非正選周期電路

1、8.1 換路定律與初始條件換路定律與初始條件 8.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng) 8.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 8.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng)8.5 一階電路的三要素法一階電路的三要素法第第8章章 動態(tài)電路的過渡過程動態(tài)電路的過渡過程8.1 換路定律與初始條件換路定律與初始條件 8.1.1 過渡過程的概念過渡過程的概念SUsCLRL1L2L3圖 8.1 過渡過程演示電路圖 在電路理論中, 通常把電路狀態(tài)的改變（如通電、斷電、短路、電信號突變、電路參數(shù)的變化等）, 統(tǒng)稱為換路。 換路是外因, 電路中有儲能元件（也叫動態(tài)元件）是內(nèi)因。 8.1.2 換路定

2、律換路定律 1. 具有電感的電路具有電感的電路 )0()0(LLii2. 具有電容的電路具有電容的電路 )0()0(CCuu 8.1.3 初始值的計(jì)算初始值的計(jì)算 換路后的最初一瞬間（即t=0+時(shí)刻）的電流、電壓值, 統(tǒng)稱為初始值。 SUsCuCiCR1i1R2i2(a)UsCuC (0)iC (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b) 例例8.1 圖8.2（a）所示電路中, 已知Us=12V, R1=4k, R2=8k, C=1F, 開關(guān)S原來處于斷開狀態(tài), 電容上電壓uC(0-)=0。求開關(guān)S閉合后, t=0+時(shí), 各電流及電容電壓的數(shù)值。 圖 8.2 例 8.1電路圖(a) 電原理圖；

3、 (b) t=0+時(shí)的等效電路 解解 選定有關(guān)參考方向如圖所示。 (1) 由已知條件可知: uC(0-)=0。 (2) 由換路定律可知: uC(0+)=uC(0-)=0。 (3) 求其它各電流、電壓的初始值。畫出t=0+時(shí)刻的等效電路, 如圖8.1（b）所示。由于uC(0+)=0, 所以在等效電路中電容相當(dāng)于短路。故有mARUiRRuisC310412)0(, 00)0()0(311222由KCL有iC(0+)=i1（0+）-i2（0+）=3-0=3mA。 例例8.2 如圖8.3（a）所示電路, 已知Us=10V, R1=6, R2=4, L=2mH, 開關(guān)S原處于斷開狀態(tài)。求開關(guān)S閉合后t=

4、0+時(shí), 各電流及電感電壓uL的數(shù)值。 SUsi3R1i1R2i2(a)Usi3 (0)R1i1 (0)R2i2 (0)(b)iL (0) =1 AuL (0)LuL圖8.3 例 8.2 電路圖(a) 電原理圖； (b) t=0+時(shí)的等效電路 解解 選定有關(guān)參考方向如圖所示。 (1) 求t=0-時(shí)電感電流iL(0-)。 由原電路已知條件得0)0(14610)0()0()0(32121iARRUiiisL(2) 求t=0+時(shí)iL(0+)。由換路定律知AiiLL1)0()0( (3) 求其它各電壓、電流的初始值。畫出t=0+時(shí)的等效電路如圖8.3（b）所示。由于S閉合, R2被短路, 則R2兩端電

5、壓為零, 故i2(0+)=0。 由KCL有 Aiiii1)0()0()0()0(1213由KVL有 VRiUUuRiUsLLs46110)0()0()0()0(1111 例例8.3 如圖8.4（a）所示電路, 已知Us=12V, R1=4, R2=8, R3=4, uC（0-）=0, iL（0-）=0, 當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合。 求當(dāng)開關(guān)S閉合后, 各支路電流的初始值和電感上電壓的初始值。 SUsLuLiLR1iR2uCCiCR3UsuL (0)R1R2uC (0)CiC (0)R3i (0)iL (0)(a)(b) 圖8.4 例 8.3電路圖 (a) 電原理圖； (b) t=0+時(shí)的等效電路

6、解解 (1) 由已知條件可得由已知條件可得0)0(,0)0(LCiu(2) 求求t=0+時(shí)時(shí), uC(0+)和和iL（0+）的值。）的值。由換路定律知 0)0()0(,0)0()0(LLCCiiuu（3） 求其它各電壓電流的初始值。求其它各電壓電流的初始值。 VRiuARRUiiCLsC881)0()0(18412)0()0(2218.2 一階電路的零輸入響應(yīng)一階電路的零輸入響應(yīng)只含有一個(gè)儲能元件的電路稱為一階電路。 8.2.1 RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) 圖8.7 一階RC電路的零輸入響應(yīng)(a) 電路圖； (b) 換路瞬間等效電路 根據(jù)KVL, uR=uC=Ri, 而i=-

