數分選講講稿第9講

1、3學時講授內容第十九講3、在不等式兩端取變限積分證明新的不等式例15證明：當x>0時,6120證已知cosxW1,(x>0,只有x=2nn時，等號成立)在此式兩端同時取0,x上的積分,.0costdt -. 0 出,sin x : x(x 0)再次取0, x上的積分，得2 x 一 cosx :2第三次取0,x上的積分，得3 x x。sin x :6所以3xx-一：sinx6上式再在0,x上的積分，得4x.：1-cosx224cosx：二124xxr224x 0.35再在0,x上的積分，得sinx<x-+6120幾何解釋:例16設f(x)是a,b上連續(xù)的凸函數.試證:Vx1,x

2、2Wa,b,xi<x2,有x2x2-x1x1證令t=x1+，x2-x1),x21飛fdt=0xl0f(x11(x2-x1)d,同理，令t=x2Mx2X1),九w(0,1),則1X21f(t)dt=f(x2-(x2-x1)d(2)x2-x1xi-0從而1f(t)dt=-f(x1-工«2-為)f(x2T(x2-為)Id,x2-x1x120注意到x1+"x2-x1)與x2-九(x2-4)關于中點x1*x2對稱,f(x)又2為凸函數，所以1 f(x1'(x2一x1)f(x2-1(x2x-)Lf(xx2)2 2士x：另一方面，由(1)式及f(x)的凸性t=x1王(X2,

3、1)1f(t)dt=of('x2(1-)x1)dIf(x2)-(1f(x1)Id,11f(x1)-f(x2)-f(x2);f(x1),1c2.222一 x (a, b)例17設函數g(x)在a,b上遞增.試證:x函數f(x)=g(t)dt為凸函數.c證；g(x)在a,b上遞增，Vx1,x2,x3e(a,b),x1<x2<x3x1g(t)dt -. c g(t)dtf(x2)-f(x1)_1x2-x1x2-x11x21x3g(t)dt三g(x2)汽g(t)dtx2"4x3-x2x2x3x2cgOdt-.cgdt_f(x3).f(x2)x3-x2乂3-x2所以，f(x

4、)為凸函數.例 18 設 f(x), p(x)在a,b上連續(xù)，p(x)>0, bp(x)dx>0 a且mwf(x)wM ,中(x)在m,M 上有定義，并且有二階導數，%x) >0.試證:a p(x)f(x)dxbL p(x)dx ,bp(x) ： f (x) dxba P(x)dx證I (利用積分和)將區(qū)間a,b n等分，記為"a(b-a), r = p(x)1二 f (為)，(i =1,2|,n) n'；L,中(x)為凸函數.pn由詹禁定理，取 九=Y, (j=1,2,lll,n), Z九i=1x pj7n n:、d(fi),i 1i 1Pflp2 f2I

5、II pnfn二 口 (fl)p2 (f2) III "n (fn)證IIpi+pz+IH+pn /pip2IIIpn， b b - a p fiy nb-a£ pi; i苴 n仔bp(x) f (x)dx：a p(x)dx(利用Taylor公式)nzi 1nb -a pi n.bp(x) ： f(x) dxabJa p(x)dxb記x0p(x)f(x)dxabp(x)dxa則，(y)7xoi(xo)(y-xo)2,()(y”)2注意"0,二?(y)9(x0)%印«0)(yX0).在上式中，令y=f(x),然后兩邊乘以bp(x),得aP(X)dXP(x)

6、：f(x)：(x)P(x)p(x)f(x)-x。b-(x0)b,(x0)bap(x)dxap(x)dxap(x)dx在a,b上取積分bp(x) ： f(x)a ba p(x)dxdx-(x0):3dxy%).b p(x) f(x)-%bap(x)dxdxbbp(x):f(x)dxp(x)f(x)-x°dx-b(x0)；(x。)bp(x)dxp(x)dxa-a其中bbp(x) f (x) -x0 dx = p(x) aa!f(x)-abp(x)f(x)dxbp(x)dx adxp(x)dxp(x)f(x)dx-p(x)dxp(x)f(x)dx.Iaaaapp(x)dx-abbap(x)

7、：f(x)dx,、ap(x)f(x)dxb(x0);bp(x)dx.p(x)dxaa§4.5不等式、Cauchy不等式及Schwarz不等式1. Cauchy不等式設ai,b(i=1,2,lll,n)為任意實數，則2/nnnIZaibiI<Zai2Zb,：n n二二' aaibj2 i w j m因此，Cauchy不等式成立.等號成立當且僅當aibj =ajbi, （i =：,2,|,n）.證III （利用二次型）J2/22/220aix by ' j - ai x 21二 abi xy二 b yi 1.i 1i i 1. i=1.（Cauchy不等式）J1i二

