非線性模態(tài)分析

1、摘 要：接觸分析和模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)分析的重要內(nèi)容之一。利用ANSYS 的接觸分析功能和APDL 語(yǔ)言的用戶接口，將ANSYS 的模型數(shù)據(jù)輸出到用戶分析模塊中完成非線性的接觸模態(tài)分析，然后將計(jì)算結(jié)果讀回，利用ANSYS 的后處理模塊將計(jì)算結(jié)果顯示出來(lái)，實(shí)現(xiàn)了ANSYS 平臺(tái)上的接觸模態(tài)分析，使ANSYS 能夠更好地完成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)級(jí)的性能分析。 關(guān)鍵詞：ANSYS，接觸，模態(tài) 1 前言 機(jī)械系統(tǒng)的特點(diǎn)是由多個(gè)零件通過(guò)各種方式聯(lián)接起來(lái)的一個(gè)系統(tǒng)。機(jī)械系統(tǒng)的性能分析除了零件的性能分析以外，零件之間的聯(lián)接特性的分析也是一個(gè)重要方面。零件之間的聯(lián)接性能分析，本質(zhì)是一個(gè)接觸問(wèn)題的分析，是機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性分析的一種

2、典型類(lèi)型。 線性系統(tǒng)的模態(tài)分析技術(shù)是了解線性結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的一個(gè)重要手段，已經(jīng)廣泛應(yīng)用在結(jié)構(gòu)動(dòng)力修改、優(yōu)化設(shè)計(jì)、故障診斷、狀態(tài)檢測(cè)等諸多領(lǐng)域。近年來(lái)，以非線性動(dòng)力學(xué)理論為基礎(chǔ)的非線性模態(tài)分析逐漸成為非線性振動(dòng)研究中的熱點(diǎn)之一。其原因是機(jī)械工程中存在著大量的非線性問(wèn)題，傳統(tǒng)的線性模態(tài)分析技術(shù)無(wú)法得到準(zhǔn)確的結(jié)果。解決機(jī)械系統(tǒng)中的非線性問(wèn)題，首先要面對(duì)的就是如何處理結(jié)構(gòu)間的非線性的接觸問(wèn)題。 非線性模態(tài)（NNMs）理論是線性模態(tài)理論的自然發(fā)展，最初是由美國(guó)加州大學(xué)伯克利分校的Rosenberg1 等人引入的，主要研究離散、無(wú)阻尼非線性系統(tǒng)的自由振動(dòng)。1991年，Shaw 和 Pierre2 引用動(dòng)力系

3、統(tǒng)理論中不變流形（invariant manifold）的概念來(lái)定義非線性模態(tài)，將非線性模態(tài)定義為系統(tǒng)相空間中二維不變流形上的運(yùn)動(dòng)。這一開(kāi)創(chuàng)性的工作，將該領(lǐng)域的研究帶入了一個(gè)新的發(fā)展階段。Shaw 和 Pierre 定義的非線性模態(tài)既可用于保守系統(tǒng)，也可用于非保守系統(tǒng)。在文獻(xiàn) 3 中他們指出，當(dāng)系統(tǒng)存在內(nèi)共振關(guān)系時(shí)，應(yīng)將不變流形的維數(shù)提高到四維。1994 年，Nayfeh 針對(duì)內(nèi)共振非線性系統(tǒng)提出了復(fù)不變流形方法4。陳予恕、吳志強(qiáng)5,6認(rèn)為非線性模態(tài)為系統(tǒng)相空間中偶數(shù)維不變流形上的運(yùn)動(dòng)。他們將求解非線性動(dòng)力系統(tǒng)的規(guī)范型（Normal Form）方法直接用于非線性模態(tài)的構(gòu)造，得到的模態(tài)上的動(dòng)力學(xué)

