數(shù)值分析整理版試題及答案

1、X-112f(x)-304求f(x)的Lagrang屋次插值多項式和NewtonD次插值多項式。解:(1)由題可知Xk-112yk-304插值基函數(shù)分別為10(X)X-X1X-X2x-1x-21-=x-1x-2xo-Xix0-x211-1-26X-X0x-x2I|X1x-2111(x)=x1x-2X1-X0xi-X.111-22X-X0|X-X1|X1X-11l2(x)=0-=-X-1X1X2-X0X2-X1212-13故所求二次拉格朗日插值多項式為2L2(x)="yklkxk=0c1,-3x-16cc1.C,1x-20-2x1x-243X1X-114=一；x-1x-2-x1x-12

2、35237=-xx-623(2)一階均差、二階均差分別為Xo，XlfX0-fXi與0X0-X1-11fMxjJX1-fX2二史x1-x21-2Xo，Xi，X2=fXo,X1：.fX1,X224X0-x2-1-2均差表為Xkf(Xk)一階二階-1-3103/22445/6故所求Newton次插值多項式為P2X=fX0flX0,X1!X-X0-flX0,X1，X2!X-X0X-X135_x16x1x-15237二一Xx-623例2、設(shè)f(x)=X2+3x+2,xW0,1,試求f(x)在0,1±關(guān)于P(x)的最佳平方逼近多項式。,：，=span'.1,x;解:若G=span1,x,

3、則陽x)=1,中1(x)=x,且P(x)=1,這樣，有10,0=1dx=1,0：1,：11=x2dx01,0,1-1,0-xdx=,021f,0=.x20233x2dx=1129f,1=xx3x2dx=04所以，法方程為112112再回代解該方程，得到ai=4,ao=U6故，所求最佳平方逼近多項式為S*(x)=114x6例|3、設(shè)f(x)=ex,xe0,1,試求f(x)在0,1上關(guān)于P(x)=1,9=spanl,x的最佳平方逼近多項式。解:若G=span1,x,則邛°(x)=1,中i(x)=x,這樣，有1。0，0=1dx=101211,1：l：lxdx=-03110,1i:i1-1,

4、0=.xdx=彳021f,0=exdx=1.718301f,1=xexdx=10所以，法方程為12和_”1831>1J-13解法方程，得到a。=0.8732,a1=1.6902,故，所求最佳平方逼近多項式為_*S1(x)=0.87321.6902x例4、用n=4的復(fù)合梯形和復(fù)合辛普森公式計算積分j&x解：(1)用n=4的復(fù)合梯形公式由于h=2,f(x=,xk=1+2k(k=1,2,3)，所以，有9一1x/xdx處T4h:=-f12，fXkf92k12_=-J23.5,79=17.2277(2)用n=4的復(fù)合辛普森公式由于h=2,f(x)=TX,Xk=1+2k(k=1,2,3),*

5、卜/=2+2k(k=0,1,2,3),所以，有215/XdxfcS4h。f14"fx6kN11+2Ef(Xk)+f(9J22)1=14.2-.46.82,3.5,733=17.3321例5、用列主元消去法求解下列線性方程組的解。12x1-3x23x3=15-18x13x2-x3=-15x1x2x3=6解：先消元12-33(Ab)=-183-1111if-183-112-33：111151-156-151562一m21二一，第1仃丈_m21）#2仃_第2仃，3，1m31=_,第1仃及_m31）埔3仃t第3仃311831-1803-176-1731718-155316|18376-1-1

6、-1517/1831/67.35m32=3,第2行乂332）箱73行t第3行T1-180I03760-11718227-1531/6667再回代，得到X3=3,X2=2,X|二1所以，線性方程組的解為X1=1,X2=2,X3=3例6、1一X141X13用直接三角分解法求下列線性方程組的解。11-X2,X3=95611八一X2X3=8451-x1x22x3=8解:1413121514則由A=LU11615一1=121132u12U220u13U23U33=LU的對應(yīng)元素相等，有1,照=5,1l21u11=1一13421二二31u13，61l31u11=二一2l31l21u12u221一二一u22

