向量的概念與運(yùn)算08720

1、向量的概念與運(yùn)算一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 二、高考考點(diǎn)1、對(duì)于向量的概念，高考的考點(diǎn)主要是兩向量平行（即共線）的判定以及兩向量共線的基本定理的運(yùn)用，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。2、對(duì)于向量的運(yùn)算，向量的數(shù)量積及其運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容，對(duì)此，高考的考點(diǎn)主要是：（1）向量的加法、減法的幾何意義與坐標(biāo)表示的應(yīng)用；（2）向量共線的充要條件的應(yīng)用；（3）向量垂直的充要條件的應(yīng)用；（4）向量的夾角的計(jì)算與應(yīng)用；（5）向量的模的計(jì)算，關(guān)于向量的模的等式的變形與轉(zhuǎn)化，關(guān)于向量的模的不等式的認(rèn)知與轉(zhuǎn)化。3、線段的定比分點(diǎn)線或平移問(wèn)題。4、以向量為載體的三角求值或圖象變換問(wèn)題，以向量為載體的函數(shù)或解析幾何問(wèn)題（多以解答題的

2、形式出現(xiàn)）。三、知識(shí)要點(diǎn)（一）向量的概念1、定義（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量。（2）向量的模：向量 的大小（即長(zhǎng)度）叫做向量 的模，記作 。特例：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作 ；長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.（3）平行向量（共線向量）：一般定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量.特殊規(guī)定： 與任一向量平行（即共線）. （4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量。零向量與零向量相等。認(rèn)知：向量的平移具有“保值性”。2、向量的坐標(biāo)表示（1）定義：在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量 、 作為基底，任作一個(gè)向量 ,則由平面向量基

3、本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y使得 ，將有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）叫做向量 的坐標(biāo)，記作 ；并將 叫做向量 的坐標(biāo)表示。（2）認(rèn)知：相等的向量，其坐標(biāo)也相同，反之成立。 （二）向量的運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、實(shí)數(shù)與向量的積（1）定義（2）實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：（3）平面向量的基本定理：如果 是同一面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1， 2使 ，這兩個(gè)不共線的向量 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（4）向量共線的充要條件：（i）向量與非零向量 共線 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) 使 （ii）設(shè) 則： 4、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）（1）定義：（i）向量的夾角：已

4、知兩個(gè)非零向量 和 ，作 叫做向量 與 的夾角。（ii）設(shè)兩個(gè)非零向量 和 的夾角為 ，則把數(shù)量 叫做 與 的數(shù)量積（內(nèi)積），記作 ，即 并且規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）推論設(shè) 、 都是非零向量，則（i） （ii） （iii） (3)坐標(biāo)表示(i)設(shè)非零向量 ，則 (ii)設(shè) (4)運(yùn)算律（自己總結(jié)，認(rèn)知）四、經(jīng)典例題例1判斷下列命題是否正確：（1）若 的方向相同或相反；（2）若 （3）若 則A、B、C、D四點(diǎn)組成的圖形為梯形；分析：（1）不正確 不能比較方向。（2）不正確當(dāng) 時(shí)，雖然對(duì)任意 ， 都有 不一定平行。（3）不正確 ，故這里的已知條件也包含A、B、C、D四點(diǎn)共線的情形

5、。點(diǎn)評(píng)：判斷或證明向量的共線或垂直問(wèn)題，務(wù)必要注意有關(guān)向量為零向量的情形，判斷失誤或解題出現(xiàn)疏露，多是零向量惹的禍。例2設(shè)點(diǎn)O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)（1）若 ，則O為ABC的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心（2）若 ，則 為ABC的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心（3）若動(dòng)點(diǎn)P滿足 ,則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的（ ） A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心（4）若動(dòng)點(diǎn)P滿足 ,則點(diǎn)P軌跡一定通過(guò)ABC的（ ） A、外心 B、內(nèi)心 C、垂心 D、重心分析：（1）借助向量加法分析已知條件：以 、 為鄰邊作平行四邊形OBDC，并設(shè)ODBC=E，則由平行四邊形性質(zhì)知，E為BC

