數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告樣本

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告實(shí)驗(yàn)序號(hào)：3日期：2013年12月14日班級(jí)應(yīng)數(shù)一班姓名mi學(xué)號(hào)1101114209實(shí)驗(yàn)名稱求甲t數(shù)方程的近似根問(wèn)題背景描述：求代數(shù)方程f(x)0的根是最常見(jiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題之一，當(dāng)f(x)是一次多項(xiàng)式時(shí)，稱f(x)0為線性方程，否則稱之為非線性方程.當(dāng)f(x)0是非線性方程時(shí)，由于f(x)的多樣性，尚無(wú)一般的解析解法可使用，但如果對(duì)任意的精度要求，能求出方程的近似根，則可以認(rèn)為求根的計(jì)算問(wèn)題已經(jīng)解決，至少能滿足實(shí)際要求.本實(shí)驗(yàn)介紹一些求方程實(shí)根的近似值的有效方法，要求在使用這些方法前先確定求根區(qū)間a，b,或給出某根的近似值X0.實(shí)驗(yàn)?zāi)康模? .了解代數(shù)方程求根求解的四種方法：對(duì)分法、迭

2、代法、牛頓切線法2 .掌握對(duì)分法、迭代法、牛頓切線法求方程近似根的基本過(guò)程。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型：1 .對(duì)分法對(duì)分法思想：將區(qū)域不斷對(duì)分，判斷根在某個(gè)分段內(nèi)，再對(duì)該段對(duì)分，依此類推，直到滿足精度為止.對(duì)分法適用于求有根區(qū)間內(nèi)的單實(shí)根或奇重實(shí)根.設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，f(a)f(b)°,即f(a)0,f(b)0或f(a)0,f(b)0.則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值定理，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()0.下面的方法可以求出該根：ab令X02，計(jì)算f(X0)；若f(X0)0,則X0是f(x)0的根，停止計(jì)算，輸出結(jié)果xx0.aib若f(a)f(x0)0則令aiabix0若f(a)f(x0)

3、0則令aix0131b.*2人xkU，有ak、bk以及相應(yīng)的2.akbk若卜(xk)l(為預(yù)先給定的精度要求)，退出計(jì)算，輸出結(jié)果Xk2；反之，返回(1),重復(fù)(1),(2),(3).以上方法可得到每次縮小一半的區(qū)間序列ak,bk,在(ak,bk)中含有方程的根.凡akbk當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)bkak很小時(shí)，取其中點(diǎn)k2為根的近似值，顯然有|xkI'(bkak)11(bk1ak1)III擊(ba)2 222以上公式可用于估計(jì)對(duì)分次數(shù)k.2.迭代法迭代法的基本思想：由方程f(x)0構(gòu)造一個(gè)等價(jià)方程x(x)從某個(gè)近似根x0出發(fā)，令Xk1(Xk)k0,1,2,可得序列Xk,這種方法稱為迭代法.若Xk收斂

4、，即*limxkxk只要(x)連續(xù)，有kimxkikim(“)(lkmxk)即*x(x)可知，xk的極限x是x(x)的根，也就是f(x)0的根.當(dāng)然，若xk發(fā)散，迭代法就失敗.(刈明顯小于1時(shí)，則迭代收斂迭代過(guò)程xk11(xk)1 k1'(xk),1'(xk)時(shí)，kxk 1(1k)xkk (xk)1'(xk)(xk)收斂的常用判別標(biāo)準(zhǔn):當(dāng)根區(qū)間a， Altken 方法：* * .x (x), x是它的根，x0是其近似根.設(shè)x1(x0)飛(x1)因?yàn)檩^小，且對(duì)某一x0a，b,k)xkk (xk)是兩個(gè)近似值的加權(quán)平均，其中k稱2)迭代法的加速：a)松弛法：若(x)與xk同

