手的輪廓，按回車鍵結(jié)束ginput過程，這樣就獲得了一系列你的手掌外形數(shù)據(jù)點。也可以這樣獲得數(shù)據(jù)點，先把手放在一張白紙上，并用筆畫出它的輪廓線，然后將紙貼在計算機(jī)屏幕上，透過紙能看到平面上的鼠標(biāo)，并通過ginput記錄下輪廓上的點。將和坐標(biāo)值看作是兩個獨立變量的函數(shù)，獨立變量的取值為從1到記錄的點的數(shù)目。下面程序利用MATLAB的插值函數(shù)進(jìn)行插值，并畫出你的手掌外形輪廓。n=length(x);s=(1:n)'t=(1:0.05:n)'u=interp1(s,x,t,'spline');v=interp1(s,y,t,'spline');

20、clf reset,plot(x,y,'.',u,v,'-'),%xlabel('X'),ylabel('Y')5. 實驗?zāi)康模阂痪S插值的應(yīng)用機(jī)床加工。實驗內(nèi)容：待加工零件的外形根據(jù)工藝要求由一組數(shù)據(jù)給出（在平面情況下），用程控銑床加工時每一刀只能沿方向和方向走非常小的一步，這就需要從已知數(shù)據(jù)得到加工所要求的步長很小的坐標(biāo)。機(jī)翼斷面的下輪廓線上的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表/m0 3 5 7 9 11 12 13 14 15/m0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6求出加工時每改變0.1m時的坐標(biāo)，并畫出相應(yīng)的

21、輪廓曲線。6. 實驗?zāi)康模憾S插值的應(yīng)用山區(qū)地貌圖。實驗內(nèi)容：利用MATLAB的peaks函數(shù)生成某山區(qū)的一些地點及其高度三維數(shù)據(jù)（單位：m）。命令格式：x,y,z=peaks(n)，生成的n階矩陣x,y,z為測量的山區(qū)地點三維數(shù)據(jù)。根據(jù)peaks函數(shù)生成的數(shù)據(jù)畫出該山區(qū)的地貌圖和等值線圖。實驗5 函數(shù)逼近與MATLAB應(yīng)用要求：理解函數(shù)逼近的基本原理，掌握常用算法的設(shè)計，掌握用MATLAB實現(xiàn)逼近與數(shù)據(jù)的最小二乘擬合。1實驗?zāi)康模鹤钚《藬M合的經(jīng)驗公式。實驗內(nèi)容：某類疾病發(fā)病率為和年齡段(每五年為一段，例如05歲為第一段，610歲為第二段)之間有形如的經(jīng)驗關(guān)系，觀測得到的數(shù)據(jù)表如下12345

22、67890.8982.383.071.842.021.942.222.774.02101112131415161718194.765.466.5310.916.522.535.750.661.681.8（1）用最小二乘法確定模型中的參數(shù)和。（2）利用MATLAB畫出離散數(shù)據(jù)及擬合函數(shù)圖形。（3）利用MATLAB畫出離散點處的誤差圖，并計算相應(yīng)的均方誤差。（4）談一談你對最小二乘擬合的理解，并舉出一個應(yīng)用此方法的例子。2實驗?zāi)康模鹤钚《藬M合的經(jīng)驗公式。實驗內(nèi)容：在某科研中，觀察水份的滲透速度，測得時間與水的重量的數(shù)據(jù)如下 (秒)(克)4.224.023.853.593.443.022.59已知

23、與之間的關(guān)系有經(jīng)驗公式, 試用最小二乘法（用Matlab中的函數(shù)polyfit或非線性擬合函數(shù)nlinfit）確定和。3實驗?zāi)康模鹤钚《藬M合模型。實驗內(nèi)容：某年美國轎車價格的調(diào)查資料如表，其中表示轎車的使用年數(shù)，表示相應(yīng)的平均價格，試分析用什么形式的曲線來擬合表中的數(shù)據(jù)，并預(yù)測使用4.5年后轎車的平均價格大致為多少？1 2 3 4 5 6 7 8 9 102615 1943 1494 1087 765 538 484 290 226 2044實驗?zāi)康模豪斫獠煌谋平椒?。實驗?nèi)容：對被逼近函數(shù)，在區(qū)間0,1上分別利用插值方法、最佳一致逼近以及最佳平方逼近三種方法求形如的逼近函數(shù)，并進(jìn)行比較。

24、再畫出每種方法的逼近函數(shù)曲線以及誤差圖。5. 實驗?zāi)康模貉芯孔罴哑椒奖平囗検降氖諗啃再|(zhì)。實驗內(nèi)容：取函數(shù)，在-1，1上以勒讓德多項式為基函數(shù)，對于構(gòu)造最佳平方逼近多項式，令，將的曲線畫在一個圖上。令，畫出的曲線。做出之間的最小二乘曲線，能否提出關(guān)于收斂性的猜測。實驗6 數(shù)值微積分與MATLAB應(yīng)用要求：理解數(shù)值微積分思想，掌握常用算法的設(shè)計，掌握用MATLAB實現(xiàn)數(shù)值微積分。1. 實驗?zāi)康模豪斫鈴?fù)化求積公式。實驗內(nèi)容：對于定積分。（1）分別取利用復(fù)化梯形公式計算，并與真值比較。再畫出計算誤差與之間的曲線。（2）取0，1上的9個點，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計算，并比較精度。2.實驗?zāi)康模簲?shù)值積分的應(yīng)用（選擇適當(dāng)?shù)那蠓e函數(shù)計算定積分）。實驗內(nèi)容：地球衛(wèi)星的飛行軌道是一個橢圓，橢圓周長的計算公式是其中，是橢圓的長半軸，是地球中心與軌道中心（橢圓中心）的距離。令為近地點距離，為遠(yuǎn)地點距離，(km)為地球半徑，則，。我國第一顆人