7、422160，l21u1311=U23=,52345l31u12+l32u22=1=l32=一36,13l31u13l32u23u33一2Mu33一15因此,A=LU-143N-36解Ly=b,即-1432-1401151601516061N51315011y2尸以31811614513一91,曰8，行y=9,y2=/,y3=154X24,得x3=177.69,x2=476.92,x1=227.08.X315415所以，線性方程組的解為x=-227.08,x2=476.92,x3=-177.691、若a是n"階非奇異陣，則必存在單位下三角陣l和上三角陣U,使A=LU唯一成立。（）ff

8、 (x)dx 定 £ A f (xi )3、形如ai=1確度的次數(shù)為2n+1。2、當(dāng)n之8時，Newtoncotes型求積公式會產(chǎn)生數(shù)值不穩(wěn)定性。的高斯（GausS）型求積公式具有最高代數(shù)精:）910,A=1114、矩陣912.）的2范數(shù)仰2=9。（）z2aa0、A=0a05、設(shè)k。0aJ,則對任意實數(shù)a#0,方程組Ax=b都是病態(tài)的。（用hoo）（）6、設(shè)AWRnX：n,QWRnX：n,且有QTQ=I（單位陣），則有1A2=IQA2。（）7、區(qū)間a,b】上關(guān)于權(quán)函數(shù)W（x）的直交多項式是存在的，且唯一。（）1、（X）2、（V）3、（X）4、（V）5、（ X6、（ V ） 7、（ X

9、 ） 8、（ X一、判斷題（10X1'）1、若A是n階非奇異矩陣，則線性方程組AX=b一定可以使用高斯消元法求解。（乂）2、解非線性方程f（x）=0的牛頓迭代法在單根x*附近是平方收斂的。（）3、若A為n階方陣，且其元素滿足不等式naii-aaij（i=1,2,.,n）jTj=i則解線性方程組AX=b高斯一一塞德爾迭代法一定收斂。（X）4、樣條插值一種分段插值。（7）5、如果插值結(jié)點(diǎn)相同，在滿足相同插值條件下所有的插值多項式是等價的。（）6、從實際問題的精確解到實際的計算結(jié)果間的誤差有模型誤差、觀測誤差、截斷誤差及舍入誤差。（）7、解線性方程組的的平方根直接解法適用于任何線性方程組AX

10、=b。（X）8、迭代解法的舍入誤差估計要從第一步迭代計算的舍入誤差開始估計，直到最后一步迭代計算的舍入誤差。（X）9、數(shù)值計算中的總誤差如果只考慮截斷誤差和舍入誤差，則誤差的最佳分配原則是截斷誤差=舍入誤差。（）10、插值計算中避免外插是為了減少舍入誤差10001.用計算機(jī)求Z100時，應(yīng)按照n從小到大的順序相加。ndn2.為了減少誤差，應(yīng)將表達(dá)式 ,2001 - J1999改寫為22001,1999進(jìn)行計算。3 .用數(shù)值微分公式中求導(dǎo)數(shù)值時，步長越小計算就越精確。（）4 .用迭代法解線性方程組時，迭代能否收斂與初始向量的選擇、系數(shù)矩陣及其演變方式有關(guān)，與常數(shù)項無關(guān)。（）復(fù)習(xí)試題、填空題:4-

11、1A = 14- 0-101八A=-14J,則A的LU分解為一ir-11I4-10A=-1/4115/4-1答案:00-4151JL56152、已知f=1.0,f(2)=1.2,f(3)=1.3,則用辛普生(辛卜生)公式計算求得3Lf(x)dx"，用三點(diǎn)式求得定O答案：2.367,0.253、f(1)=-1,f(2)=2,f(3)=1,則過這三點(diǎn)的二次插值多項式中x2的系數(shù)為,拉格朗日插值多項式為。11L2(x)=-(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)-(x-1)(x-2)答案：-1,224、近似值x*=0.231關(guān)于真值乂=0.229有(2)位有效數(shù)字；5、設(shè)f(x)可微，