5、是x*的近似值，則xk1(1為權(quán)重，現(xiàn)通過(guò)確定k看能否得到加速.迭代方程是：x(x)其中(x)(1)x(x),令(x)11k當(dāng)(x)1時(shí)，有1'(x),即當(dāng)可望獲得較好的加速效果，于是有松弛法:'(x)0,試確定：*、(xi)x2( )(xxi)用差商x1 x0x1 x0近似代替()，有*xx2x2 xi *(x Xi)X*x(x2 Xi)2XX2 x2 2% x0由此得出公式 姆(Xk).xk2)(xk。)；xx(2)xk2) xki)2i kxk2) 2xki) Xkk0,i,2,這就是Altken公式。3.牛頓(Newton)法(牛頓切線法)i)牛頓法的基本思想：f(x)

6、 0是非線性方程，一般較難解決，多采用線性化方法.f ''( )2f (x) f (xo) f (Xo)(X Xo)( (x Xo)2!記：P(x) f(Xo) f'(xo)(x Xo)P(x)是一次多項(xiàng)式，用P(x) o作為f(x) o的近似方程.P(x)f(Xo) f'(xo)(x Xo) o 的解為xXof (Xo)f '(Xo)(f'(xo) o)記為Xi ,Xk i Xk一般地,f(Xk)f'(Xk)o,i,2,*xx2xx2x2(x)x2xi(xi)(xo)即為牛頓法公式。實(shí)驗(yàn)所用軟件及版本:MatlabR2012b主要內(nèi)容（

7、要點(diǎn)）分別用對(duì)分法、普通迭代法、松弛迭代法、Altken迭代法、牛頓切法線等5種方法，求方程txsin（x）的正的近似根，0t1.（建議取t05.）實(shí)驗(yàn)過(guò)程記錄（含基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）1.對(duì)分法symsxfx;a=0.001;b=3;fx=0.5*x-sin(x);x=(a+b)/2;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);ifffx=0;disp('therootis:',num2str(x)elsedisp('kakbkf(xk)')whileabs(ffx)>0.0001&a<b;disp(nu

8、m2str(k),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)fa=subs(fx,'x',a);ffx=subs(fx,'x',x);iffa*ffx<0b=x;elsea=x;endk=k+1;x=(a+b)/2;enddisp(num2str(k),'',num2str(a),'',num2str(b),'',num2str(ffx)endfprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：d/n'

9、,x,k)【調(diào)試結(jié)果】00.0013-0.2472811.50053-0.2472821.50052.25020.3472131.87542.2502-0.01628641.87542.06280.1500251.87541.96910.06282461.87541.92220.02223971.87541.89880.002716581.88711.8988-0.006849991.89291.8988-0.002083101.89291.89590.0003127111.89441.8959-0.00088616121.89511.8959-0.00028698131.89511.8955

10、1.2794e-005所求的解是：x=1.895327,迭代步數(shù)是：133.普通迭代法symsxfxgx;gx=sin(x)/0.5;fx=0.5*x-sin(x);disp('kxf(x)')x=1.1;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)>0.0001;disp(num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx);x=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);k=k+1;enddisp(num2st

11、r(k),'',num2str(x),'',num2str(ffx)fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：d/n',x,k)【調(diào)試結(jié)果】01.1-0.3412111.7824-0.08648521.95540.05073931.8539-0.03323841.92040.02067751.879-0.01335761.90570.008443371.8889-0.00541681.89970.003443191.8928-0.0022017101.89720.0014028111.8944-0.00089584121.89620.0

12、0057125131.895-0.00036462141.89580.00023259151.8953-0.00014842161.89569.4692e-005所求的解是：x=1.895610,迭代步數(shù)是：163 .松弛迭代法symsfxgxxdgx;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);dgx=diff(gx,'x');x=1.8;k=0;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);disp('kxw')whileabs

13、(ffx)>0.0001;w=1/(1-dgxx);disp(num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)x=(1-w)*x+w*ggx;k=k+1;ggx=subs(gx,'x',x);ffx=subs(fx,'x',x);dgxx=subs(dgx,'x',x);enddisp(num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(w)fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：dn',x,k)【調(diào)試