7、C(duC/dt)(式中負(fù)號表明iC與uC的參考方向相反)。將i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得RCtptCptptptptCCAeAeuRCpRCpAeRCpAeRCpAeAeuucdtduRC1010)1(00由換路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即將A=U0代入式（8.6）, 得.000AAeAeURCRCtCeUu0RCCeRURui10 的數(shù)值大小反映了電路過渡過程的快慢, 故把叫RC電路的時(shí)間常數(shù)。 圖 8.8 一階 RC電路的零輸入響應(yīng)波形 (a) uC波形； (b) i波形 表表8.1 電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律電容電壓及電流隨時(shí)間變化的規(guī)律 ti0e0

8、=1 2 3 4 5 00te368. 01e135. 02e050. 03e018. 04e007. 05eeCu0U0368. 0U0135. 0U0050. 0U0018. 0U0007. 0URU0RU0368. 0RU0135. 0RU0050. 0RU0018. 0RU0007. 0 例例8.4 供電局向某一企業(yè)供電電壓為kV, 在切斷電源瞬間, 電網(wǎng)上遺留有 的電壓。已知送電線路長L=30km, 電網(wǎng)對地絕緣電阻為500M, 電網(wǎng)的分布每千米電容為C0=0.008 F/km, 求 (1) 拉閘后1分鐘, 電網(wǎng)對地的殘余電壓為多少？ (2) 拉閘后10分鐘, 電網(wǎng)對地的殘余電壓為多

9、少？ 解解 電網(wǎng)拉閘后, 儲存在電網(wǎng)電容上的電能逐漸通過對地絕緣電阻放電, 這是一個(gè)RC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)問題。 由題意知, 長30 km的電網(wǎng)總電容量為KV210FFLCC70104 . 224. 030008. 0tCeUtukVUsRCMR00788)(210120104 . 2105105500VesukVVesuCC3 .9510210)600(6 . 8857610210)60(1206003120603放電電阻為時(shí)間常數(shù)為 電容上初始電壓為 在電容放電過程中, 電容電壓(即電網(wǎng)電壓)的變化規(guī)律為 故8.2.2 串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng) SuRUsR1ARLuLi

10、L圖 8.9 一階RL電路的零輸入響應(yīng) 由KVL得0LRuu而uR=iLR, uL=L(diL/dt)。故 tLLtLRtLLLLIdtdiLuIRiueIiidtdiRLdtdiLRiReRe00000或0I0iLt(a)0I0RuRt(b)0 I0RuLt(c)圖 8.10 一階RL電路的零輸入響應(yīng)波形 (1) 一階電路的零輸入響應(yīng)都是按指數(shù)規(guī)律隨時(shí)間變化而衰減到零的。 (2) 零輸入響應(yīng)取決于電路的初始狀態(tài)和電路的時(shí)間常數(shù)。 8.3 一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)一階電路的零狀態(tài)響應(yīng) 若在一階電路中, 換路前儲能元件沒有儲能, 即uC（0-）, iL（0-）都為零, 此情況下由外加激勵(lì)而引起的響應(yīng)

11、叫做零狀態(tài)響應(yīng)。 8.3.1 RC串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuRuCCiRUs圖 8.12 RC電路的零狀態(tài)響應(yīng) 由KVL有 sCRUuu 將各元件的伏安關(guān)系uR=iR和 代入式(8.11)得dtduCiCsCCUudtduRCtCsCCCCAeuUuuuu（8.11）(8.12)(8.13)(8.14)(8.15)上式中=RC。 將式（8.14）、（8.15）代入式（8.13）, 得tsCCCAeUuuu0)0()0(CCuussssUAAUAeUAeU000于是tssCeUUu式中, Us為電容充電電壓的最大值, 稱為穩(wěn)態(tài)分量或強(qiáng)迫分量。 是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減的分量，稱

