數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)及對其大學(xué)數(shù)學(xué)教育的啟示

1、數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)及對其大學(xué)數(shù)學(xué)教育的啟示方勤華信陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，河南信陽464000摘要：關(guān)于數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)知識的研究，已由對其應(yīng)該具有的數(shù)學(xué)知識量的關(guān)注，轉(zhuǎn)移到對其應(yīng)該具有的數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的關(guān)注，并且教師數(shù)學(xué)學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識的關(guān)系成為討論的主要線索。研究啟示培養(yǎng)教師的大學(xué)數(shù)學(xué)系：應(yīng)該認(rèn)識到教師需要的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的不同，應(yīng)該考慮為教師的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備建構(gòu)專門的課程，應(yīng)該注意組織數(shù)學(xué)教學(xué)的方式要滿足教師將來中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教師；數(shù)學(xué)知識；大學(xué)數(shù)學(xué)教育在數(shù)學(xué)教育中，有許多話題反映教師數(shù)學(xué)知識對教好數(shù)學(xué)的重要這一強(qiáng)烈信念，“教師不可能教他（她）所不

2、知道的”、“教師必須具有所教學(xué)科的知識。”的確，數(shù)學(xué)知識是教師有效教學(xué)所需要的各種技能的依托。然而，多年來，教師需要的數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)，始終是困惑教師教育者的重要問題。系統(tǒng)梳理關(guān)于教好數(shù)學(xué)所需數(shù)學(xué)知識的研究，將對職前教師教育計(jì)劃、在職教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目，以及為教師準(zhǔn)備數(shù)學(xué)，提供有意義的啟示。1教師數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)在對有效教學(xué)的研究中，美國研究者率先在20世紀(jì)60年代，將數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)知識作為調(diào)查變量，探討教師的數(shù)學(xué)知識怎樣影響教學(xué)效率等問題。起初，他們往往把教師的數(shù)學(xué)知識，定義為成功完成大學(xué)水平的數(shù)學(xué)課程的數(shù)量、學(xué)科平均等級、甚至在標(biāo)準(zhǔn)化成績考試中的得分。然而，研究并沒有得到一致的結(jié)論，教師的數(shù)學(xué)知

3、識與學(xué)生的成就不是線性的正比例關(guān)系。近些年來，中外很多學(xué)者都注意到了教師所需數(shù)學(xué)知識的特定性，并將其與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行了區(qū)分1-6。這使研究不再使用相關(guān)技術(shù)，去測量教師知識的某種量度與他們的學(xué)生成就之間的相互關(guān)系了，而是關(guān)注教學(xué)本身，圍繞著教學(xué)需要的數(shù)學(xué)知識展開了一系列研究。這樣，就出現(xiàn)了對教師需要的數(shù)學(xué)知識的多種理解。理解的不同，主要集中在“數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識”是否包含在數(shù)學(xué)知識之中，甚至出現(xiàn)了“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識基金項(xiàng)目：河南省科技廳項(xiàng)目“基于新課程的高中數(shù)學(xué)教師數(shù)學(xué)專業(yè)素養(yǎng)研究（092400430068）”；信陽師范學(xué)院2009年度教學(xué)改革研究項(xiàng)目“職前數(shù)學(xué)教師有效教學(xué)研究（050943

4、）”作者簡介：方勤華（1968-）,女，河南潢川人，博士、副教授，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究(mathematicsknowledgeforteaching”)。1.1 數(shù)學(xué)學(xué)科知識包含數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識關(guān)于教師學(xué)科知識的理解中，匹茲堡大學(xué)研究組對教師學(xué)科知識的定義最為寬泛。如，該派研究者(見文獻(xiàn)7)(P8),把教師知識分為課堂結(jié)構(gòu)知識和學(xué)科知識兩大核心領(lǐng)域。其中，數(shù)學(xué)學(xué)科知識包括數(shù)學(xué)概念、過程、它們的相互聯(lián)系、對學(xué)生錯誤類型的理解以及課程的表述。他們進(jìn)一步把學(xué)科知識的功能解釋為“選擇例題、解釋表達(dá)、示范的一種資源”。他們對“學(xué)科知識”的定義，包含文獻(xiàn)8的“內(nèi)容知識”和“教學(xué)內(nèi)容知識”兩個方面