14、結(jié)果】kxw01.80.6875711.90160.6062421.89550.60624所求的解是：x=1.895515,迭代步數(shù)是：24 .altken法symsfxgxx;gx=sin(x)*2;fx=0.5*x-sin(x);disp('kxx1x2')x=1.5;k=0;ffx=subs(fx,'x',x);whileabs(ffx)>0.0001;u=subs(gx,'x',x);v=subs(gx,'x',u);disp(num2str(k),'',num2str(x),'',n

15、um2str(u),'',num2str(v)x=v-(v-u)A2/(v-2*u+x);k=k+1;ffx=subs(fx,'x',x);enddisp(num2str(k),'',num2str(x),'',num2str(u),'',num2str(v)fprintf('所求的解是：x=%f,迭代步數(shù)是：dn',x,k)【調(diào)試結(jié)果】kxx1x201.51.9951.822711.86721.91281.884221.89521.89571.895431.89551.89571.8954所求的解

16、是：x=1.895494,迭代步數(shù)是：35.牛頓法symsxfxgx;fx=0.5*x-sin(x);gx=diff(fx,'x');x1=0.8;x2=1.5;x3=4;k=0;disp('kx1x2x3')fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=subs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);whileabs(fx

17、1)>0.00011abs(fx2)>0.00011abs(fx3)>0.0001;disp(num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)x1=x1-fx1/gx1;x2=x2-fx2/gx2;x3=x3-fx3/gx3;k=k+1;fx1=subs(fx,'x',x1);fx2=subs(fx,'x',x2);fx3=subs(fx,'x',x3);gx1=subs(gx,'x',x1);gx2=s

18、ubs(gx,'x',x2);gx3=subs(gx,'x',x3);enddisp(num2str(k),'',num2str(x1),'',num2str(x2),'',num2str(x3)fprintf('所求的解是：x1=%f,x2=%f,x3=%f,迭代步數(shù)：dn',x1,x2,x3,k)【調(diào)試結(jié)果】kx1x2x300.81.541 -0.813352.07661.61042 0.896791.91051.973 -1.78561.89561.89844 -1.90371.89551.8

19、9555 -1.89551.89551.8955所求的解是：x1=-1.895533,x2=1.895494,x3=1.895494,迭代步數(shù):5【情況記錄】1.對(duì)分法簡(jiǎn)單，然而，若?。ǚ皆谝韵蚴怯袔讉€(gè)零點(diǎn)時(shí)，只能算出其中一個(gè)零點(diǎn)，它不能求重根，也不能求虛根.另一方面，即使在鼻冽上有零點(diǎn)，也未必有，o這就限制了對(duì)分法的使用范圍。對(duì)分法只能計(jì)算方程。的實(shí)根。對(duì)分法的收斂速度較慢，它常用來(lái)試探實(shí)根的分布區(qū)間，或求根的近似值.尋找滿足定理?xiàng)l件的等價(jià)形式是難于做到的。事實(shí)上，如果/為/的零點(diǎn)，若能構(gòu)造等價(jià)形式工妒，而由“的連續(xù)性，一定存在/的鄰域（x'-R八而，其上有陣（切<這時(shí)若初值飛E一露'迭代也就收斂了。由此構(gòu)造收斂迭代式有兩個(gè)要素，其一，等價(jià)形式工.向工）應(yīng)滿足1歹"（工*）1<1；其二，初值必須取自/的充分小鄰域，這個(gè)鄰域大小決定于函數(shù)，,及做出的等價(jià)形式".貳外。松弛法的加速效果明顯，甚至不收斂的迭代函數(shù)經(jīng)加速后也能獲得收斂.松弛法要先計(jì)算'（xk）,在使用中有時(shí)不方便，而Altken公式，它的加速效果是十分明顯的，它同樣可使不收斂的迭代格式獲得收斂。5.牛頓法的收斂速度明顯快于對(duì)分法。牛頓法也有局限性。牛頓法至少是二階收斂的，而在重根附近，牛頓法是線性收斂的，且重根收斂很慢。另外，在牛頓法中