建模第三次真題訓(xùn)練195隊(duì)

1、 2016高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜?青島科技大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 年 月日賽區(qū)評閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 2009高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前編號(hào)）：全國評閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 數(shù)碼相機(jī)定位 摘要 本文通過建立相機(jī)線型投影模型實(shí)現(xiàn)了數(shù)碼相機(jī)雙目標(biāo)定中物象間坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，建立針孔線性模型進(jìn)行相機(jī)標(biāo)定，確立了從物平面到像之間之

3、間一一對應(yīng)的關(guān)系。 首先，本文建立了四個(gè)坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系。 針對問題一，依據(jù)光學(xué)的小孔成像原理，考慮到相機(jī)與物平面不在同一個(gè)平面，以及一些畸變因子的干擾，必須要通過空間內(nèi)坐標(biāo)變換在像平面和物平面之間找到一一對應(yīng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這個(gè)轉(zhuǎn)換過程是由世界坐標(biāo)系相機(jī)坐標(biāo)系理想圖像坐標(biāo)實(shí)際圖像坐標(biāo)計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)。建立針孔線性模型，運(yùn)用直接線性變換的方法，對變換過程中的一系列公式求解后，最終總結(jié)出一個(gè)算法計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面的像坐標(biāo)。 針對問題二，實(shí)質(zhì)上是對問題一所建立的模型的求解過程。由于靶標(biāo)上的圓映射到像平面后會(huì)變形，所以首先取利益中確定在像平面內(nèi)根據(jù)變形后圓周上

4、的點(diǎn)找到圓心的方法，然后依據(jù)問題一中所建立的模型，根據(jù)五個(gè)圓的圓心在物平面和像平面的坐標(biāo)位置，利用直接線性轉(zhuǎn)換法結(jié)合最小二乘法計(jì)算旋轉(zhuǎn)正交矩陣R和平移矩陣T，從而確立相機(jī)與物平面的相對位置。針對問題三，實(shí)質(zhì)上是對問題一所建模型進(jìn)行的對精度和穩(wěn)定性模型檢驗(yàn). 為了檢驗(yàn)本模型的穩(wěn)定性，本文采用計(jì)算機(jī)模擬的方法來破壞像的輪廓并進(jìn)行求解，比較兩個(gè)結(jié)果就可以判斷模型穩(wěn)定性的好壞。為了簡便起見，本文只考慮輪廓縮小的情況，不考慮輪廓放大的情況。對于輪廓縮小的情況，隨機(jī)減少輪廓上的點(diǎn)來模擬圖像輪廓的變化。在輪廓上減少點(diǎn)，利用模擬退火算法求解外公切線交點(diǎn)坐標(biāo)。 針對問題四，首先每個(gè)相機(jī)旋轉(zhuǎn)變換矩陣 R 和平移向

5、量 T， 可以得到兩相機(jī)的變換關(guān)系：即相對位置關(guān)系，并理論推導(dǎo)了從兩相機(jī)中像在光心坐標(biāo)系中的參數(shù)得到物在世界坐標(biāo)中的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)雙目定位。 另外在相機(jī)的光心和像屏中心的連線垂直于象平面基礎(chǔ)上， 我們還給出另外一種合理模型，通過矢量的方法求出物相對于光心坐標(biāo)系的精確位置， 從而可以得到兩相機(jī)的相對位置關(guān)鍵詞 小孔成像；相機(jī)標(biāo)定；針孔線性模型；直接線性變換法； 1、 問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物

6、體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確

7、地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 現(xiàn)有一個(gè)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像。要求我們處理一下幾個(gè)問題：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo), 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024×768；（3）