5、。在他們后來關(guān)于教師學(xué)科知識的研究中，對學(xué)科知識的定義更為寬泛，“包括表征和呈現(xiàn)內(nèi)容，以利于培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和建構(gòu)有意義的理解；還包括學(xué)生(主要是小學(xué)生)帶到學(xué)習(xí)情境中的知識，也就是促進(jìn)或阻礙學(xué)生學(xué)習(xí)特定任務(wù)的知識”9(P91)。這樣，除“教學(xué)內(nèi)容知識”外，“學(xué)生學(xué)習(xí)的知識”也被包括進(jìn)來?？傊?，該小組把教師的學(xué)科知識構(gòu)成，看作是某一數(shù)學(xué)題材的知識與怎樣教該題材知識的混合物，而且，他們往往更注意后者。1.2 數(shù)學(xué)學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識各自分開斯坦福大學(xué)研究組，主要關(guān)注中學(xué)教師所教各科目的知識，其中，一些研究集中在“教數(shù)學(xué)的知識(knowledgeforteachingmathematics)”方

6、面。他們接受文獻(xiàn)8對教師知識的分類，把學(xué)科知識和教學(xué)內(nèi)容知識分開討論。該派有研究代表，提供了一個教師教數(shù)學(xué)的知識模型，把“數(shù)學(xué)學(xué)科知識”看作“是數(shù)學(xué)知識，但與特定的教和學(xué)數(shù)學(xué)無關(guān)”；“一般教學(xué)知識”是“直接與教和學(xué)有關(guān)，但不考慮數(shù)學(xué)”；“數(shù)學(xué)教學(xué)知識”是“教和學(xué)數(shù)學(xué)的知識”7(P10)。由于他的研究主要關(guān)注點(diǎn)在教學(xué)內(nèi)容知識上，所以沒有對學(xué)科知識做出清楚地解釋。但對教師的“學(xué)科知識”、“一般教學(xué)知識”和“教學(xué)內(nèi)容知識”進(jìn)行了區(qū)分。1.3 數(shù)學(xué)學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識融為一體密歇根州立大學(xué)研究組、指導(dǎo)教師數(shù)學(xué)知識研究中心的負(fù)責(zé)人10，解釋了“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的特點(diǎn)，并開發(fā)了一個概念框架。與把數(shù)

7、學(xué)知識解構(gòu)成各個成分相反，她和同事開始描述特定教學(xué)情境中可能需要或使用的數(shù)學(xué)知識。她們承認(rèn)教學(xué)實(shí)踐的復(fù)雜和豐富，并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)對數(shù)學(xué)的高要求。她論述了美國教師數(shù)學(xué)知識的缺陷，并舉例說明，解決問題的辦法不只是要求教師學(xué)習(xí)更多的大學(xué)數(shù)學(xué)課程。在后來的文章中，她及合作者又指出，對專門化的數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的不透徹理解，將使世界范圍內(nèi)改善教師教育質(zhì)量的良好意圖受挫。于是，她和她的研究團(tuán)隊(duì)11，提出了“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的模型。該模型包括四部分內(nèi)容：(1)共同的內(nèi)容知識(commoncontentknowledge)(學(xué)校課程中的數(shù)學(xué)知識，簡稱CCK);(2)專門化的內(nèi)容知識(specializedconte

8、ntknowledge)(教師在實(shí)踐中使用的數(shù)學(xué)知識，但是超越了學(xué)校課程，簡稱SCK)；(3)內(nèi)容和學(xué)生的知識(knowledgeofcontentandstudents)(位于關(guān)于學(xué)生的知識和關(guān)于數(shù)學(xué)的知識的交叉點(diǎn)上，例如，對某一數(shù)學(xué)概念學(xué)生最常見誤解的知識，簡稱KCS)；以及(4)內(nèi)容和教學(xué)的知識(knowledgeofcontentandteaching)(位于關(guān)于教學(xué)和關(guān)于數(shù)學(xué)的知識的交叉部分，例如，形成一個足夠的介紹某給定概念的順序的知識，簡稱KCT)。前兩個領(lǐng)域即教師的數(shù)學(xué)學(xué)科知識，后兩個領(lǐng)域即通常所說的教學(xué)內(nèi)容知識。該模型的建構(gòu)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識一體化的思想。