12、求方程x=f(x)的牛頓迭代格式是()；_xn-“Xn)xn1-xn一答案1T(xn)6、對f(x)=x3+x+1，差商f0,1,2,3=(1),f0,1,2,3,4=(0)；7、計算方法主要研究(截斷)誤差和(舍入)誤差；8、用二分法求非線性方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為b一a(2n由)；10、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9,則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為(0.15);.、一f(x)dx°f(x)dx，一f(-)f(),11、兩點(diǎn)式高斯型求積公式of(X)dX=(b22V32弋3)，代數(shù)精度為(5);12、解線性方程組Ax

13、=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為(A的各階順序主子式均不為零)。_346y=102313、為了使計算x-1(x-1)(x-1)的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表1達(dá)式改寫為_y=0+(3+(-6t)t)t,t=二1_,為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達(dá)式J2001-V1999改寫為J2001+,1999_014、用二分法求方程f(x)=x3+x-1=0在區(qū)間0,1內(nèi)的根，進(jìn)行一步后根的所在區(qū)間為0.5,1，進(jìn)行兩步后根的所在區(qū)間為0.5,0.75。15、計算積分0.54xdx,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為0.4268,用辛卜生公式計算求得的近似值為0.4309,梯形公式的彳t數(shù)精度為1

14、，辛卜3x1 5x2 = 1生公式的代數(shù)精度為3。x1(k1)=(1-5x2k)/316、求解方程組P2x1+4x2=0的高斯塞德爾迭代格式為_J/)=_x1(k,20一該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑：(M)=1217、設(shè)f(0)=0,f(1)=16,f(2)=46，則l(x)=l(x)=-x(x-2)_,f(x)的二次牛頓插值多項式為N2(x)=16x+7x(x-1)0f(x)dx:二Akf(xk)求積公式akR的代數(shù)精度以(高斯型)求積公式為最高，具有(2n1)次代數(shù)精度19、5已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求積公式求If(x)dx=(12)o20、設(shè)f(1)=1,

15、f(2)=2,f(3)=0,用三點(diǎn)式求生(2.5)。21、如果用二分法求方程x3+x-4=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分(次。1023、l0(x),l1(x),ln(x)是以整數(shù)點(diǎn)x0,x1,xn為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則.二lk(x)="xklj(xk)=T(1),k及(nx'(x：x23)lk(x)=xj)，當(dāng)n之2時y(x4x2326、改變函數(shù)f(x)=Jx不1-<x(x冷1)的形式，使算結(jié)果較27、若用二分法求方程f(X)=0在區(qū)間1,2內(nèi)的根,次。要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分1029、若用復(fù)化梯形公式計算個求積節(jié)點(diǎn)。1exdx一斗4

16、、.0,要求誤差不超過10”,利用余項公式估計，至少用477x1+1.6x230寫出求解方程組0.4x1 +'2 =2 的 Gauss-Seidel 迭 代公式'x11k +) = 1 -1.6x2k)x")=2 +0.4x1*Jk =0,1,迭代矩陣為0-1.6- 0.64此迭代法是否收斂收斂。54)31、心3人則A ：=932、設(shè)矩陣2176的A = LU ,則U =612133、一一 4若 f(x) =3x+ 2x +1 ,則差商 f2,4,8,16,32 =34、35、線性方程組的最小二乘解為12f(x)dx-f(-1)8f(0)f(1)數(shù)值積分公式工9的代數(shù)

17、精度為3 2A = 2 036、設(shè)矩陣 J 3二、單項選擇題：1145分解為A = LU，則U =24一3010-321萬1、Jacobi迭代法解方程組Ax=b的必要條件是（C）A.A的各階順序主子式不為零B.P(A)<1C.a-0,i=1,2,nd.A<122-3A=0512、設(shè)P0-7一則6)為(C).A.2B.5C.7D.33、三點(diǎn)的高斯求積公式的代數(shù)精度為(B)。A.2B.5C.3D.44、求解線性方程組Ax=b的LU分解法中,A須滿足的條件是（B)oA.對稱陣B.正定矩陣C.任意陣D.各階順序主子式均不為零5、舍入誤差是（A）產(chǎn)生的誤差。A.只取有限位數(shù)B.模型準(zhǔn)確值與用

