判定平行四邊形的五種方法

1、判別平行四邊形的基本方法 如何判別一個(gè)四邊形是平行四邊形呢?下面舉例予以說(shuō)明.一、運(yùn)用“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判別A C 圖2B C 圖2C C 圖2D C 圖2O C 圖2E C 圖2F C 圖2圖1例1 如圖1,在平行四邊形ABCD中,E、F在對(duì)角線AC上,且AE=CF,試說(shuō)明四邊形DEBF是平行四邊形.分析:由于已知條件與對(duì)角線有關(guān)，故考慮運(yùn)用“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判別.為此,需連接BD.解：連接BD交AC于點(diǎn)O. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,所以AO=CO,BO=DO. 又AE=CF, 所以AO-AE=CO-CF,即EO=FO. 所以四邊形

2、DEBF是平行四邊形.二、運(yùn)用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”判別圖2ABCDEF例2 如圖2，是由九根完全一樣的小木棒搭成的圖形，請(qǐng)你指出圖中所有的平行四邊形，并說(shuō)明理由.分析:設(shè)每根木棒的長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則圖中各四邊形的邊長(zhǎng)便可求得，故應(yīng)考慮運(yùn)用“兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判別.解：設(shè)每根木棒的長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，則AF=BC=1,AB=FC=1,所以四邊形ABCF是平行四邊形.同樣可知四邊形FCDE、四邊形ACDF都是平行四四邊形.A圖3CDEFB因?yàn)锳E=DB=2,AB=DE=1,所以四邊形ABDE也是平行四邊形.三、運(yùn)用“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

3、”判別例3 如圖3，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF,DF=BE,DFBE，試說(shuō)明四邊形ABCD是平行四邊形.分析: 題目給出的條件都不能直接判別四邊形ABCD是平行四邊形，但仔細(xì)觀察可知，由已知條件可得ADFCBE，由此就可得到判別平行四邊形所需的“一組對(duì)邊平行且相等” 的條件.解：因?yàn)镈FBE，所以AFD=CEB.因?yàn)锳E=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以ADFCBE，所以AD=BC，DAF=BCE，所以ADBC.所以四邊形ABCD是平行四邊形.四、運(yùn)用“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”判別ABCDEF圖4132例4 如圖4，在

4、平行四邊形ABCD中，DAB、BCD的平分線分別交BC、AD邊于點(diǎn)E、F，則四邊形AECF是平行四邊形嗎？為什么？分析：由平行四邊形的性質(zhì)易得AFEC，又題目中給出的是有關(guān)角的條件，借助角的條件可得到平行線，故本題應(yīng)考慮運(yùn)用“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形”進(jìn)行判別.解：四邊形AECF是平行四邊形.理由：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以ADBC，DAB=BCD，所以AFEC.又因?yàn)?=DAB，2=BCD，所以1=2.因?yàn)锳DBC，所以2=3，所以1=3，所以AECF.所以四邊形AECF是平行四邊形.判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1）證兩組對(duì)邊分別平行；（2）證兩組

5、對(duì)邊分別相等；（3）證一組對(duì)邊平行且相等；（4）證對(duì)角線互相平分；（5）證兩組對(duì)角分別相等。下面以近幾年的中考題為例說(shuō)明如何證明四邊形是平行四邊形。AFBDCE圖1一、 兩組對(duì)邊分別平行如圖1，已知ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使EF=AE，連結(jié)AF、BE和CF(1)請(qǐng)?jiān)趫D中找出一對(duì)全等三角形，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說(shuō)明理由。解：（1）選證BDEFEC證明：ABC是等邊三角形，BC=AC，ACD=60°CD=CE，BD=AE，EDC是等邊三角形DE=EC，CDE=DEC=60°BDE=FE

6、C=120°又EF=AE，BD=FE，BDEFEC（2）四邊形ABDF是平行四邊形理由：由（1）知，ABC、EDC、AEF都是等邊三角形CDE=ABC=EFA=60°ABDF，BDAF四邊形ABDF是平行四邊形。點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形兩組對(duì)邊分別被第三邊所截，易證截得的同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角相等時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，從而四邊形是平行四邊形。二、 一組對(duì)邊平行且相等例2 已知：如圖2，在正方形ABCD中，G是CD上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到E，使CE=CG，連結(jié)BG并延長(zhǎng)交DE于F(1)求證：BCGDCE； (2)將DCE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE，判斷四