8、設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?，并對方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。2、 模型假設(shè)與約定（1）假設(shè)相機(jī)的焦距是固定的，不存在相機(jī)自動(dòng)調(diào)焦的情況，固定兩相機(jī)像素單位長度相同（2）假設(shè)所給靶標(biāo)上圓的相對位置以及投影后得到的像圖足夠精確；（3）假設(shè)相機(jī)兩個(gè)方向上的焦距很小，像距約等于焦距；（4）假設(shè)靶標(biāo)像的中心恰好在光軸上；（5）假設(shè)兩架相機(jī)的相對位置固定且兩架相機(jī)在空間中的位置相對固定；（6）假設(shè)不考慮光線經(jīng)過透鏡時(shí)的畸變，假設(shè)光線是以直線傳播的方式到達(dá)光學(xué)中心；（7）假設(shè)數(shù)碼相機(jī)中圖像平面與光軸垂直；（8）假設(shè)忽略邊緣圖像顏色不確定帶來的誤差；三、

9、符號(hào)說明及名詞解釋序號(hào)符號(hào)符號(hào)說明4、 問題一 模型建立、求解及方案設(shè)計(jì)4.1問題分析 要求建立確定靶標(biāo)上圓的圓心在像平面的坐標(biāo)的模型。由于存在畸變，所以像平面的圖形并不是規(guī)則的形狀，單純從像平面的圖形出發(fā)顯然不能找到這個(gè)圓心在像平面的坐標(biāo)。題目中給出了靶標(biāo)的尺寸等信息，但是靶標(biāo)像上的點(diǎn)卻很難與靶標(biāo)上的點(diǎn)建立起對應(yīng)關(guān)系。因此我們需要將模型簡化，簡化成一個(gè)小孔成像的模型，建立物平面到像之間之間一一對應(yīng)的關(guān)系。由于靶標(biāo)上的圓映射到像平面后會(huì)變形，所以首先取利益中確定在像平面內(nèi)根據(jù)變形后圓周上的點(diǎn)找到圓心的方法，根據(jù)五個(gè)圓的圓心在物平面和像平面的坐標(biāo)位置，利用直接線性變換法結(jié)合最小二乘法計(jì)算旋轉(zhuǎn)正交

10、矩陣R和平移矩陣T，從而確立相機(jī)與物平面的相對位置。4.2模型建立與求解（一）模型準(zhǔn)備：1：有關(guān)小孔成像原理的介紹：通過查閱有關(guān)資料，我們知道對于小孔成像模型有以下幾個(gè)性質(zhì)（性質(zhì)的證明略）： 圖一 圖二（1） ：直線經(jīng)小孔成像后仍然為直線（見圖一）。（2） ：線段中點(diǎn)經(jīng)小孔成像后所得的點(diǎn)不一定還是像線段的中點(diǎn)（見圖一）。（3） ：若兩直線相交，則兩直線交點(diǎn)的像仍然是兩直線像的交點(diǎn)（見圖二）。（4） ：圓經(jīng)小孔成像為橢圓（見圖三）。（5）：圓的某一條切線的切點(diǎn)的像，仍然是橢圓的切線，切點(diǎn)的像也是橢圓的切點(diǎn)（見圖三）。 圖三2：有關(guān)坐標(biāo)系的定義和介紹（1）世界坐標(biāo)系：世界坐標(biāo)系是用于描述物體空間位

11、置的一個(gè)基準(zhǔn)絕對坐標(biāo)系，表示為。相機(jī)所拍攝的內(nèi)容還取決于相機(jī)在世界坐標(biāo)系中的位姿，這個(gè)位姿參數(shù)就是相機(jī)的外參數(shù)。在本題中為方便求解，設(shè)定世界坐標(biāo)系的原點(diǎn)為正方形靶標(biāo)的中心，其Z軸垂直于靶標(biāo)平面，X軸、Y同正方形相鄰邊分別平行。（2）相機(jī)坐標(biāo)系 相機(jī)坐標(biāo)系是以相機(jī)的光學(xué)中心為原點(diǎn)，以光軸為z軸的坐標(biāo)系，對應(yīng)于題中所定義的笛卡爾坐標(biāo)系，具體表示為：。（3）圖像坐標(biāo)系 成像平面坐標(biāo)系：以透鏡光軸和成像平面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，軸和軸分別平行于相機(jī)坐標(biāo)系的軸和軸，有效焦距就是光學(xué)中心到成像平面的距離。點(diǎn)在理想小孔透視變換模型下的圖像坐標(biāo)為，考慮到透鏡存在畸變，它的實(shí)際成像坐標(biāo)為；在理想模型中，不考慮相機(jī)鏡頭畸