9、國內(nèi)也有研究者12-13日漸注意到教學(xué)內(nèi)容知識在教學(xué)中的重要，并對此做了系統(tǒng)的專門研究。還有研究14通過對一節(jié)課的分析，說明有效的課堂教學(xué)是學(xué)科知識和學(xué)科教學(xué)知識(即本文教學(xué)內(nèi)容知識)兩者的有機(jī)融合?？傊瑢?shù)學(xué)學(xué)科知識與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識關(guān)系的討論說明，研究者已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，教師數(shù)學(xué)知識的性質(zhì)與純粹的數(shù)學(xué)學(xué)科知識不同，它和數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容知識有著不可分割的關(guān)系，但是一種獨(dú)特的存在。2 教師數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的討論對教師數(shù)學(xué)教育的啟示關(guān)于教師數(shù)學(xué)知識性質(zhì)的不同理解，啟示為教師準(zhǔn)備數(shù)學(xué)的大學(xué)本科數(shù)學(xué)教育，應(yīng)注意以下幾個方面的問題。2.1 應(yīng)該認(rèn)識到教師數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)家知識的不同“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”的最初提出，源于

10、對教師需要的數(shù)學(xué)知識與其在大學(xué)里所學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)知識的不同，即與數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)知識的不同。其實(shí)，德國學(xué)者1(P76)早就對“作為一門科學(xué)的數(shù)學(xué)知識(knowledgeoftheacademicdiscipline)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)知識(knowledgeofschoolmathematics)”進(jìn)行了區(qū)別。最近又有學(xué)者6將作為一門科學(xué)的數(shù)學(xué)知識，稱為學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)知識(knowledgeofacademicmathematics)，即由專業(yè)數(shù)學(xué)家創(chuàng)造并組織的知識體系，對教師教育來說，相當(dāng)于大學(xué)數(shù)學(xué)里的數(shù)學(xué)知識；把學(xué)校數(shù)學(xué)知識稱為與學(xué)校教學(xué)實(shí)踐要求有關(guān)的數(shù)學(xué)知識。他們結(jié)合具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容研究，得出結(jié)論：學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)不

11、會“自然地”成為學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐的有用工具，因?yàn)樗囊恍┯^念和組織數(shù)學(xué)對象的形式，與教學(xué)實(shí)踐的要求相沖突；從學(xué)術(shù)上的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為教學(xué)上的知識，需要“再情境化”的很多努力。因此，為教師準(zhǔn)備數(shù)學(xué)知識的大學(xué)數(shù)學(xué)教育，首先應(yīng)該認(rèn)識到教師數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)家知識的不同，而后才能為教師在教學(xué)中能夠應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識做出進(jìn)一步地努力。2.2 應(yīng)該考慮是否需要建構(gòu)一門新的數(shù)學(xué)課程“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”與培養(yǎng)數(shù)學(xué)家(如準(zhǔn)備讀數(shù)學(xué)研究生的學(xué)生)所需要的數(shù)學(xué)知識的不同，促使教師教育者思考，是否需要為準(zhǔn)備當(dāng)教師的數(shù)學(xué)系學(xué)生建構(gòu)一門新的數(shù)學(xué)課程，比如，“教學(xué)用的數(shù)學(xué)”(mathematicsforteaching)。在以往，

12、我國高師院校數(shù)學(xué)系的課程改革始終擺脫不了“學(xué)術(shù)性”與“師范性”之爭的困擾。如，在數(shù)學(xué)專業(yè)課程的設(shè)置上，完全向綜合性大學(xué)看齊，還是削減課程或降低某些課程的要求，往往成為改革的主要問題。有論者指出，“只把大綱中的主題重新排列次序或者在已經(jīng)很膨脹的大學(xué)教學(xué)計(jì)劃中再加一些課題，并不能解決問題。對中學(xué)教師在大學(xué)中應(yīng)該學(xué)到什么，列一個清單也沒有用”3，文獻(xiàn)6的研究結(jié)果為這一論斷提供了一個作證。因此，如果大學(xué)在為教師準(zhǔn)備數(shù)學(xué)時，關(guān)注的焦點(diǎn)依然放在數(shù)學(xué)專業(yè)課程的增減上，師范院校畢業(yè)的學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)上的優(yōu)勢，可能還將會是模棱兩可的。一些師范院?！艾F(xiàn)代數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)”課程的建設(shè)與開設(shè)，應(yīng)該是在此方面的一項(xiàng)十分有意

