北郵版概率論答案7

1、習(xí)題七1.設(shè)總體X服從二項(xiàng)分布b（n，p），n已知，X1，X2，Xn為來(lái)自X的樣本，求參數(shù)p的矩法估計(jì).【解】因此np=所以p的矩估計(jì)量 2.設(shè)總體X的密度函數(shù)f（x,）=X1，X2，Xn為其樣本，試求參數(shù)的矩法估計(jì).【解】令E(X)=A1=,因此=所以的矩估計(jì)量為 3.設(shè)總體X的密度函數(shù)為f（x，），X1，X2，Xn為其樣本，求的極大似然估計(jì).（1） f（x，）=（2） f（x，）=【解】（1） 似然函數(shù)由知所以的極大似然估計(jì)量為.(2) 似然函數(shù),i=1,2,n.由知所以的極大似然估計(jì)量為 4.從一批炒股票的股民一年收益率的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取10人的收益率數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：序號(hào)123456789

2、10收益率0.01-0.11-0.12-0.09-0.13-0.30.1-0.09-0.1-0.11求這批股民的收益率的平均收益率及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.【解】 由知,即有于是 所以這批股民的平均收益率的矩估計(jì)值及標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值分別為-0.94和0.966.5.隨機(jī)變量X服從0，上的均勻分布，今得X的樣本觀(guān)測(cè)值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6，求的矩法估計(jì)和極大似然估計(jì)，它們是否為的無(wú)偏估計(jì).【解】(1) ,令，則且,所以的矩估計(jì)值為且是一個(gè)無(wú)偏估計(jì).(2) 似然函數(shù),i=1,2,8.顯然L=L()(>0)，那么時(shí)，L=L()最大,所以的極大似然估計(jì)值=0.

3、9.因?yàn)镋()=E(),所以=不是的無(wú)偏計(jì).6.設(shè)X1，X2，Xn是取自總體X的樣本，E（X）=，D（X）=2， =k,問(wèn)k為何值時(shí)為2的無(wú)偏估計(jì).【解】令 i=1,2,n-1,則 于是 那么當(dāng),即時(shí),有 7.設(shè)X1，X2是從正態(tài)總體N（，2）中抽取的樣本試證都是的無(wú)偏估計(jì)量，并求出每一估計(jì)量的方差.【證明】（1）,所以均是的無(wú)偏估計(jì)量.(2) 8.某車(chē)間生產(chǎn)的螺釘，其直徑XN（，2），由過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)知道2=0.06,今隨機(jī)抽取6枚，測(cè)得其長(zhǎng)度（單位mm）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2試求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】n=6,2=0.06,=1-0.95

4、=0.05,的置信度為0.95的置信區(qū)間為.9.總體XN(,2)，2已知，問(wèn)需抽取容量n多大的樣本，才能使的置信概率為1-，且置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L？【解】由2已知可知的置信度為1-的置信區(qū)間為,于是置信區(qū)間長(zhǎng)度為,那么由L,得n10.設(shè)某種磚頭的抗壓強(qiáng)度XN（，2），今隨機(jī)抽取20塊磚頭，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（kg·cm-2）：64 69 49 92 55 97 41 84 88 9984 66 100 98 72 74 87 84 48 81（1） 求的置信概率為0.95的置信區(qū)間.（2） 求2的置信概率為0.95的置信區(qū)間.【解】 (1) 的置信度為0.95的置信區(qū)間(2)的置信度為0

5、.95的置信區(qū)間11.設(shè)總體Xf(x)=X1,X2,Xn是X的一個(gè)樣本，求的矩估計(jì)量及極大似然估計(jì)量.【解】(1)又故所以的矩估計(jì)量 (2) 似然函數(shù).取對(duì)數(shù)所以的極大似然估計(jì)量為12.設(shè)總體Xf(x)= X1,X2,Xn為總體X的一個(gè)樣本（1） 求的矩估計(jì)量；（2） 求.【解】(1) 令 所以的矩估計(jì)量 (2)，又于是,所以13.設(shè)某種電子元件的使用壽命X的概率密度函數(shù)為f(x,)= 其中(>0)為未知參數(shù)，又設(shè)x1,x2,xn是總體X的一組樣本觀(guān)察值，求的極大似然估計(jì)值.【解】似然函數(shù)由那么當(dāng)所以的極大似然估計(jì)量14. 設(shè)總體X的概率分布為X0 1 2 3P2 2(1-) 2 1-2

6、其中(0<<)是未知參數(shù)，利用總體的如下樣本值3，1，3，0，3，1，2，3，求的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值.【解】所以的矩估計(jì)值（2） 似然函數(shù)解得 .由于 所以的極大似然估計(jì)值為 .15.設(shè)總體X的分布函數(shù)為F（x,）=其中未知參數(shù)>1,>0，設(shè)X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的樣本（1） 當(dāng)=1時(shí)，求的矩估計(jì)量；（2） 當(dāng)=1時(shí)，求的極大似然估計(jì)量；（3） 當(dāng)=2時(shí)，求的極大似然估計(jì)量. 【解】當(dāng)=1時(shí)，當(dāng)=2時(shí), (1) 令,于是所以的矩估計(jì)量(2) 似然函數(shù)所以的極大似然估計(jì)量(3) 似然函數(shù)顯然那么當(dāng)時(shí), ,所以的極大似然估計(jì)量.16.從正態(tài)總體XN（3.4，62

7、）中抽取容量為n的樣本，如果其樣本均值位于區(qū)間（1.4，5.4）內(nèi)的概率不小于0.95，問(wèn)n至少應(yīng)取多大？z1.281.6451.962.33j(z)0.90.950.9750.99【解】,則于是則, n35.17. 設(shè)總體X的概率密度為f(x，)=其中是未知參數(shù)（0<<1）,X1,X2,Xn為來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，記N為樣本值x1,x2,xn中小于1的個(gè)數(shù).求：（1） 的矩估計(jì)；（2） 的最大似然估計(jì). 解 (1) 由于 .令，解得，所以參數(shù)的矩估計(jì)為.(2) 似然函數(shù)為，取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo)，得令 得 ，所以的最大似然估計(jì)為.18.設(shè)是總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.記（1）證明T是的無(wú)偏估計(jì)量；（2）當(dāng)時(shí)，求D(T).分析 根據(jù)無(wú)偏估計(jì)的定義求E(T)即可證明（1）.（2）可用方差的計(jì)算公式或統(tǒng)計(jì)量的分布的定義和性質(zhì)求解.證（1）因?yàn)樗訲是的無(wú)偏估計(jì)量.解（2） 解法1 當(dāng)時(shí)，有解法2 其中 19.設(shè)總體X的概率密度為其中參數(shù)(0<<1)未知，是來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本