7、邊形EBGD是什么特殊四邊形？并說(shuō)明理由。分析：（2）由于ABCD是正方形，所以有ABDC，又通過(guò)旋轉(zhuǎn)CE=AE已知CE=CG，所以EA=CG，這樣就有BE=GD，可證EBGD是平行四邊形。解：（1）ABCD是正方形，BCD=DCE=90°又CG=CE，BCGDCE（2）DCE繞D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE，CE=AE，CE=CG，CG=AE，四邊形ABCD是正方形BEDG，AB=CDAB-AE=CD-CG，即BE=DG四邊形DEBG是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)四邊形一組對(duì)邊平行時(shí)，再證這組對(duì)邊相等，即可得這個(gè)四邊形是平行四邊形三、 兩組對(duì)邊分別相等例3 如圖3所示，在ABC中，分

8、別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD，等邊ACE，等邊BCF。求證：四邊形DAEF是平行四邊形；分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對(duì)邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解：ABD和FBC都是等邊三角形DBF+FBA=ABC+FBA=60°DBF=ABC又BD=BA，BF=BC ABCDBFAC=DF=AE 同理ABCEFCAB=EF=AD四邊形ADFE是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：題設(shè)中存在較多線段相等關(guān)系時(shí)，可證四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，從而可證四邊形是平行四邊形。四、 對(duì)角線互相平分例4已知：如圖4，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，AEBD于E，

9、BFAC于F，CGBD于G，DHAC于H，求證：四邊形EFGH是平行四邊形。圖4分析：因?yàn)轭}設(shè)條件是從四個(gè)頂點(diǎn)向?qū)蔷€引垂線，這些條件與四邊形EFGH的對(duì)角線有關(guān)，若能證出OE=OG，OF=OH，則問(wèn)題可獲得解決。證明：AEBD，CGBD，AEO=CGO，AOE=COG，OA=OCAOECOG，OE=OG同理BOFDOHOF=OH四邊形EFGH是平行四邊形點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知條件與四邊形兩對(duì)角線有關(guān)時(shí)，可證兩對(duì)角線互相平分，從而證四邊形是平行四邊形。五、 兩組對(duì)角相等例5 將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起 四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由 。(1)如圖2，將RtBCD沿射線B

10、D方向平移到RtB1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說(shuō)出你的結(jié)論和理由： 。分析：因?yàn)轭}設(shè)與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問(wèn)題。解：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：ABC=ABD+DBC=30°+90°=120°，ADC=ADB+CDB=90°+30°=120°又A=60°，C=60°，ABC=ADC，A=C（2）四邊形ABC1D1是平行四邊形，理由如下：將RtBCD沿射線方向平移到RtB1C1D1的位置時(shí)，有RtC1BB1RtADD1C1BB1=AD1D，BC1B1=

11、DAD1有C1BA=ABD+C1BB1=C1D1B1+AD1B=AD1C1，BC1D1=BC1B1+B1C1D1=D1AD+DAB=D1AB所以四邊形ABC1D1是平行四邊形=點(diǎn)評(píng)：（2）也可這樣證明：由（1）知ABCD是平行四邊形，ABCD，將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C1D1的位置時(shí)，始終有ABC1D1，故ABC1D1是平行四邊形。判斷平行四邊形的策略在學(xué)習(xí)了“平行四邊形”這部分內(nèi)容后，對(duì)于平行四邊形的判定問(wèn)題，可從以下幾個(gè)方面去考慮：一、考慮“對(duì)邊”關(guān)系思路1：證明兩組對(duì)邊分別相等例1 如圖1所示，在ABC中，ACB90°，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E

12、，F(xiàn)在DE上，并且AFCE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形. 證明：DE是BC的垂直平分線，ABCDEF（圖1）123DFBC，DB = DC.FDB = ACB = 90°. DFAC .CE = AE =AB.1 = 2 . 又EFAC，AF = CE = AE ，2 =1 =3 =F. ACEEFA. AC = EF .四邊形ACEF是平行四邊形. 思路2：證明兩組對(duì)邊分別平行例 2 已知：如圖2，在ABC中，ABAC，E是AB的中點(diǎn)，D在BC上，延長(zhǎng)ED到F，使ED = DF = EB. 連結(jié)FC.ABCDEF求證：四邊形AEFC是平行四邊形. 證明：ABAC，B =ACB