18、數(shù)值方法求得的準(zhǔn)確值C.觀察與測量D.數(shù)學(xué)模型準(zhǔn)確值與實際值6、3.14158覺冗的有（B）位有效數(shù)字的近似值。A. 6B. 5C. 4D. 77、用1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是（C）誤差A(yù).模型B.觀測C.截斷8、解線性方程組的主元素消去法中選擇主元的目的是A.控制舍入誤差B.減小方法誤差(A) f(x,x0,x1,x2,-x1xn)(xx2)(x xn 1)(x xn),C.防止計算時溢出x9、用1+3近似表示3心所產(chǎn)生的誤差是(D)誤差。A.舍入B.觀測C.模型D.截斷10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效數(shù)字。A. 5B. 6 C. 7D. 811、設(shè)f (-

19、1)=1,f (0)=3,f (2)=4，則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為(A )。A. 0. 5B. 0. 5C.12、三點(diǎn)的高斯型求積公式的代數(shù)精度為)oA. 3B. 4C. 5D. 213、(D)的3位有效數(shù)字是0.236X102。(C) 235.418 (D) 235.54X 10- 1(A)0.0023549<103(B)2354.82X10-214、用簡單迭彳弋法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=(x),則f(x)=0的根是(B)。(A) y=中(x)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(B) y=x與y=。(x)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(C) y=x與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(D) y=x與

20、y=%x)的交點(diǎn)15、用列主元消去法解線性方程組3x1 -x2 4x3 = 1-x1 + 2x2 -9x3 = 04不一3x2 *X3 = -1 ,第1次消元，選擇主元為(A) -4(B) 3(C) 4(D) 916、拉格朗日插值多項式的余項是(B )，牛頓插值多項式的余項是(C )Rn(x) = f(x) Pn(x) =(B)f(n 1)()(n 1)!(C) f(x,x0,x1,x2,一,xn)(x x1)(x x2)(:xxn 1)(x xn),Rn(x) =f (x) Pn(x)=(D)f(n 1)()(n 1)!，n 1 (x)17、等距二點(diǎn)求導(dǎo)公式f'(x1”( A )0f

21、(x1)- f(x0)(A)x1 - x0(x0)(C)f(x0) f(x1)x0 一 x1xo - x1(D) f(x1) - f(x0)x1 x018、用牛頓切線法解方程f(x)=0,選初始值x0滿足(A),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,定收斂到方程f(x)=0的根。(A) f (x0)f (x) 0(B)f(x0)f (x) 0(C) f (x0)f (x)：二0(D) f (x。)f (x)：二 019、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。2 x(A)1,，1一,迭代公式：x+=T=x -1,

22、xk -1x(B)二1+2，迭代公式：xk由=1+2 xxk/C、x3=1+x2，迭代公式：xk書=(1+x2)1/3(C)x3-1=x2，迭代公式：xk書(D)(k 1) x(k)=Bx+g收斂的充要條件是(3)：(A)1,(4)：(B)122、在牛頓-柯特斯求積公式:bnf(x)dx:(b-a)二Cif(xi)a_i=0(n)中，當(dāng)系數(shù)Ci是負(fù)值時，公式的x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是(O(2)三次;(4)五次穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當(dāng)()時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。(1)n之8,(2)n7,(3)n之10,(4

23、)n6,23、有下列數(shù)表)(1)二次;(3)四次；25、取有之1.732計算X=(73-1)4,下列方法中哪種最好？()1616(A)28-1673；(b)(4-273)2；©(4+2/3)2；(D)(73+1)4。27、由下列數(shù)表進(jìn)行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是()x11.522.533.5f(xi)-10.52.55.08.011.5(A)5;(B)4;(C)3;(D)2。b28、形如Lf(x)d-A心)+A2f(x)+A3f(為)的高斯(Gauss)型求積公式的代數(shù)精度為()(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。29、計算V3的Newton迭代格式為()x