13、義的努力。文獻(xiàn)4對建構(gòu)“教學(xué)用的數(shù)學(xué)”課程進(jìn)行了設(shè)想。假設(shè)我們能為中學(xué)教師建構(gòu)一種課程，嚴(yán)格地說，就數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，這種課程與當(dāng)前的中學(xué)課程相符合，并且真正地將為學(xué)生提供機(jī)會，來考察高中數(shù)學(xué)課程的概念鑲嵌在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的什么位置，還要從高觀點(diǎn)看初等數(shù)學(xué)，或形成對“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的深刻理解”，這可能將意味著，需要為教師設(shè)計(jì)一些特別地課程，以打破“對數(shù)學(xué)專業(yè)有好處就對職前教師有好處”的傳統(tǒng)認(rèn)識。文獻(xiàn)3也對建構(gòu)這種性質(zhì)的數(shù)學(xué)課程提出了要求：“數(shù)學(xué)對于科學(xué)，工程和體育的應(yīng)用已經(jīng)成了許多大學(xué)課程的支柱了。為什么不把數(shù)學(xué)對于數(shù)學(xué)教學(xué)的應(yīng)用也列人大學(xué)課程中去呢？”美國研究者和數(shù)學(xué)教育工作者已經(jīng)并正在為怎樣描述和討

14、論這些數(shù)學(xué)知識努力，并把它叫作“教學(xué)用的應(yīng)用數(shù)學(xué)"(appliedmathematicsforteaching)。所有這些思想都建基于文獻(xiàn)8教學(xué)內(nèi)容知識的概念上。進(jìn)一步地，文獻(xiàn)4還對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的一些特點(diǎn)進(jìn)行了總結(jié)。除了對中學(xué)階段所教內(nèi)容有深刻理解，這個水平上的數(shù)學(xué)教師也要能夠使用其他有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的知識，如：(1)在別人的論述中發(fā)現(xiàn)邏輯或者發(fā)現(xiàn)別人表征的意義；(2)決定哪幾種數(shù)學(xué)思想最有前景，決定什么是重點(diǎn)；(3)形成并解釋數(shù)學(xué)思想之間的連接；(4)把一種數(shù)學(xué)思想放在更為寬闊的數(shù)學(xué)背景之中；(5)選擇數(shù)學(xué)上便利的表征；(6)和在簡化其他方面特征幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想的同時，保持?jǐn)?shù)學(xué)思

15、想的本質(zhì)特征。這些種類的數(shù)學(xué)活動，對在課堂中與學(xué)生圍繞內(nèi)容直接互動、做課時計(jì)劃、為課堂和評價(jià)設(shè)計(jì)任務(wù)以及糾正學(xué)生的錯誤，等等類型的教學(xué)是根本。不難發(fā)現(xiàn)，這些知識也是教師做出教學(xué)決定和判斷的基礎(chǔ)。然而，這些有數(shù)學(xué)特點(diǎn)的知識，在現(xiàn)有的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中還沒有明確地體現(xiàn)。2.3 應(yīng)該注意組織數(shù)學(xué)教學(xué)的方式“您是怎么學(xué)的，就會怎么教”，“如果我們希望優(yōu)秀的教師教學(xué)有效，并且能按他們受教的方式來教學(xué)，我們就應(yīng)該按照數(shù)學(xué)家是怎樣做的，而不是怎樣說的，來組織大學(xué)里的教學(xué)”3。的確，教好數(shù)學(xué)應(yīng)該知道許多現(xiàn)成的數(shù)學(xué)知識，但教師也需要知道或體會到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識是怎樣得來的；教師需要具有一些判斷哪些問題在數(shù)學(xué)的發(fā)展中是