6、和OD中點(diǎn)。 且 由、得 A、O、E、D、四點(diǎn)共線 且 于是由、知O為ABC的重心，應(yīng)選D(2)由 同理可得OABC,OCAB于是可知，O為ABC的垂心，應(yīng)選C（3）由已知得 令 ，則 是 上的單位向量，令 ，則 是 上的單位向量。由得： 令 ,則點(diǎn)Q在角A的平分線上 又由知的 與 共線且同向（或 ）動(dòng)點(diǎn)P在角A的平分線上點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的內(nèi)心，應(yīng)選B。（4）注意到 的幾何意義， =0又由已知的得： 動(dòng)點(diǎn)P在BC邊的高線上動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)ABC的垂心，應(yīng)選C。點(diǎn)評(píng)：品味各小題，從中參悟解題思路以及三角形的各心的向量特征。例3：（1） 成立的充分必要條件為（ ）A、 B、 C、D、

7、（2）已知A、B、C三點(diǎn)共線，O為該直線外一點(diǎn)，設(shè) 且存在實(shí)數(shù)m使 ， 則點(diǎn)A分 所成的比為（ ）A、- B、2 C、 D、-2分析：（1）注意到不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng) 、 反向或 、 中至少有一個(gè)為 時(shí)等號(hào)成立，由 得 、 反向或 由此否定A、B、C，本題應(yīng)選D（2）注意到條件的復(fù)雜以及已知式變形方向的迷茫，故考慮從“目標(biāo) ”分析切入，主動(dòng)去溝通“已知”，設(shè) 則 (刻意變形，靠攏已知) （目標(biāo)的延伸） 又由已知得： （已知的變形或延伸） 根據(jù)兩向量相等的條件由、得： 于是可知，點(diǎn)A分 所成 的比 ，應(yīng)選 A點(diǎn)評(píng)：（i）（1）對(duì)任意向量 、 都有 ，其中，當(dāng)且僅當(dāng) 同向或 中至少有一個(gè)為 時(shí)左邊的

8、等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng) 反向或 中至少有一個(gè)為 時(shí)右邊的等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng) 中至少有一個(gè)為 時(shí)，左右兩等號(hào)同時(shí)成立。（ii）對(duì)于（2），“已知”與“目標(biāo)”相互靠擾，只是切入點(diǎn)是從“已知”切入還是從“目標(biāo)”切入，需要仔細(xì)分析。例4：設(shè) 、 分別是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸、y軸正方向上的兩個(gè)單位向量，在同一條直線上有A、B、C三點(diǎn)， ，求實(shí)數(shù)m、n的值。解：由題設(shè)知 與 共線 又 代入得： 7（2n-1）=(n+2)(2n+1) (n-3)(2n-3)=0 當(dāng) 時(shí)代入得： m=3當(dāng) 時(shí)代入得：m=6 m=6，n=3或m=3， 點(diǎn)評(píng)：不失時(shí)機(jī)地利用向量的坐標(biāo)表示，是解題的基本技巧。例5 設(shè) 試求滿足： （這

9、里O為原點(diǎn)）分析：注意到 的坐標(biāo)即點(diǎn)D的坐標(biāo)，可從設(shè) 坐標(biāo)，由（x,y）切入，去 建立關(guān)于x，y的方程組。解：設(shè) ，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（x,y）則由已知條件 得： x-2y+1=0 由 得： x+4=3(y-1) x-3y+7=0于是將、聯(lián)立，解得： 點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)向量坐標(biāo)的概念，向量的垂直與向量的平行的充要條件的綜合應(yīng)用，借此練習(xí)，可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)與把握關(guān)于向量的概念與公式。例6 設(shè)向量 滿足 （1）若 ，求 與 的夾角；（2）若 的值。解：（1）設(shè) 與 的夾角為 ，則 于是由代入得 ： 注意到 O, ,可得結(jié)果 （2）解法（著眼于對(duì) 等各個(gè)擊破）一方面由已知得： 又 由、得 注意到 ，當(dāng)且僅當(dāng) ，