24、k3xk3xk2xk3xk1)xk1)xk1=xk1)(A)k12xk；。122xk；(C)k12xk.(D)k13xk。32；.10.30、用二分法求方程x+4x-10=0在區(qū)間1,2內(nèi)的實根，要求誤差限為2,則對分次數(shù)至少為()(A)10;(B)12;(C)8;(D)9。9、kli(k)=32、設(shè)li(x)是以xk=k(k=0,1川,9)為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則k=0()(A)x;(B)k；(C)i；(D)1。33、5個節(jié)點(diǎn)的牛頓-柯特斯求積公式，至少具有()次代數(shù)精度x0 =2不收斂的是(A)5;(B)4;(C)6;(D)3。,、一一32 x k 5 _2_3 xk-2o3

25、5、已知萬程x-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在xk1(D)(A)xk由=3/2xk+5；(B)k*Yxk；(C)xk書=x3-xk536、由下列數(shù)據(jù)x01234f(x)1243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3o37、5個節(jié)點(diǎn)的Gauss型求積公式的最高代數(shù)精度為()(A)8;(B)9;(C)10;(D)11。三、是非題(認(rèn)為正確的在后面的括弧中打&否則打父)1、已知觀察值(為，yi)(i=0，1，2,，m)，用最小二乘法求n次擬合多項式Pn(x)時,Pn(x)的次數(shù)n可以任意取。2x2、用1-2近似表示cosx產(chǎn)生舍入誤差（x-

26、X0）（x-X2）3、（xi-x0）（xix2）表示在節(jié)點(diǎn)X1的二次（拉格朗日）插值基函數(shù)。（）4、牛頓插值多項式的優(yōu)點(diǎn)是在計算時，高一級的插值多項式可利用前一次插值的結(jié)果。（）311、-2535、矩陣A=J25J具有嚴(yán)格對角占優(yōu)。（）四、計算題：4x1+2x2+x3=11xi4x22x3=181、用高斯-塞德爾方法解方程組l2x1+X2+5x3=22,取x（0）=（0,0,0）T,迭代四次（要求按五位有效數(shù)字計算）。答案：迭代格式(k+)x1二144(11-2x2k)-x3k)說.二144(18-x廣)-2x3k)x")二1(22-2x，*)-x2k*)一5k(k)x1(k)x2x

27、3k)000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019高，并求其代數(shù)精度；利用此公式求I21dx1 x(保留四位小數(shù))。1 .1.1f(x)dx:Af(-1)f(1)Bf()f(),2、求A、B使求積公式JI/rI/v2222'2的代數(shù)精度盡量2 一答案：f(x)=1,x,x是精確成立，即2A 2B =2122A B =23A 1 08/曰 A = 一，B =得 9911811求積公式為df(x)dx=9f(-1)f(1)9f(-2)f(-)2 13 4一一一一當(dāng)f(x

28、)=x時，公式顯然精確成立；當(dāng)f(x)=x時，左=5,右=3。所以代數(shù)精度為3。dx產(chǎn)1，dt，81T1xt39-13139-1/2312397=0.692861403、已知xi1345f(xi)2654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求f(x)的三次插值多項式p3(x),并求f(2)的近似值(保留四位小數(shù))。(x-3)(x-4)(x-5),(x-1)(x-4)(x-5)L3(x)26答案：(1-3)(1-4)(1-5)(3-1)(3-4)(3-5)5(x-1)(x-3)(x-5)4(x-1)(x-3)(x-4)(4-1)(4-3)(4-5)(5-1)(5-3)(5-4)差商表為xiyi一階均