4、方程（即模態(tài)振子）具有Normal Form 形式。 由于系統(tǒng)非線性因素的控制難度較大，利用實(shí)驗(yàn)手段研究非線性模態(tài)的文獻(xiàn)并不多見(jiàn)。目前采用的方法中，大多是尋求非線性模態(tài)的近似解析解，因此離散系統(tǒng)的自由度一般不超過(guò) 3 個(gè)，否則，人工計(jì)算的難度過(guò)大。而對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)而言，離散化后得到的模型往往具有很高的自由度。所以隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷發(fā)展，借助于計(jì)算機(jī)的數(shù)值分析方法使分析高維系統(tǒng)成為可能，利用數(shù)值分析方法研究非線性模態(tài)越來(lái)越受到關(guān)注。文獻(xiàn) 7 介紹了一個(gè)基于不變流形方法計(jì)算非線性模態(tài)的計(jì)算機(jī)程序，其研究對(duì)象是利用有限元技術(shù)對(duì)一個(gè)平面結(jié)構(gòu)離散化后得到的有限自由度系統(tǒng)，這意味著可以采用同樣的方法處理更

5、復(fù)雜的三維系統(tǒng)。文獻(xiàn) 8 基于多尺度方法借助計(jì)算機(jī)數(shù)值分析，研究了一個(gè)懸臂梁的有限元模型的非線性模態(tài)。9 2 非線性模態(tài)的分析流程 ANSYS 軟件具有較好的接觸建模、分析能力，線性模態(tài)的分析能力以及完善的基于APDL 語(yǔ)言的用戶接口。我們?cè)诙嗄杲佑|分析和非線性模態(tài)分析研究的基礎(chǔ)上，開(kāi)發(fā)了一個(gè)基于ANSYS 平臺(tái)的非線性模態(tài)分析求解器NLMA，可以用于完成含有接觸問(wèn)題的機(jī)械系統(tǒng)的模態(tài)分析。該求解器用ANSYS 的前處理器建立分析模型，計(jì)算結(jié)果導(dǎo)入ANSYS 的后處理中顯示出來(lái)。利用NLMA 進(jìn)行非線性模態(tài)分析的流程。在ANSYS 的前處理器中建立的分析模型要首先提交給ANSYS 的靜態(tài)分析求解

6、器進(jìn)行預(yù)分析，試算，考核模型的完整性，確保分析模型的正確。預(yù)分析通過(guò)后，將建立的模型數(shù)據(jù)輸出到中間文件中，NLMA 從中間文件中讀入模型數(shù)據(jù)，進(jìn)行非線性模態(tài)的計(jì)算。計(jì)算結(jié)果輸出到另外一個(gè)中間文件中，通過(guò)這個(gè)中間文件，計(jì)算結(jié)果可以導(dǎo)入到ANSYS 的后處理器中或者其它的通用數(shù)據(jù)處理軟件中，如Tecplot，Excel 等等。實(shí)際使用中，ANSYS 通常用來(lái)做機(jī)械結(jié)構(gòu)的振型顯示，數(shù)據(jù)曲線則用Tecplot，Excel 顯示。分析過(guò)程中的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換工作主要由APDL語(yǔ)言編寫(xiě)的主控程序?qū)崿F(xiàn)，用C+編寫(xiě)的NLMA 作為一個(gè)外部模塊由主控程序調(diào)用，計(jì)算過(guò)程在后臺(tái)完成，整個(gè)分析工作可以不脫離ANSYS 平臺(tái)。