10、同向或 ， 中至少有一個(gè)為 時(shí)等號(hào)成立 由得 與 同向另一方面，又由 知， 與 反向 與 的夾角為0°， 與 的夾角為180°， 與 的夾角為180°原式 =3×1-1×4-3×4=-13解法二（著眼于尋求目標(biāo)與已知的整體聯(lián)系）： 由已知條件得 解法三（從尋求目標(biāo)局部的值切入）：原式 同理， 點(diǎn)評(píng)：解法二與解法三，均著眼于整體代入，解題過(guò)程簡(jiǎn)明，比解法一有明顯優(yōu)勢(shì)。但是，解法一中對(duì)已知數(shù)值的利用，卻對(duì)今后的條件求值有著不可替代的潛在作用，條件求值中對(duì)已知數(shù)據(jù)的應(yīng)用主要有以下三個(gè)方面：（1）利用數(shù)值本身（代入）；（2）分別利用數(shù)值的絕對(duì)

11、值和符號(hào)； （3）利用有關(guān)數(shù)值的關(guān)系溝通有關(guān)元素間的聯(lián)系（比如，由3+1=4，32+42=52溝通聯(lián)系等）。例7已知 的夾角為120°，且 ,試求m，n及 與 的夾角。解法一：（利用內(nèi)積的定義），設(shè) 與 的夾角為 ，由 再 再由： 由，得 將代入得： 于是由，得所求 ,n=-4, 的夾角為30°或150°點(diǎn)評(píng)1：本題已知條件繁多，頭緒紛亂，更需要在解題時(shí)梳理思緒。注意到所求m、n含在 中，故在求出 、 的值之后，以 的變形為主線展開(kāi)求索：變形1. 變形2. 變形3. 于是，整個(gè)解題過(guò)程既顯得有條不紊，又感覺(jué)酣暢淋漓。解法二（利用向量的坐標(biāo)）：設(shè) ， 與 的夾角為

12、，由已知得 由 又x12+y12=8 x22+y22=4 由，解得 或 由，解得 或 將上述 ， 坐標(biāo)分四次代入 便解得n=-4， , =30°或150°點(diǎn)評(píng)2：本解法致力于求 與 的坐標(biāo)，雖然解題過(guò)程仍然曲折，但思路明朗，更多幾分勝算。例8 設(shè) 的夾角為 ， 分析：此題為以向量為載體的三角求值問(wèn)題，因此，從化簡(jiǎn) ， 的坐標(biāo)切入，向三角函數(shù)中常見(jiàn)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化。解： 注意到這里 由、得到 于是由、得 由、得 解得 因此由得 點(diǎn)評(píng)：在這里，利用實(shí)數(shù)與向量的乘法的法則，將 表為 ,從而為簡(jiǎn)化 及 的表達(dá)式以及簡(jiǎn)化 的表達(dá)式奠定良好的基礎(chǔ)。五、高考填題（一）選擇題、1、P是ABC所

13、在平面上一點(diǎn)，且 ，則P是ABC的（ ）A、外心 B、內(nèi)心 C、重心 D、垂心分析：由 同理，ABPC,BCPA 點(diǎn)P為ABC的垂心，應(yīng)選D2、已知向量 ， ,且 ,則一定共線的三點(diǎn)是（ ）AA、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D分析：利用兩向量共線的充要條件來(lái)判定，從尋找所給向量的聯(lián)系切入由題意得 A、B、D三點(diǎn)共線，應(yīng)選A3、已知點(diǎn)A（ ,1），B（0，0），C（ ，0），設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有 ,其中 等于（ ）A、 2 B、 C、-3 D、- 分析：從認(rèn)知目標(biāo)切入，由題設(shè)易知 與 反向，故 <0 又由三角形內(nèi)角平分線定理得 即 =3 于是由

14、、得 =-3，應(yīng)選C4、若 , , ，則向量 與 的夾角為（ ）A、30°B、60° C、120° D、150°分析：令向量 與 的夾角為 ，則 又由 得 于是將已知與代入得 所得 ，應(yīng)選C5、在ABC中， ， ， ，則k的值是（ ）。A、5 B、-5 C、 D、 分析：循著一般思路，欲求k的值，先尋找關(guān)于k的方程，可以通過(guò)解方程獲取k的值，為此我們利用題設(shè)條件尋找等量關(guān)系切入：由題設(shè)知 ， 由此得（2，3）·（2-k,2）=0 2（2-k）+6=0解得k=5,故應(yīng)選A。6、設(shè)向量 等于（ ）。A、（1，1） B、（-4，-4） C、-4 D、

