六年級奧數(shù) 數(shù)論余數(shù)問題ABC級學(xué)生版

1、余數(shù)問題知識框架一、 帶余除法的定義及性質(zhì)1、 定義：一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,若有a÷b=qr，也就是ab×qr,0rb；我們稱上面的除法算式為一個帶余除法算式。這里：(1)當(dāng)時：我們稱a可以被b整除，q稱為a除以b的商或完全商(2)當(dāng)時：我們稱a不可以被b整除，q稱為a除以b的商或不完全商一個完美的帶余除法講解模型:如圖這是一堆書，共有a本，這個a就可以理解為被除數(shù)，現(xiàn)在要求按照b本一捆打包，那么b就是除數(shù)的角色，經(jīng)過打包后共打包了c捆，那么這個c就是商，最后還剩余d本，這個d就是余數(shù)。這個圖能夠讓學(xué)生清晰的明白帶余除法算式中4個量的關(guān)系。并且可以看出余數(shù)

2、一定要比除數(shù)小。2、 余數(shù)的性質(zhì) 被除數(shù)除數(shù)商余數(shù)；除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商；商（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)； 余數(shù)小于除數(shù)二、 三大余數(shù)定理：1. 余數(shù)的加法定理a與b的和除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之和，或這個和除以c的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23+1639除以5的余數(shù)等于4，即兩個余數(shù)的和3+1.當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之和再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23+1942除以5的余數(shù)等于3+4=7除以5的余數(shù)為22. 余數(shù)的加法定理a與b的差除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)之差。例如：23，16除以5的余數(shù)分別

3、是3和1，所以23167除以5的余數(shù)等于2，兩個余數(shù)差3 12.當(dāng)余數(shù)的差不夠減時時，補上除數(shù)再減。例如：23，14除以5的余數(shù)分別是3和4，23149除以5的余數(shù)等于4，兩個余數(shù)差為35443. 余數(shù)的乘法定理a與b的乘積除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積，或者這個積除以c所得的余數(shù)。例如：23，16除以5的余數(shù)分別是3和1，所以23×16除以5的余數(shù)等于3×13。當(dāng)余數(shù)的和比除數(shù)大時，所求的余數(shù)等于余數(shù)之積再除以c的余數(shù)。例如：23，19除以5的余數(shù)分別是3和4，所以23×19除以5的余數(shù)等于3×4除以5的余數(shù)，即2.乘方：如果a與b除以m

4、的余數(shù)相同，那么與除以m的余數(shù)也相同三、 棄九法原理在公元前9世紀(jì)，有個印度數(shù)學(xué)家名叫花拉子米，寫有一本花拉子米算術(shù)，他們在計算時通常是在一個鋪有沙子的土板上進行，由于害怕以前的計算結(jié)果丟失而經(jīng)常檢驗加法運算是否正確，他們的檢驗方式是這樣進行的：例如：檢驗算式1234除以9的余數(shù)為11898除以9的余數(shù)為818922除以9的余數(shù)為4678967除以9的余數(shù)為7178902除以9的余數(shù)為0這些余數(shù)的和除以9的余數(shù)為2而等式右邊和除以9的余數(shù)為3，那么上面這個算式一定是錯的。上述檢驗方法恰好用到的就是我們前面所講的余數(shù)的加法定理，即如果這個等式是正確的，那么左邊幾個加數(shù)除以9的余數(shù)的和再除以9的余

5、數(shù)一定與等式右邊和除以9的余數(shù)相同。而我們在求一個自然數(shù)除以9所得的余數(shù)時，常常不用去列除法豎式進行計算，只要計算這個自然數(shù)的各個位數(shù)字之和除以9的余數(shù)就可以了，在算的時候往往就是一個9一個9的找并且劃去，所 以這種方法被稱作“棄九法”。所以我們總結(jié)出棄九法原理：任何一個整數(shù)模9同余于它的各數(shù)位上數(shù)字之和。以后我們求一個整數(shù)被9除的余數(shù)，只要先計算這個整數(shù)各數(shù)位上數(shù)字之和，再求這個和被9除的余數(shù)即可。利用十進制的這個特性，不僅可以檢驗幾個數(shù)相加，對于檢驗相乘、相除和乘方的結(jié)果對不對同樣適用注意：棄九法只能知道原題一定是錯的或有可能正確，但不能保證一定正確。例如：檢驗算式9+9=9時，等式兩邊的

6、除以9的余數(shù)都是0，但是顯然算式是錯誤的。但是反過來，如果一個算式一定是正確的，那么它的等式2兩端一定滿足棄九法的規(guī)律。這個思想往往可以幫助我們解決一些較復(fù)雜的算式謎問題。四、 同余定理1、 定義：若兩個整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a、b對于模m同余，用式子表示為：ab ( mod m )，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b，模m。2、 重要性質(zhì)及推論：（1）若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)m得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被m整除例如：與除以的余數(shù)都是，所以能被整除（2）用式子表示為：如果有ab ( mod m )，那么一定有abmk,k是整數(shù)，即m|(ab)3、 余數(shù)判

7、別法當(dāng)一個數(shù)不能被另一個數(shù)整除時，雖然可以用長除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時，計算是很麻煩的建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個較簡單的數(shù)R，使得：N與R對于除數(shù)m同余由于R是一個較簡單的數(shù)，所以可以通過計算R被m除的余數(shù)來求得N被m除的余數(shù)1) 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于N的個位數(shù)被2或5除的余數(shù)；2) 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)；3) 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；4) 整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；5) 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之