12、為暫態(tài)分量或自由分量。 tseU)1 (tsCeUuttsRCsRCtssCeIeRUeURCCeUUdtdCdtduCi01)(1)(tstsReUReRUiRu。 圖 8.13 RC 電路的零狀態(tài)響應(yīng)曲線 0uRtUsuRiUsR0uCtUs(a)(b)i 例例8.5 如圖8.14(a）所示電路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 電容事先未充電, 在t=0時(shí)合上開關(guān)S。求 (1） 時(shí)間常數(shù); （2） 最大充電電流; （3） uC, uR和i的表達(dá)式; （4） 作uC , uR和i隨時(shí)間的變化曲線; （5） 開關(guān)合上后1ms時(shí)的uC, uR和i的值。 解解 （1） 時(shí)間常數(shù)s

13、sRC20010210120046（2） 最大充電電流 ARUis1 . 1200220max（3） uC, uR, i的表達(dá)式為AeeeRUiVeeUuVeeeUutttsttsRtttsC33341051051051021 . 1200220220)1 (200)1 (200)1 ( （4） 畫出uC, uR, i的曲線如圖8.14(b)所示。 SuRuCCiR0i /At220 VuRiUs(a)(b)uC1.1 AuC uR /V，圖 8.14 例8.5 圖 （5） 當(dāng) 時(shí)smst3101AeiVeuVeeuRC0077. 0007. 01 . 11 . 15 . 1007. 0220

14、2205 .218)007. 01 (220)1 (220)1 (22033333310105101055101058.3.2 RL串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuLiLRUsLAuR.圖8.15 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)電路 由KVL有: uR+uL=Us。根據(jù)元件的伏安關(guān)系得sLUdtdiLRi即 RUidtdiRLsLLtsLAeRUi0)0(ARUAeRUistsL(8.22) 即 RUAs將A=-Us/R 代入式(8.22), 得)1 (ttssLeIeRURUi式中, I=Us/R。 求得電感上電壓為tststtLeUeRULRLIeLeIdtdLdtdiLu1)1 (

15、)1 ()1 (tstLReUeRIRiu0iLt(a)0tuR(b)uLUsUsRuLuR，圖8.16 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)波形 例例8.5 如圖8.14(a）所示電路, 已知Us=220V, R=200, C=1F, 電容事先未充電, 在t=0時(shí)合上開關(guān)S。 求 (1） 時(shí)間常數(shù); （2） 最大充電電流; （3） uC, uR和i的表達(dá)式; （4） 作uC , uR和i隨時(shí)間的變化曲線; （5）開關(guān)合上后 1 ms時(shí)的uC, uR和i的值。 解解 （1） 時(shí)間常數(shù)ssRC20010210120046（2） 最大充電電流ARUis1 . 1200220max（3） uC, uR, i的表達(dá)

16、式為 AeeeRUiVeeUuVeteeUuttstsRttsCtt33310510510541 . 1200220220)1 (220)1021 (220)1 (（4） 畫出uC、 uR、 i的曲線如圖8.14(b)所示。 SuRuCCiR0i /At220 VuRi(a)uC1.1 AuC uR /V，圖 8.14 例8.5 圖 （b）（5） 當(dāng)t=1ms=10-3s 時(shí)AeeeRUiVeuVeeuttsRCt33333105101055101051 . 12002205 . 1007. 02202205 .218)007. 01 (220)1 (220)1 (2208.3.2 RL串聯(lián)電

17、路的零狀態(tài)響應(yīng)串聯(lián)電路的零狀態(tài)響應(yīng) SuLiLRUsLAuR.圖8.15 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)電路 由KVL有: uR+uL=Us。 根據(jù)元件的伏安關(guān)系得sLLUdtdiLRi即 RUidtdiRLsLLtsLAeRUi0)0(ARUAeRUistsL(8.22)SuLiLRUsLAuR.即 RUAs將A=-Us/R 代入式(8.22), 得 )1 (t-tssLeIeRURUi式中,I=Us/R。 求得電感上電壓為 )1 ()1 (1)1 (ttttteUeRIRiueUeRULRLIeLeIdtdLdtdiLusLRsstLL0iLt(a)0tuR(b)uLUsUsRuLuR，圖8.16