7、 3 應(yīng)用實(shí)例 3.1 懸臂梁的碰撞模態(tài)分析 為了考核NLMA 的非線性模態(tài)分析效果，建立了三個(gè)模型進(jìn)行模態(tài)分析，然后對(duì)結(jié)果進(jìn)行比較：用子空間迭代法求解懸臂梁的模態(tài)，用NLMA 求解懸臂梁的模態(tài)，用NLMA求解帶有接觸的懸臂梁的模態(tài)。 圖2 是在ANSYS 中建立的平面懸臂梁模型，左端固結(jié)，結(jié)點(diǎn)11 和12 之間加點(diǎn)點(diǎn)接觸單元。結(jié)點(diǎn)12 固結(jié)，結(jié)點(diǎn)11 向上運(yùn)動(dòng)時(shí)不受限制，向下運(yùn)動(dòng)會(huì)跟結(jié)點(diǎn)12 碰撞。通過(guò)設(shè)定接觸參數(shù)，初始狀態(tài)下兩個(gè)結(jié)點(diǎn)剛好接觸。求結(jié)構(gòu)線性模態(tài)時(shí)，刪除12 結(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的接觸單元。 圖2 懸臂梁的模型圖3 是ANSYS 的子空間迭代法計(jì)算的振型和固有頻率。圖4 是NLMA 計(jì)算的

8、振型和頻率，模型中不包括接觸單元。圖5 是模型中包含接觸單元時(shí)NLMA 計(jì)算的振型和頻率。三個(gè)圖中，橫軸反映圖2 中各結(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱軸表示歸一化后的結(jié)點(diǎn)模態(tài)幅值。 比較圖3 和圖4，振型和固有頻率基本相同，最大相對(duì)誤差僅為2.67%，出現(xiàn)在第一階頻率上，說(shuō)明NLMA 能夠較好地進(jìn)行線性系統(tǒng)的模態(tài)分析。圖5 是模型中包含接觸單元時(shí)利用NLMA 進(jìn)行的非線性模態(tài)分析。振型與圖3 和圖4 的基本相同，但是第一階頻率上升了94.7%，其它頻率則與線性模型基本相同。圖6 和圖7 是針對(duì)非線性模型做的進(jìn)一步分析。該分析仍然利用圖2 所示的模型，在梁中部施加一個(gè)沖擊載荷，利用ANSYS 計(jì)算梁的沖擊響應(yīng)譜

9、。圖6 是包含接觸單元時(shí)懸臂梁右端的沖擊響應(yīng)譜，圖7 是不包含接觸單元時(shí)的沖擊響應(yīng)譜。比較這兩個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，圖6 中的第一個(gè)共振峰的頻率確實(shí)提高了，這與NLMA 的計(jì)算結(jié)果一致，而且非線性模型的響應(yīng)譜中，高頻部分的共振峰值有升高的趨勢(shì)，線性模型中幅值很低的一些高頻成份也被激發(fā)起來(lái)。 3.2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的接觸模態(tài)分析 圖8，9，10 是利用NLMA 在ANSYS 平臺(tái)上完成的一臺(tái)并聯(lián)機(jī)床的非線性模態(tài)分析結(jié)果。模型中考慮了主要零件之間的接觸特性，尤其是三個(gè)支鏈上各轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)動(dòng)特性。 4 結(jié)論 接觸問(wèn)題的模態(tài)分析是機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能分析的一個(gè)重要內(nèi)容，NLMA 與ANSYS 相結(jié)合，能夠分析包含接觸的

10、機(jī)械系統(tǒng)的模態(tài)。事實(shí)上，NLMA 的非線性模態(tài)分析算法本身并不只限于分析接觸問(wèn)題，與ANSYS 的多物理場(chǎng)分析相結(jié)合，可以分析更廣泛的非線性模態(tài)問(wèn)題，例如包含塑性的非線性模態(tài)分析，強(qiáng)非線性，大阻尼以及流固耦合中的結(jié)構(gòu)非線性模態(tài)分析等等。由于目前對(duì)非線性模態(tài)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)并不充分，NLMA 與ANSYS 相結(jié)合的分析技術(shù)也可以作為一個(gè)探索非線性模態(tài)性質(zhì)的有力工具。 參考文獻(xiàn) 1 Rosenberg R. M，Atkinson C. P On the natural modes and their stability in nonlinear two degrees of freedom system

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