12、變，和重合。（4）像素坐標(biāo)系相機(jī)采集的數(shù)字圖像在計(jì)算機(jī)內(nèi)可以存儲(chǔ)為數(shù)組，數(shù)組中的每一個(gè)元素稱為像素，像素的值即為圖像點(diǎn)的亮度或灰暗度，若為彩色圖像，則圖像的像素亮度將有紅、綠、藍(lán)三種顏色的亮度表示。在圖像上定義直角坐標(biāo)系，每一像素的坐標(biāo)，分別是該像素在數(shù)組中的列數(shù)和行數(shù)。所以，是以像素為單位的圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)。3：關(guān)于模型數(shù)據(jù)的預(yù)處理根據(jù)問題二的要求，我們知道相機(jī)的分辨率為1024×768，為了符合題目的要求，我們通過相關(guān)的修圖軟件修改圖片的大小為1024×768像素，去除其它顏色的干擾，轉(zhuǎn)化成單色圖，即圖像中只有黑白兩種顏色，然后將該圖以1024行、768列的矩陣存入計(jì)算機(jī)

13、，利用matlab中的edge函數(shù)求出各圓的邊緣點(diǎn)，并將邊緣點(diǎn)的位置坐標(biāo)保存保存下來，供求解模型使用（求解程序見附錄二）。邊緣點(diǎn)的圖像見圖四：圖四 邊緣點(diǎn)的分布（2） ：模型的建立在拍攝照片的過程中，外界景物經(jīng)歷了從世界坐標(biāo)到相機(jī)坐標(biāo)再到平面像坐標(biāo)的變換，為了建立模型并求解，首先要了解世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、平面像坐標(biāo)系之間的映射流程及其變換。從上面的敘述中我們已經(jīng)知道世界坐標(biāo)到平面坐標(biāo)的映射流程為：世界坐標(biāo)相機(jī)坐標(biāo)平面像坐標(biāo)。下面說明各個(gè)坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系（圖五）。圖五 各個(gè)坐標(biāo)系之間的關(guān)系1.世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的變換世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)包含平移和旋轉(zhuǎn)兩種變換，用

14、矩陣型時(shí)表示為： （4.1）其中，R為旋轉(zhuǎn)正交矩陣，T為平移矩陣。R決定了相機(jī)相對于世界坐標(biāo)系的方向；T決定了相機(jī)相對于世界坐標(biāo)系的位置。 （4.2）2.相機(jī)坐標(biāo)系和成像平面坐標(biāo)系的針孔透視變化在理想情況下，根據(jù)針孔相機(jī)的幾何結(jié)構(gòu)，用透視投影變換將相機(jī)坐標(biāo)系下的三維坐標(biāo)變換為圖像坐標(biāo)系下的而為坐標(biāo)，有幾何關(guān)系（式4.3）： (4.3)式中，為相機(jī)焦距。3.成像平面坐標(biāo)系到計(jì)算機(jī)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換由相機(jī)獲得的被測物體的圖像，最終有圖像采集卡變成數(shù)字圖像并輸入計(jì)算機(jī)。從相機(jī)圖像坐標(biāo)到計(jì)算機(jī)圖像坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換為： （4.4）式中，為相機(jī)坐標(biāo)實(shí)際成像坐標(biāo)，和分別為水平方向和垂直方向的像素長，為計(jì)算機(jī)圖像