15、（-2,-2）分析：循著向量的坐標(biāo)表示與有關(guān)公式得： 原式=-4（1，1）=（-4，-4），應(yīng)選B7、已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D為線段BC的中點(diǎn)，則向量 與 的夾角為（ ）A、 分析1：（特征分析法）：畫出ABC及其中線AD，又將向量 平移到 ,則可見(jiàn) 與 成鈍角，而選項(xiàng)中A、B為銳角，D為負(fù)角，故只能選C。分析2：（直接法）：由題設(shè)D（5，2） 所求兩向量夾角應(yīng)為 ）,應(yīng)選C8、 已知向量 ，滿足對(duì)任意tR， ,則（ ）A、 分析：從已知不等式的等價(jià)變形切入，去認(rèn)識(shí)所含向量 ， 的關(guān)系由已知得 整理得 注意到對(duì)任意 都成立。 即 根據(jù)式檢驗(yàn)選項(xiàng)，故選C點(diǎn)評(píng)：關(guān)于向量的模

16、的不等式，變形轉(zhuǎn)化的基本手段是不等式兩邊平方，這是本題切入、轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。（二）填空題1、已知向量 分析：注意到兩向量平行的充要條件，由已知條件得 2×6-3x=0，由此解得 x=42、 已知向量 ,且A、B、C三點(diǎn)共線，則k= 。分析：由A、B、C三點(diǎn)共線切入，向著向量的共線轉(zhuǎn)化A、B、C三點(diǎn)共線 向量 、 共線又 由 、 共線的充要條件得 7（-k-4）=5（k-4），解為 3、已知 =2， =4， 與 的夾角為 ，以 ， 為鄰邊作平行四邊形，則此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短的一條的長(zhǎng)度為 。分析：根據(jù)向量加法與向量減法的幾何意義又知， 、 分別表示上述平行四邊形中兩條對(duì)角線的

17、長(zhǎng)度。注意到 與 的夾角為銳角，故此平行四邊形的兩條對(duì)角線中較短一條的長(zhǎng)度為 又 =4+16-2×2×4cos =12 =2 于是由、知所求為 .4、已知向量 =(-2，2)， =(5，k),若 不超過(guò)5，則k的取值范圍為 .分析：由已知得 若 5，則9+（k+2）225由此解得-6k2，故應(yīng)填-6，25、已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足 ， , ,則 的值等于 。分析：從認(rèn)知ABC切入，由32+4252知 ， 原式= = = =-256、ABC的外接圓圓心為0，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H， =m( + + ),則實(shí)數(shù)m= 。分析：由題設(shè)知，O為ABC的外心，即O是ABC的三邊中垂

18、線的交點(diǎn)，因此，以 與 為鄰邊作平行四邊形OADC，則OADC為菱形，且 + = ( + ) + + 的終點(diǎn)必在AC邊的高線上 同理， + + 的終點(diǎn)在AB邊的高線上 由、得 + + 的終點(diǎn)為ABC的垂心H. m=1點(diǎn)評(píng)：從O為ABC的外心切入，認(rèn)知向量 ，此乃求解本題的關(guān)鍵。三、解答題1、已知向量 =(cos 、sin )和 =( - sin ，cos )， ，且= ,求cos（ + ）的值。分析：這是以向量為載體的三角求值問(wèn)題，故首先要利用向量的有關(guān)概念與公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化化生為熟，進(jìn)入三角函數(shù)求值的“似曾相識(shí)燕歸來(lái)”的境界。解：由已知得 由題設(shè) 又 由、得 于是由、得 點(diǎn)評(píng)：首先運(yùn)用向量的公式化生為熟，進(jìn)而運(yùn)用“方程思想”去求解 的值，這是求解本題所運(yùn)用的基本策略。也是解決本類問(wèn)題的基本思路2、已知向量 ，是否存在實(shí)數(shù)xO, ，使f(x)+f(x)=0 (其中f(x)是f（x）的 導(dǎo)函數(shù))若存在，則求出x的值；若不存在，則證明。分析：對(duì)于這樣以平面向量為載體的 問(wèn)題，首先仍是運(yùn)用向量的知識(shí)將其轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)問(wèn)題。解： =sinx+cosxf (x)=cosx-sinx若f(x)+f (x)=0，則2c