13、.ED = EB，B =EDB.ACB =EDB. EFAC.E是AB的中點(diǎn)，BD = CD.EDB =FDC，ED = DF，EDBFDC. DEB =F.ABCF.四邊形AEFC是平行四邊形.思路3：證明一組對(duì)邊平行且相等例3 如圖3，已知平行四邊形ABCD中，E、F 分別是AB、CD上的點(diǎn)，AE = CF，M、N分別是DE、BF的中點(diǎn).求證：四邊形ENFM是平行四邊形. 證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AD = BC，A =C .ABCDEFMN3321又AE = CF，ADECBF.1 =2，DE = BF .M、N分別是DE、BF的中點(diǎn)，EM = FN .DCAB，3 =2.1 =

14、3. EM FN .四邊形ENFM是平行四邊形.E14二、考慮“對(duì)角”關(guān)系 ABCD3思路：證明兩組對(duì)角分別相等2例4 如圖4，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F（圖4）F分別是AD、BC的中點(diǎn).求證：（1）ABECDF；（2）四邊形BFDE是平行四邊形. 證明：（1）在正方形ABCD中，AB = CD，AD = BC，A =C =90°，AE =AD，CF =BC，AE = CF. ABECDF.（2）由（1）ABECDF知，1 =2，3 =4. BED =DFB.在正方形ABCD中，ABC =ADC，EBF =EDF. 四邊形BFDE是平行四邊形.三、考慮“對(duì)角線”的關(guān)系 思路：證明兩

15、條對(duì)角線相互平分例5 如圖5，在平行四邊形ABCD中， P1、P2是對(duì)角線BD的三等分點(diǎn).求證：四邊形AP1CP2是平行四邊形. ABCDOP1P2（圖5）證明：連結(jié)AC交BD于O.四邊形ABCD是平行四邊形，OA = OC，OB = OD.BP1 = DP2 ，OP1 = OP2 .四邊形AP1CP2是平行四邊形.平行四邊形的識(shí)別淺析平行四邊形是初中數(shù)學(xué)中的基本圖形，正確識(shí)別平行四邊形，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)矩形、菱形和正方形的基礎(chǔ)。識(shí)別平行四邊形是利用邊、角和對(duì)角線的特點(diǎn)，而且只需要兩個(gè)條件，為了更加清楚哪些條件能或不能識(shí)別平行四邊形，我們把這些條件總結(jié)如下。1利用定義或定理直接識(shí)別平行四邊形1.1

16、兩組對(duì)邊分別平行，如圖1,ABCD,ADBC。1.2兩組對(duì)邊分別相等，如圖1,AB=CD,AC=BC。1.3兩組對(duì)角分別相等，如圖1,ABC=ADC,BAD=BCD。1.4一組對(duì)邊平行且相等，如圖1,ABCD,AB=CD。1.5兩條對(duì)角線互相平分，如圖1,OA=OC,OB=OD。2利用定義和定理間接識(shí)別平行四邊形2.1一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等，如圖1,ABCD,ABC=ADC。證明：ABCD ABC+BCD=180° 又ABC=ADC ADCBCD180° ADBC 四邊形ABCD是平行四邊形(兩組對(duì)邊分別平行)2.2一組對(duì)邊平行且兩條對(duì)角線交點(diǎn)平分一條對(duì)角線，如圖1,

17、ABCD，OA=OC。證明：ABCD BAC=DCA 在AOB和COD中，BAC=DCA，OA=OC，AOB=COD AOBCOD(ASA) AB=CD 四邊形ABCD是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等）2.3兩組鄰角互補(bǔ)，而且兩組鄰角要有一個(gè)公共角，如圖1,DAB+ABC=180°,ABC+BCD=180°。證明：DAB+ABC=180° ADBC 又ABC+BCD=180° ABCD 四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊平行）3不能識(shí)別為平行四邊形3.1兩組不同的鄰角互補(bǔ)，如圖2,A+B=180°, C+D=180°,可以畫出梯形。

18、3.2識(shí)別平行四邊形的條件涉及的邊、角相等關(guān)系都是對(duì)邊對(duì)角，涉及鄰邊鄰角相等的都不能做為平行四邊形識(shí)別的條件。兩組鄰邊相等，如圖3, AB=AD,CB=CD,不一定是平行四邊形。兩對(duì)鄰角相等，如圖4, A=D,B=C,可以畫出等腰梯形。3.3一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等，如圖4,ADBC,AB=CD,也可以畫出等腰梯形。3.4一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等，不一定是平行四邊形。反例作圖方法,如圖5：作ABC,在邊BA上確定點(diǎn)A,在邊BC上確定點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)A、B、C作O1,以點(diǎn)C為圓心，以線段AB長(zhǎng)為半徑作C,以AC為弦作O1的等圓O2,交C于D、E兩點(diǎn)，則四邊形ABCD為平行四邊形，而四邊形ABCE