29、差二階均差三階均差1236245-1-154-10141P3(x)=N3(x)=22(x-1)-(x1)(x-3)(x-1)(x-3)(x-4)4f(2):P3(2)=5.56、已知sinx區(qū)間0.4,0.8的函數(shù)表xi0.40.50.60.70.8yi0.389420.479430.564640.644220.71736如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何選擇節(jié)點(diǎn)才能使誤差最??？并求該近似值。答案：解：應(yīng)選三個節(jié)點(diǎn)，使誤差M3|R2(x)隹(|，3(x)|盡量小，即應(yīng)使僧3(x)|盡量小，最靠近插值點(diǎn)的三個節(jié)點(diǎn)滿足上述要求。即取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.7最好，實際計算結(jié)果sin0

30、.63891:0.596274,且sin0.63891-0.596274< |(0.63891-0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)3!< 0.5503210”7、構(gòu)造求解方程ex+10x2=0的根的迭代格式xn+=*(xn),n=012,，討論其收斂4性，并將根求出來，|xn+-xn|<10o答案：解：令f(x)=ex10x-2,f(0)-2：0,f=10e0且f(x)=ex+10A0對Uxw(-s,十的)，故f(x)=0在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程f(x)=0變形為1x、x=(2-e)10則當(dāng)xw(0,1)時x彳一ee中(x)=(2ex)W

31、(x)1一而M而<1故迭代格式1xcxn1=-(2-en)10n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008收斂。取x0=0.5,計算結(jié)果列表如下：，6*_且滿足|x7-x6戶0.00000095<10.所以x定0.0905250088、利用矩陣的LU分解法解方程組|x12x23x3=14«2x1+5x2+2x3=183x1+x2+5x3=2011A=LU=21答案：解：j351上231-4-24令Ly=b得y=(14,-10,-7

32、2)T,Ux=y得x=(1,2,3)T.3x12x210x3=15，10x1-4x2-x3=59、對方程組x1+10x2-4x3=8(1)試建立一種收斂的Seide迭代公式，說明理由；(2)取初值x(0)=(0,0,0)T,利用(1)中建立的迭代公式求解要求近似值有5位有效數(shù)字，只須誤差R(n)( f ) <1x1023 嗯尋|W)1只要R(n) (ex)2得月10“即可，解得n ,e 102 =67.308776|x(k1)-x(k)|:-：:104解：調(diào)整方程組的位置，使系數(shù)矩陣嚴(yán)格對角占優(yōu)10x1-4x2-X3-52x1+10x2-4x3=83x1+2x2+10x3=15故對應(yīng)的高

33、斯塞德爾迭代法收斂.迭代格式為x9£(4x2k)十x3k)+5)改尸)=*(必產(chǎn))+4x3k)+8)x3解：當(dāng) 0<x<1 時，f "(x) =ex,則 f "(x)Me,且 ie dx有一位整數(shù).=A(-3x(k41)-2x2k+1)+15)L10取x=(0,0,0)T,經(jīng)7步迭代可得：x*x(7)=(0.999991459,0.999950326,1.000010)T10、已知下列實驗數(shù)據(jù)xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435試按最小二乘原理求一次多項式擬合以上數(shù)據(jù)所以 n=68,因此至少需將0,1 68等份。1

34、1、用列主元素消元法求解方程組1-15 -421一-43 x2 = -121-X3_ J1解:-15：2-1 1-4 311一5111 12-4 3 -12-1 1-41111513-43-12857951351-43-127958-43 -12131 795555513131回代得X3=-1,X2=6,X1=312、取節(jié)點(diǎn)x0=0,x1=0.5,x2=1，求函數(shù)f(x)=e"在區(qū)間0,1上的二次插值多項式2(x)，并估計誤差。e，-"Fj(X-0)(X-1)解:(0-0.5)(0-1)(0.5-0)(0.5-1)一(x-0)(x-0.5)e(1-0)(1-0.5)_05_

35、/_=2(x-0.5)(x-1)-4e5x(x-1)2ex(x-0.5)f(x)=e«,f(x)=-e：M3=max|f(x)|二1又x.0,1|R2(x)|=|e'”2(x)|三3|x(x-0.5)(x-1)|故截斷誤差3!。3)說明所用的迭代格式是收斂的x解：1)將萬程(x-1)e-1=0(1)改寫為x-1=e4x*作函數(shù)fi(x)=x-1,f2(x)=e的圖形(略)知(2)有唯一根x(1,2)2)將方程(2)改寫為x=1+e”xk41=1+e-xk構(gòu)造迭代格式阿="(k=0,1,2,)計算結(jié)果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.2