8、和的差被11除的余數(shù)；（不夠減的話先適當(dāng)加11的倍數(shù)再減）；6) 整數(shù)N被7，11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7，11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被7，11或13除的余數(shù)重難點理解余數(shù)性質(zhì)時，要與整除性聯(lián)系起來，從被除數(shù)中減掉余數(shù)，那么所得到的差就能夠被除數(shù)整除了在一些題目中因為余數(shù)的存在，不便于我們計算，去掉余數(shù)，回到我們比較熟悉的整除性問題，那么問題就會變得簡單了例題精講【例 1】 除以一個兩位數(shù)，余數(shù)是求出符合條件的所有的兩位數(shù)【鞏固】 一個兩位數(shù)除310，余數(shù)是37，求這樣的兩位數(shù)?！纠?2】 有一個三位數(shù)，其中個位上的數(shù)是百

9、位上的數(shù)的3倍。且這個三位數(shù)除以5余4，除以11余3。這個三位數(shù)是_ 【鞏固】 一個自然數(shù)，除以11時所得到的商和余數(shù)是相等的，除以9時所得到的商是余數(shù)的3倍，這個自然數(shù)是_.【例 3】 甲、乙兩數(shù)的和是，甲數(shù)除以乙數(shù)商余，求甲、乙兩數(shù)【鞏固】 當(dāng)1991和1769除以某個自然數(shù)n，余數(shù)分別為2和1那么，n最小是多少？【例 4】 除以13所得余數(shù)是_.【鞏固】 除以41的余數(shù)是多少？【例 5】 著名的斐波那契數(shù)列是這樣的：1、1、2、3、5、8、13、21這串?dāng)?shù)列當(dāng)中第2008個數(shù)除以3所得的余數(shù)為多少？【鞏固】 有一列數(shù)：1，3，9，25，69，189，517，其中第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是3

10、，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰好是前面兩個數(shù)之和的2倍再加上1，那么這列數(shù)中的第2008個數(shù)除以6，得到的余數(shù)是 【例 6】 將從1開始的到103的連續(xù)奇數(shù)依次寫成一個多位數(shù)：Aa共有_位，數(shù)a除以9的余數(shù)是_?！眷柟獭?將依次寫到第1997個數(shù)字，組成一個1997位數(shù)，那么此數(shù)除以9的余數(shù)是 _【例 7】 有一個整數(shù)，用它去除70，110，160所得到的3個余數(shù)之和是50，那么這個整數(shù)是_【鞏固】 用自然數(shù)n去除63，91，129得到的三個余數(shù)之和為25，那么n=_【例 8】 在圖表的第二行中，恰好填上這十個數(shù)，使得每一豎列上下兩個因數(shù)的乘積除以11所得的余數(shù)都是3【鞏固】 求除以17的余數(shù)【例

11、9】 求的所有自然數(shù)中，有多少個整數(shù)a使與被7除余數(shù)相同？【鞏固】 今天是星期四，天之后將是星期幾？【例 10】 除以7的余數(shù)是多少？【鞏固】 被除所得的余數(shù)是多少？【例 11】 3個三位數(shù)乘積的算式 (其中)， 在校對時，發(fā)現(xiàn)右邊的積的數(shù)字順序出現(xiàn)錯誤，但是知道最后一位6是正確的，問原式中的是多少？【鞏固】 有2個三位數(shù)相乘的積是一個五位數(shù)，積的后四位是1031，第一個數(shù)各個位的數(shù)字之和是10，第二個數(shù)的各個位數(shù)字之和是8，求兩個三位數(shù)的和?！纠?12】 某個兩位數(shù)加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，這個兩位數(shù)是_. 【鞏固】 有一個自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)

12、相同，且商相差33求這個數(shù)是多少？【例 13】 有一個大于1的整數(shù)，除所得的余數(shù)相同，求這個數(shù).【鞏固】 有一個整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個整數(shù)是幾?【例 14】 一個自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是、，求這個自然數(shù)和的值. 【鞏固】 有3個吉利數(shù)888，518，666，用它們分別除以同一個自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為a,a+7,a+10,則這個自然數(shù)是_.【例 15】 一個大于10的自然數(shù)，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么滿足條件的自然數(shù)最小為多少？【鞏固】 一個大于10的數(shù)，除以3余1，除以5余2，除以11余7，問滿足條件的最小自然數(shù)是多少？課堂檢

13、測【隨練1】 除以某個整數(shù)后所得的商恰好是余數(shù)的倍，那么除數(shù)最小可能是 ?！倦S練2】 的余數(shù)是多少？【隨練3】 有一列數(shù)排成一行，其中第一個數(shù)是3，第二個數(shù)是10，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)恰好是前兩個數(shù)的和，那么第1997個數(shù)被3除所得的余數(shù)是多少？【隨練4】 商店里有六箱貨物，分別重15，16，18，19，20，31千克，兩個顧客買走了其中的五箱已知一個顧客買的貨物重量是另一個顧客的2倍，那么商店剩下的一箱貨物重量是_千克【隨練5】 求的最后兩位數(shù)家庭作業(yè)【作業(yè)1】 在大于2009的自然數(shù)中，被57除后，商與余數(shù)相等的數(shù)共有_個.【作業(yè)2】 有三個自然數(shù)，已知除以，得商3余3；除以，得商9余11。則除以，得到的余數(shù)是 ?！咀鳂I(yè)3】 有兩個自然數(shù)相除，商是，余數(shù)是，已知被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)之和為，則被除數(shù)是多少？【作業(yè)4】 已知，問：除以13所得的余數(shù)是多少？【作業(yè)5】 有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠問：第二組有多少人? 【作業(yè)6】 六張卡片上分別標(biāo)上1193、1258、1842、1866、1912、2494六個數(shù)，甲取3張，