19、即為符合條件的非平行四邊形，即AB=CE,ABC=AEC。3.5一組對(duì)邊相等，對(duì)角線交點(diǎn)平分一條對(duì)角線，不一定是平行四邊形。反例作圖方法,如圖6：作線段AB,過(guò)線段AB的中點(diǎn)O作直線CD,過(guò)點(diǎn)B作BECD,垂足為E,以點(diǎn)E為圓心，小于線段OE的長(zhǎng)為半徑作E,交CD于F、G兩點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，BF長(zhǎng)為半徑作A,交直線CD于H、I兩點(diǎn)，則四邊形AGBH和四邊形AFBI為平行四邊形，而四邊形AGBI和四邊形AHBF即為符合條件的非平行四邊形，如在四邊形AGBI中，AI=BG,OA=OB。 說(shuō)明一個(gè)四邊形是平行四邊形的思路山東 于秀坤平行四邊形是最基本、最重要的一類特殊四邊形如何說(shuō)明一個(gè)四邊形是平行四

20、邊形呢？要說(shuō)明一個(gè)四邊形是平行四邊形，一般可以根據(jù)題目中所給的條件，分別通過(guò)下列的思路進(jìn)行說(shuō)明一、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形的一組對(duì)邊上時(shí)，考慮采用“兩組對(duì)邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形”或“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”例1 如圖1，在ABC中，AD是角的平分線，DE/AC交AB于點(diǎn)E，EF/BC交AC于點(diǎn)F，試說(shuō)明AE=CF 圖1分析：由AD是角的平分線，可知1=2，由DE/AC，可知2=3，所以1=3，即可得AE=ED，要說(shuō)明AE=CF，可轉(zhuǎn)化為說(shuō)明ED=EC，因此，只需說(shuō)明四邊形EDCF是平行四邊形就可以了解：因?yàn)?=2，2=3，所以1=3，所以AE=ED，又因?yàn)镈E/AC

21、，EF/BC，所以四邊形EDCF是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）所以ED=CF，所以AE=CF二、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形是對(duì)角上時(shí)，考慮“采用兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形”例2 如圖2，AE、CF分別是 ABCD 的內(nèi)角DAB、BCD的平分線，試說(shuō)明四邊形AECF是平行四邊形 圖2解：在 ABCD 中，因?yàn)镈AB=BCD，又因?yàn)?=DAB，2=BCD，所以，1=2，因?yàn)锳B/CD，所以3=1，4=2，所以3=4，所以5=6，所以四邊形AECF是平行四邊形三、當(dāng)已知條件出現(xiàn)在四邊形的對(duì)角線上時(shí)，考慮采用“兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”例3 如圖3，在ABCD

22、中，AC、BD相交于O，EF過(guò)O分別交AD、BC于E、F，GH過(guò)O分別AB、CD交于G、H試說(shuō)明四邊形EGFH是平行四邊形圖3解：在ABCD中，因?yàn)锳B/CD，所以1=2，因?yàn)镺A=OC，3=4，所以AOGCOH，所以O(shè)G=OH，同理OE=OF，所以四邊形EGFH是平行四邊形構(gòu)造平行四邊形解題山東 鄒殿敏平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分許多幾何問(wèn)題可以通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形加以解決一、求線段的長(zhǎng)例如圖1，在正ABC中，P為邊AB上一點(diǎn)，Q為邊AC上一點(diǎn)，且AP=CQ今量得A點(diǎn)與線段PQ的中點(diǎn)M之間的距離是19cm，則P點(diǎn)到C點(diǎn)的距離等于 cmB

23、 D CPAMQ圖1分析：作QD/AB，交BC于點(diǎn)D，連接PD，MD由ABC為正三角形，易知BP=BD，AP=DQ，所以四邊形APDQ為平行四邊形所以AMD是平行四邊形APDQ的對(duì)角線所以AD=2AM=2×19=38（cm）由ABDCBP可得PC=AD所以PC=38cmE B CA D圖2二、證明線段相等問(wèn)題例2 如圖2，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD，延長(zhǎng)CB到E，使EB=AD，連接AE求證：AE=AC分析：連接BD由AD與BE平行且相等，易知四邊形AEBD是平行四邊形，所以BD=AE因?yàn)锳C=BD，所以AE=AC三、證明線段和差問(wèn)題例3 如圖3，ABC中，D，F(xiàn)是AB邊上兩點(diǎn)，且AD=BF，作DE/BC，F(xiàn)G/BC，分別交AC于點(diǎn)E，G求證：DE+FG=BC分析：作GH/AB