36、74091.279691.278121.27856i1.27844.1.278471.278463)中(x)=1+e",*'(x)=-e*當(dāng)xw1,2時，率(*尸叫2),1)卜1,2,且1l：(x)|Me<1所以迭代格式xk/=*(xk)(k=0,1,2,)對任意x0W1,2均收斂。15、用牛頓(切線)法求4的近似值。取x°=1.7,計算三次，保留五位小數(shù)。f '(x)=2x,牛頓迭代公式為解：<3是f(x)=x23=0的正根,xn 1 - xnx2 -32xnxn3xn 1 =(n =0,1,2,)2 2xn取x0=1.7,列表如下:n123x

37、n1.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2,f(1)=3,f(2)=-4,求拉格朗日插值多項式L2(x)>f(1,5)的近似值,取五位小數(shù)。解:L2(x一(x 1)(x-2) (x 1)(x-1) 3 4(1 1)(1 -2)(2 1)(2 -1)234.-(x-1)(x-2)-(x1)(x-2)-3(x1)(x-1).1f(1.5) ： L2(1.5) = 0.041672417、n=3,用復(fù)合梯形公式求e'dx的近似值(取四位小數(shù))，并求誤差估計。- eXdx ： T3 =解：01 -001 32 3.1e 2(e e ) , e ： 1.7342f

38、(x) =ex, f "(x) =ex, 0WXW1 時，|f"(x)|Mee=0.025 < 0.05108至少有兩位有效數(shù)字。3-3X1X218、用Gauss-Seidel!代法求解線性方程組取x(0)=(0,0,0)T,列表計算三次，保留三位小數(shù)。解：Gauss-Seidel1代格式為:x(kx2k1( 31一一產(chǎn)-1-x3k) - 5)JfDx2k1)-8)411141嚴(yán)格對角占優(yōu)，故Gauss-Seidefe代收斂.取X(0)=(0,0,0)T,列表計算如下：kX，x2k)x3k)11.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.46

39、10.359-2.526,220、（8分）用最小二乘法求形如y=a+bx的經(jīng)驗公式擬合以下數(shù)據(jù):Xi19253038*19.032.349.073.3解：中=span1,x2T1111yT = 19.0 32.3 49.0 73.31AT=I19225231238、解方程組ATACnaty其中ATA-33913529603AT y =173.6I179980.70.9255577C二解得：p.0501025_|所以a=0.9255577b=0.050102521、（15分）用n =8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化Simpson公式）計算dxe1 o時，試用余項估計其誤差。用n =8的復(fù)化梯形公式（或復(fù)

40、化Simpson公式）Rf=- 解：12c11 Ch2f ”(刃' xe012 82計算出該積分的近似值。1=0.001302 768h7T(8)=-f(a)2-f(Xk)f(b)2k11=12(0.88249690.77880080.606530660.53526140.472366550.416862070.36787947=0.632943422、（15分）方程x3-x1=0在x=1.5附近有根，把方程寫成三種不同的等價形式（1）x=Vx+1對應(yīng)迭代格式Xn* =<Xn +1 ; (2)X1 ： Xn 1 =X對應(yīng)迭代格式113xn ; (3) x = X3 -1 對應(yīng)迭解

41、：（1）（1.引=0.18<1,故收斂;代格式Xn+=X3-1。判斷迭代格式在X0=1.5的收斂性，選一種收斂格式計算X=1.5附近的根,精確到小數(shù)點(diǎn)后第三位。1-(x)(X1)3"（”1,故收斂;3(3)叫x)=3x2,"(1.劍:3".521,故發(fā)散。選擇(1):x0=1.5 x1 =1.3572 x21.3309 X3 =1.3259 x4 =1.3249x5=1.32476x6=1.3247223、(8分)已知方程組AX=f，其中431-24A=34-1f=30.-14J,24(1) 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seide迭代法的分量形式。(