18、 一階RL電路零狀態(tài)響應(yīng)波形 例例8.6 圖8.17所示電路為一直流發(fā)電機(jī)電路簡圖, 已知?jiǎng)?lì)磁電阻R=20, 勵(lì)磁電感L=20H, 外加電壓為Us=200V, 試求 （1）當(dāng)S閉合后, 勵(lì)磁電流的變化規(guī)律和達(dá)到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間; (2) 如果將電源電壓提高到250V, 求勵(lì)磁電流達(dá)到額定值的時(shí)間。 SiLRUsLG圖8.17 例8.6圖 解解 (1） 這是一個(gè)RL零狀態(tài)響應(yīng)的問題, 由RL串聯(lián)電路的分析知: )1 (tsLeRUi式中Us=200 V, R=20 , =L/R=20/20=1s, 所以AeeittL)1 (10)1 (20200 一般認(rèn)為當(dāng)t=（35）時(shí)過渡過程基本結(jié)束, 取t

19、=5, 則合上開關(guān)S后, 電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間為5秒。 （2） 由上述計(jì)算知使勵(lì)磁電流達(dá)到穩(wěn)態(tài)需要5秒鐘時(shí)間。 steeetittt6 . 1)1 (5 .1210)1 (5 .12)1 (20250)(0iL/At/s1012.51.65圖8.18 強(qiáng)迫勵(lì)磁法的勵(lì)磁電流波形 8.4 一階電路的全響應(yīng)一階電路的全響應(yīng) 當(dāng)一個(gè)非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵(lì)時(shí), 電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)叫做一階電路的全響應(yīng)。SiuCRUsUot = 0圖 8.19 一階RC電路的全響應(yīng) 由KVL有sCCsCRUudtduRCUuu或RCtsCCCAeUuuu 由初始條件:uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入上式有

20、U0=Us+A, 即A=U0-Us。所以, 電容上電壓的表達(dá)式為 t-0)(eUUUussC 由式（8.26）可見, Us為電路的穩(wěn)態(tài)分量, 為電路的暫態(tài)分量, 即全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量tseUU)(0(8.26)有三種情況: (a) U0Us 0uCtUsU0U0 Us穩(wěn)態(tài)分量全響應(yīng)暫態(tài)分量uCt全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量0uCt全響應(yīng)0U0=Us穩(wěn)態(tài)分量U0 UsU0Us暫態(tài)分量圖 8.20 一階RC電路全響應(yīng)曲線 電路中的電流為 tsCeRUUdtduCi0ttsCeUeUu0)1 ( 上式中 是電容初始值電壓為零時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng), 是電容初始值電壓為U0時(shí)的零輸入響應(yīng)。 故又有 )1 (tse

21、UteU0全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng) ReUeRUist-0t-(8.27) 例例8.7 圖8.21所示電路中, 開關(guān)S斷開前電路處于穩(wěn)態(tài)。 設(shè)已知Us=20V, R1=R2=1k, C=1F。求開關(guān)打開后, uC和iC的解析式, 并畫出其曲線。 SR2Ci1iCR1t = 0UsuCi2圖8.21 例 8.7圖 解解 選定各電流電壓的參考方向如圖所示。因?yàn)閾Q路前電容上電流iC（0-）=0, 故有 mAARRUiis101010101020)0()0(3332121換路前電容上電壓為 VRiuC101011010)0()0(3322即 U0=10V。 SR2Ci1iCR1t = 0UsuC

22、i2 由于UoUs, 所以換路后電容將繼續(xù)充電, 其充電時(shí)間常數(shù)為 mssCR1101011013631將上述數(shù)據(jù)代入式(8.26) , (8.27), 得33101001000010001000()20(1020)20 1020 1010000.0110ttttCsstsCttuUUU eeeVUUieeReAemASR2Ci1iCR1t = 0UsuCi2uC , iC隨時(shí)間的變化曲線如圖8.22所示。 0uC / V20(a)1012430iC / mA(b)101243t / ms t / ms圖8.22 例8.7 uC、iC隨時(shí)間變化曲線 例例8.8 如圖8.23(a)所示電路, 已

23、知Us=100V, R0=150, R=50, L=2H, 在開關(guān)S閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài), t=0時(shí)將開關(guān)S閉合, 求開關(guān)閉合后電流i和電壓UL的變化規(guī)律。 UsR0RLi (0) = IouLS(a)LuLR i (0) = 0LuLR(b)(c)Usi圖8.23 例8.8圖(a) 電路圖； (b) 零輸入； (c) 零狀態(tài) 解法解法1 全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量開關(guān)S 閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài), 故有0)0(5 . 0150150100)0(00LsuARRUIi當(dāng)開關(guān)S 閉合后, R0被短路, 其時(shí)間常數(shù)為ARUisRLs25010004. 0502電流的穩(wěn)態(tài)分量為 tTAeAei25電流的

