參數(shù)方程與極坐標(biāo)精華版

1、參數(shù)方程與極坐標(biāo)參數(shù)方程知識回顧：一、定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x、y都是某個參數(shù)t的函數(shù)，即，其中，t為參數(shù)，并且對于t每一個允許值，由方程組所確定的點M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系x、y之間關(guān)系的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)二、二次曲線的參數(shù)方程1、圓的參數(shù)方程：中心在（x0，y0），半徑等于r的圓：（為參數(shù)，的幾何意義為圓心角），特殊地，當(dāng)圓心是原點時，注意：參數(shù)方程沒有直接體現(xiàn)曲線上點的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，而是分別體現(xiàn)了點的橫縱坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系。Eg1：已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上的動點，求：（1）

2、x2+y2的最值；（2）x+y的最值；（3）點P到直線x+y-1=0的距離d的最值。Eg2：將下列參數(shù)方程化為普通方程（1） x=2+3cos （2） x=sin （3） x=t+ y=3sin y=cos y=t2+總結(jié)：參數(shù)方程化為普通方程步驟：（1）消參（2）求定義域2、橢圓的參數(shù)方程：中心在原點，焦點在x軸上的橢圓：（為參數(shù)，的幾何意義是離心角，如圖角AON是離心角）注意：離心率和離心角沒關(guān)系，如圖，分別以橢圓的長軸和短軸為半徑畫兩個同心圓，M點的軌跡是橢圓，中心在（x0，y0）橢圓的參數(shù)方程： Eg：求橢圓=1上的點到M（2,0）的最小值。3、雙曲線的參數(shù)方程：中心在原點，焦點在x軸

3、上的雙曲線： （為參數(shù)，代表離心角），中心在（x0，y0），焦點在x軸上的雙曲線： 4、拋物線的參數(shù)方程：頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線：（t為參數(shù)，p0，t的幾何意義為過圓點的直線的斜率的倒數(shù)）直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可得到。三、一次曲線（直線）的參數(shù)方程過定點P0（x0，y0），傾角為的直線， P是直線上任意一點，設(shè)P0P=t，P0P叫點P到定點P0的有向距離，在P0兩側(cè)t的符號相反，直線的參數(shù)方程 （t為參數(shù)，t的幾何意義為有向距離）說明：t的符號相對于點P0，正負(fù)在P0點兩側(cè) P0P=t直線參數(shù)方程的變式：，但此時t的幾何意義不是有向距離，只有當(dāng)t前面系數(shù)的平方和是1時，幾何

4、意義才是有向距離，所以，將上式進(jìn)行整理，得 ，讓作為t，則此時t的幾何意義是有向距離。Eg：求直線 x=-1+3t y=2-4t，求其傾斜角.極坐標(biāo)知識回顧：一、定義：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一個長度單位和角度的正方向（通常取逆時針方向）。對于平面內(nèi)的任意一點M，用表示線段OM的長度，表示從Ox到OM的角，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數(shù)對(, )就叫做點M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。練習(xí):在同一直角坐標(biāo)系中，畫出以下四個點A（1，）B（2，）C（3，-）思考：上述點關(guān)于極軸以及極點的對稱點說明：（1）極坐標(biāo)有四個要素：極點；極軸；長度單

5、位,即極徑；角度單位及它的方向，即極角（2）在極坐標(biāo)系下，一對有序?qū)崝?shù)、對應(yīng)唯一點P(，)，但平面內(nèi)任一個點P的極坐標(biāo)不唯一，因為具有周期.（3）如無特殊要求，則極徑取正值.直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化： 直角坐標(biāo)（x，y）極坐標(biāo)（，） =tan= 極坐標(biāo)（，）直角坐標(biāo)（x，y） x=y=練習(xí)1：將下列直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)A（1，-1） B（1，）練習(xí)2：將下列極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)A（2，） B（1，2）練習(xí)3：分別求下列條件中AB中點的極坐標(biāo)（1）（4，）（6，-）；（2）（4，）（6，）二、直線的極坐標(biāo)方程或+ 三、圓的極坐標(biāo)方程 四、圓錐曲線統(tǒng)一方程（橢圓、拋物線、雙曲線） 設(shè) =P，其中，當(dāng)0e

6、1為雙曲線考點一：直線參數(shù)方程中參數(shù)的意義 1已知直線經(jīng)過點,傾斜角，（1）寫出直線的參數(shù)方程。（2）設(shè)與圓相交與兩點，求點到兩點的距離之積。解：（1）直線的參數(shù)方程為，即 （2）把直線代入得，則點到兩點的距離之積為2過點作傾斜角為的直線與曲線交于點，求的值及相應(yīng)的的值。解：設(shè)直線為，代入曲線并整理得則所以當(dāng)時，即，的最小值為，此時。3直線被圓截得的弦長為 .【解析】： ，把直線代入得，弦長為4直線和圓交于兩點，則的中點坐標(biāo)為_解： ，得， 中點為考點二：用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程研究有關(guān)的位置關(guān)系的判定1直線與圓相切，則_。2在極坐標(biāo)系中，已知圓與直線相切，求實數(shù)的值?？键c三：用極坐標(biāo)方程、參數(shù)

7、方程研究有關(guān)的交點問題1在極坐標(biāo)系中，曲線與的交點的極坐標(biāo)為_2.已知兩曲線參數(shù)方程分別為和，它們的交點極坐標(biāo)為 . 考點四：用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程研究有關(guān)的距離問題一、1求直線和直線的交點的坐標(biāo)，及點與的距離。2已知直線與直線相交于點，又點，則_。3直線被圓截得的弦長為_。二、距離最大最小問題4在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值。解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為， 當(dāng)時，此時所求點為。5點在橢圓上，求點到直線的最大距離和最小距離。解：設(shè)，則即，當(dāng)時，；當(dāng)時，?？键c五：極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程混合1 在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，且以原點O

8、為極點，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為。（）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)圓C與直線交于點A、B，若點P的坐標(biāo)為，求|PA|+|PB|?！窘馕觥浚ǎ┯傻眉矗ǎ⒌膮?shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即由于，故可設(shè)是上述方程的兩實根，所以故由上式及t的幾何意義得：|PA|+|PB|=。2在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），M為上的動點，P點滿足，點P的軌跡為曲線（I）求的方程；（II）在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點的交點為A，與的異于極點的交點為B，求|AB|解：（I）設(shè)P(x，y)，則由條件知M().由于M點在C1上，所以 即 從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。射線與的交點的極徑為，射線與的交點的極徑為。所以.3.已知直線C1：(t為參數(shù))，圓C2：(為參數(shù))(1)當(dāng)時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；(2)過坐標(biāo)原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點當(dāng)變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線解：(1)當(dāng)時，C1的普通方程為y(x1)，C2的普