42、2) 求出Jacobi迭代矩陣的譜半徑。x尸)=1(243x2。)4N)=；(30-3x+x3k)x3k+)=1(-24+x2k)4解：Jacobi迭代法：、k=0,123,x尸)(243x2k)4jx2k*)=：(30-3x1(k*)+x3k)xk，(_24+x2k/)4Gauss-Seidel迭代法：k=Q123103%01JP(Bj )=瓦(或*) = 0.790569Bj=D、(L+U)=340%.0%0一25、數(shù)值積分公式形如10xf(x)dx-S(x)=Af(0)+Bf(1)+Cf'(0)+Df'試確定參數(shù)a,b,c,D使公式代數(shù)精度盡1量高；(2)設(shè)f(X)三C4

43、0，1,推導(dǎo)余項公式R(x)=10xf(x)dx-S(x),并估計誤差。371123A=，B=一，B=一，D=一一解：將f(x)=1,X,X,x分布代入公式得：20203020:H3(x)=f(xi)-構(gòu)造Hermite插值多項式H3(x)滿足此(為)=f(xi)i=0,1其中x0=0,x1=11f()22.xH3(x)dx=S(x)f(x)-H3(x)=x(x-1)則有：0,4!R(x) = 0xf(x) S(x)dx = 0f (4)()4!32 ,x (x -1) dx產(chǎn)()4!132° x (x -1) dx =f(4)()f(4)()4! 60144027、(10分)已知數(shù)

44、值積分公式為:h'h'2'.f(x)dxf(0)f(h)-h2f(0)-f(h)02，試確定積分公式中的參數(shù)人，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：f(x)=1顯然精確成立;f(x)=x 時,hxdx=H )2h20 h h21 -12f(x) =/時,f(x) =x3 時,f(x) =x4 時,h 2 h h 22_ h _x dx0 h h 0 -2h = -2h =03224h 3 , h h3,1,22,x dx0 h h 0 - 3h 04212.h 4 , h h 41 . 23 hx dx0 h h 0 -4h :052126 .所以，其代

45、數(shù)精確度為 3。28、(8分)已知求，'a(a >0)的迭代公式為:1 a,xk 1 = -(xk )x00 k -0,1,22 xk證明：對一切k =12，xk之Ja ,且序列之)是單調(diào)遞減的， 從而迭代過程收斂。xk+ =、乂 + ) - x 2x xk x =i a k = 0,1,2,2 xk 2xk證明：k- k故對一切k =12，xk -<a。xk 11a1* F(1 =)匕(1 1)=1:又xk2xk2所以人士一九，即序列xk是單調(diào)遞減有下界，從而迭代過程收斂。29、( 9分)數(shù)值求積公式330 f (x)dx - - f (1)f(2)"，八是否為

46、插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為f(x)在基點(diǎn)1、2處的插值多項式為x -2x -1p(x)二二 f如f(2)33p（x）dx）ff（2）'°2。其代數(shù)精度為1。30、（6分）寫出求方程4x=c0sx）+1在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。1xn1=xn1-COS*口1(6分)4,n=0,1,2,11xsinx10T44對任意白初值x0U，1,迭代公式都收斂。31、（12分）以100,121,144為插值節(jié)點(diǎn)，用插值法計算，115的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表:1001211441011120.0476190

47、0.0434783-0.0000941136115：10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.72275553-5f'''x=3x2(115 -100 (115-121 (115-144()83!134一100215629：0.0016368I =32、（10分）用復(fù)化Simpson公式計算積分3dx$0 x的近似值，要求誤差限為0.5 M10 。=0.94614588S2SI-S2f04f1備515S2-S1sin(x)_1x2或利用余項:3!468xxx+_+_5!7!9!Mx)2x72!4x94!(小55RJb。f(小1-r0.50-o2880n4)2880x5n4n>212=?33、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組：x14x22x3=24<3xi+X2+5x3=342x1+6x2+x3=273.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.