24、暫態(tài)分量為全響應(yīng)為tAeiiti252)(由初始條件和換路定律知 Aii5 . 0)0()0(02525 . 0ttAeVeedtddtdiLuAetiAAttLt25252575)5 . 12(25 . 12)(5 . 1,25 . 0故即所以 解法解法2 全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng) 電流的零輸入響應(yīng)如圖8.23 (b)所示, i(0+)=I0=0.5A。于是AeeIitt2505 . 0電流的零狀態(tài)響應(yīng)如圖8.23 (c)所示, i(0+)=0。所以 AeeRUitts2522)1 (全響應(yīng) VeedtddtdiLuAeeeiiittLttt252525252575)5 . 12(25

25、 . 12225 . 08.5 一階電路的三要素法一階電路的三要素法 穩(wěn)態(tài)值, 初始值和時(shí)間常數(shù), 我們稱這三個(gè)量為一階電路的三要素, 由三要素可以直接寫出一階電路過渡過程的解。 此方法叫三要素法。 設(shè) f（0+）表示電壓或電流的初始值，f（）表示電壓或電流的新穩(wěn)態(tài)值,表示電路的時(shí)間常數(shù), f（t）表示要求解的電壓或電流。這樣, 電路的全響應(yīng)表達(dá)式為teffftf)()0()()(（8.30）表表 8.2 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表 名 稱微分方程之解三要素表示法RC電路的零輸入響應(yīng) 直流激勵(lì)下RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)teRUiRCeUutC00)(teR

26、UieeUustsC)1 (teftf)0()(tteftfeftf)0()()1)()(名 稱微分方程之解三要素表示法直流激勵(lì)下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng) RL電路的零輸入響應(yīng)一階RC電路的全響應(yīng) 表表8.2 經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表經(jīng)典法與三要素法求解一階電路比較表 tsLteUuRLeIi)(1 (tLteRIueIi00tstssCeRUUieUUUu00)(teftfeftft)0()()1)()(teftf)0()(tteftfeffftf)0()()()0()()( 下面歸納出用三要素法解題的一般步驟: (1) 畫出換路前（t=0-）的等效電路。求出電容電壓uC（0-）或電感

27、電流iL(0-)。 (2) 根據(jù)換路定律uC(0+)=uC(0-), iL(0+)=iL(0-), 畫出換路瞬間（t=0+）時(shí)的等效電路, 求出響應(yīng)電流或電壓的初始值i(0+)或u(0+), 即f(0+)。 (3) 畫出t=時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路（穩(wěn)態(tài)時(shí)電容相當(dāng)于開路, 電感相當(dāng)于短路）, 求出穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值 i()或u(), 即f()。 (4) 求出電路的時(shí)間常數(shù)。=RC或L/R, 其中R值是換路后斷開儲能元件C或L, 由儲能元件兩端看進(jìn)去, 用戴維南或諾頓等效電路求得的等效內(nèi)阻。 (5) 根據(jù)所求得的三要素, 代入式(8.30)即可得響應(yīng)電流或電壓的動態(tài)過程表達(dá)式。 例例 8.9

28、如圖8.26（a）所示電路, 已知R1=100, R2=400, C=125F, Us=200V, 在換路前電容有電壓uC(0-)=50V。求S閉合后電容電壓和電流的變化規(guī)律。 解解 用三要素法求解: (1) 畫t=0- 時(shí)的等效電路，如圖8.26(b)所示。由題意已知uC(0-)=50V。 (2) 畫t=0+時(shí)的等效電路, 如圖8.26 (c)所示。由換路定律可得uC(0+)=uC(0-)=50V。 (3) 畫t=時(shí)的等效電路, 如圖8.26(d)所示。 VRRRUusC160400400100200)(221(4) 求電路時(shí)間常數(shù) sCRRRRRR01. 01012580804001004001006021210(5) 由公式(8.30)得 VeeeuuututttCCCC10001. 0110160)16050(160)()0()()(AedttduCtitCC100375. 1)()(UsR1R2CuC(a)iCSUsR1R2(b)iC (0)uC (0) = 50 VUsR1R2(c)iC (0)uC (0) = 50 VUsR1R2(d)i ()uC() 圖 8.26 例 8.9圖 例8.9波形圖 例