8、i=1其中等號當且僅當ai與b成比例時成立.證1（判別式法）n2n22nn20raxb.:aix24aQx八bi1.y,i1i1上式是關于x的二次三項式，保持非負，故判別式2nnn歸aib-Za2Zb2<0.gJid：I證II（配方法）nn/n2:Za2Zb2-|Zabi工i2（i4nnnn、廣n、=£a2芝b2-;Zaibi卜£ajbjimjT3苴/1j工/nnnn八%a2b2.二.二abiajbj2-ajbi-0.即關于x,y的二次型，非負定,n2aii 1n£ a2iTn工 aibiiin因此n'、. ahi 1n,、b；-0方法III可推ii

9、n2v b2 !- abi.i 1.i Ui注jmimj32. Schwarz不等式設f(x),g(x)在a,b上可積，則b2 b 2b 2f (x)g(x)dx f (x)dx g (x)dx. a- a-aCauchy不等式的積分形 式稱為Schwarz 不若f(x),g(x)在a,b上連續(xù)，其中等號當且僅當存在常數a,P,使得af(x)三Pg(x)時成立.(a,P不同時為零)3. Schwarz不等式的應用b例1已知f(x)之0,在a,b上連續(xù)，f(x)dx=1.ak為任意實數.求證：b2b2if(x)coskxdxiIf(x)sinkxdx_1.證第一項應用Schwarz不等式：b2b

10、2iiaf(x)coskxdx=af(x)f(x)coskxdxbb三f(x)dxf(x)coskxdx-a-ab2=af(x)coskxdx同理b2b2ff(x)sinkxdx一af(x)sinkxdxb2b2(1)+(2):(f(x)coskxdx)+(Jf(x)sinkxdx)<1.aa例2設f(x)在a,b上有連續(xù)的導數，f(a)=0.試證:,bba,b.,21af(x)f(x)dx<2-1a(f(x)dx.x證令g(x)=Jf'(t)dt,aMxMba貝Ug(x)=|f(x),awxwb.由f(a)=0,知xxf(x)|=|f(x)f(a)=1ft)dtWf|f&

11、#39;dt=g(x)aabb因此，ff(x)f(x)dxwg(x)g'(x)dxaa=2 |g2(b) -g2(a)=1Ciab1 f (x) dxb12,、=g(x)dg(x)=-g(x)aSchwarz<1b2b.2-aOb.2dxaf(x)dxb23dx.例3設f(x)在a,b(b>a)上有連續(xù)的n階導數f(x),且f(k)(a)=0,(k=0,1,2,|,n1).求證:m_k3：f(k)(x)Tdx)22(b-a)m.f(m)(x) f dx )211 2I (b -a2(令 (x)=xa dt， ax a,b其中0三k:m<n,證先證明n=1的情況.此時m

12、=1,k=0設中(x)在a,b上有連續(xù)的導數，中(a)=0.一、一bc2下證(x)dx三a由Schwarz不等式:：2xxx2(x)=a：(t)dtMa1三 g(ba) a (x) dx.dta：(t)出aaax.2=(x-a)-(t)dta兩端同時積分bobx2I”(x)dx<1ax-a)1ag(t)dtjdx1b-x21o第二項積分值大于零.Ra"'(t)dtJd(X-a)x-xxbji八xxxnbbn=-(x-a)/aC(t)dt-f(xa)(%x)dx2Ja-xn2a121軍(x)dx) < -I2 J、b2兩邊同時開萬：a1b22(b-a):(x)dx.

13、a對一般情況，令(x)=f(k)(x),xa,b1b(k)22af()(x)dx12三II(22工廠21(ba)(f(k*)(x)dxf2b(b-a)af1(kZ2,2(x)dxm上次1I -2正的下界.試證:g(x)在a,b上連續(xù),=f (x) g(x)dx, 一 af(x)不包為零，g(x)有(n =1,2,IH).lim n 二 dn=maxa -：x 空f(x).：lim (dn n =max f (x), nSCa互至d 1-lim n- -lim dn n n 二 dn n .二只需證明lim n-1 存在.I' dnmk12b/、22(b-a)mf(m)(x)dx.adn

14、=bnff(x)g(x)dx=即魚1_dndndni工!udn因為f(x)在a,b上連續(xù)，所以三M>0,使得f(x)<M,xa,b故0 M也 dnbn +Ja|f(x)g(x)dx,Mbna f(x) g(x)dxf | f (x) g(x)dxa f (x)ng(x)dx二M30既然也單調有界，存在極限.dndn 1 lim上 ndn=nim(dn y =nm<af(x) g(x)dx)=max a x bf(x).、平均值不等式基本形式：對任意n個實數a40,(i=1,2J|,n),恒有n aiazll®:a a2 川 an(即幾何平均值E算術平均值)其中等號成立當且僅當al=a2-IH=an.例5設正值函數f(x)在0,1上連續(xù).試證:1In f (x)dxe 01M 0 f(x)dx證由條件知f(x),lnf(x)在0,1上可積,將