16、關(guān)鍵的感覺或經(jīng)驗(yàn)；教師還需要有判斷什么數(shù)學(xué)在中學(xué)里是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的本領(lǐng)。這種要求啟示，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“要幫助在職教師建立一個在他們所教的主題中挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)的習(xí)慣，方法之一就是，在念大學(xué)課程時就很明顯地培養(yǎng)這種習(xí)慣”3。然而，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“違反教學(xué)法的顛倒”的現(xiàn)象，還普遍存在。即發(fā)明者從來不把發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的曲折過程寫出來，只把完好的結(jié)果呈現(xiàn)給讀者，教學(xué)者往往會落入這個圈套，在課堂中只注重把現(xiàn)成結(jié)果一步一步呈現(xiàn)出來，不去探究結(jié)果背后的發(fā)現(xiàn)過程。事實(shí)上，正如許多數(shù)學(xué)家所描述的那樣，數(shù)學(xué)家關(guān)起房門做的和一年半載以后發(fā)表的東西面目相去甚遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)家做數(shù)學(xué)的過程，往往充滿了錯誤的假設(shè)，大量的計(jì)算和試驗(yàn)，還有許

17、多特例。他們把需要證明的東西化成許多引理，而引理的證明則是尚未得到的；把證明放在這些引理和一些細(xì)節(jié)上，直到肯定它們確實(shí)有效才去證明它們；連著幾小時的計(jì)算，找邏輯聯(lián)系，直到沉溺其中，從老思想中看出過去沒有看到的連接和新的聯(lián)系。他們暫時不去管他們所做的是否正確，是否漂亮，可否深信，演繹方法用得是否純粹，他們需要的就是解決問題的線索。因此，相對于傳統(tǒng)教學(xué)中的直接表述數(shù)學(xué)結(jié)果，教師也需要看到數(shù)學(xué)結(jié)果是怎樣做出來的。這是兩件不同的事情。3 結(jié)語對“為教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”性質(zhì)的認(rèn)識，使教師教育者開始注意到，教師所需要的數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)知識的不同。教師需要深入地理解數(shù)學(xué)，也要理解它在教學(xué)中的應(yīng)用，理解數(shù)學(xué)思

18、想怎樣跨越學(xué)科進(jìn)行整合，并能夠在學(xué)生的表述或書面作業(yè)中看見數(shù)學(xué)。教師教育者還要思考為教師準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)是否也應(yīng)該和普通院校數(shù)學(xué)系學(xué)生（那些準(zhǔn)備讀數(shù)學(xué)研究生的學(xué)生）有所不同，以及如何為教師準(zhǔn)備“教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識”。這些都對大學(xué)本科的數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃提出了挑戰(zhàn)，無疑，大學(xué)需要為教師創(chuàng)造本科數(shù)學(xué)和中學(xué)數(shù)學(xué)之間的連接。以下是三種可能的連接方式4：一是數(shù)學(xué)取向，職前教師應(yīng)該從高觀點(diǎn)研究中學(xué)數(shù)學(xué)，以形成對數(shù)學(xué)的深刻理解；二是綜合取向，把數(shù)學(xué)內(nèi)容和教學(xué)課程的目標(biāo)整合起來，以使教師能夠更好地看到連接，并且隨后使用它們；三是一種新興的方法，分析教學(xué)實(shí)踐并且判斷教師在他們的教學(xué)實(shí)踐中依靠什么數(shù)學(xué)知識，然后把數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中

19、的真實(shí)的數(shù)學(xué)“問題”作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的場所，利用解決問題時出現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)會，即，使用教學(xué)的實(shí)際工作作為一個開始點(diǎn)思考教師的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備。當(dāng)然，研究也提請為教師準(zhǔn)備數(shù)學(xué)的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)注意，不能使未來教師沉溺于中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中、或一般的教學(xué)和學(xué)習(xí)問題中，而不能向大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容延伸。參考文獻(xiàn)：1 R.Bromme.超越于題材內(nèi)容之外的：教師專業(yè)知識的心理學(xué)結(jié)構(gòu)M/數(shù)學(xué)教學(xué)理論是一門科學(xué)(pp.74-93)C上海：上海教育出版社，19982 鄭毓信創(chuàng)造未來簡論高水準(zhǔn)數(shù)學(xué)教師的培養(yǎng)J杭州教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2000，(3)：1-63齊民友編譯.教學(xué)用的數(shù)學(xué)J.數(shù)學(xué)通報(bào)，2004,(6):封二至第2頁.4 Ferri

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