15、的光學(xué)中心坐標(biāo)。在理想情況下，和重合，得到： （4.5）綜合以上的變換過程，相機(jī)的理想變換模型為： （4.6）上式寫成矩陣形式即為： （4.7）（二）相機(jī)標(biāo)定方法直接線性變換方法（DLT）將像點(diǎn)和物點(diǎn)的成像幾何關(guān)系在齊次坐標(biāo)下寫成透視投影矩陣的形式： （4.8）其中，為第i個(gè)點(diǎn)在世界坐標(biāo)系中的其次坐標(biāo)，為第i個(gè)點(diǎn)在圖像坐標(biāo)系中的圖像坐標(biāo)，為投影矩陣R的第i行第j列元素，s為未知尺度因子。將上述矩陣方程展開： （4.9）整理式（4.7）（4.9）得： （4.10）再次整理得： （4.11）將上式寫成矩陣形式： （4.12） 將上式簡寫成那么DLT參數(shù)的最小二乘解為： （4.12）知道不同坐標(biāo)系之

16、間的變換后，我們就能將世界坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，以E的圓心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖六所示：zyx5.2.1%wdx.mbound_zb;dqp=0.3;wdx_zb=zb_bound;total_result=;for cs=1:10 zb_bound=wdx_zb; for i=1:5 for j=length(zb_boundi(:,1):-1:1 ranum=rand(1); if ranum<dqp zb_boundi(j,:)=; end end end qj; total_result=total_result,result;end %qj.mqx

17、;res_l=fsolve(fu,1500 1500 1500 1500);load -ascii c.txt;ca=c;oa=res_l(1)*ca(1,:);ob=res_l(2)*ca(2,:);oc=res_l(3)*ca(3,:);od=res_l(4)*ca(4,:);ab=ob-oa;ac=oc-oa;cd=od-oc;bd=od-ob;a3a=(12/124)*ac+(12/124)*ab;a3b=(42/124)*ac+(12/124)*ab;a3c=(112/124)*ac+(12/124)*ab;a3d=(112/124)*ac+(112/124)*ab;a3e=(12/

18、124)*ac+(112/124)*ab;oA=oa+a3a;oB=oa+a3b;oC=oa+a3c;oD=oa+a3d;oE=oa+a3e;A=xj2wl(oA);B=xj2wl(oB);C=xj2wl(oC);D=xj2wl(oD);E=xj2wl(oE);A;B;C;D;E;result=round(wl2xs(A);round(wl2xs(B);round(wl2xs(C);round(wl2xs(D);round(wl2xs(E)%qx.m%求切線主程序cd 'qx'sa;%best=143 285 539 240 177 685 537 613;zb0=best(2

19、) best(1);best(4) best(3);best(6) best(5);best(8) best(7);zb_x=;for i=1:length(zb0(:,1)zb_x=zb_x;wl2xj(xs2wl(zb0(i,:);endsave c.txt zb_x -asciiclear zb0;%fu.mfunction f=fu(l)load -ascii c.txt;oa=l(1)*c(1,:);ob=l(2)*c(2,:);oc=l(3)*c(3,:);od=l(4)*c(4,:);ab=ob-oa;ac=oc-oa;cd=od-oc;bd=od-ob;f(1)=dot(ab,

20、ac);f(2)=dot(ac,cd);f(3)=dot(cd,bd);f(4)=dot(ab,bd);f(5)=norm(ab)-468.72;f(6)=norm(ac)-468.72;f(7)=norm(cd)-468.72;f(8)=norm(bd)-468.72;return;%sa.m%模擬退火算法r=143,285,539,240,177,685,537,613;%初始解zb_y=zb_bound1;zb_bound2;zb_bound3;zb_bound4;zb_bound5;Tm=5;T=Tm;%初始溫度Tn=1;%最低溫度E=;%能量dE=;%能量差k=0;%迭代次數(shù)l=le

21、ngth(r);L0=3;L1=1;%隨機(jī)擾動(dòng)范圍隨溫度變化，最大和最小范圍best=r;zx=mbFunction(r);while T>=Tnk=k+1;h=0;while h=0hh=0;while hh=0r1=r+randomDisturb(l,Tm,T,Tn,L0,L1);if isMatch(r1,zb_y)hh=1;endend%擾動(dòng)產(chǎn)生一個(gè)新可行解E=mbFunction(r1);dE=E-mbFunction(r);if dE<=0r=r1;h=1;elsep=exp(-dE/T);if p>=rand(1)r=r1;h=1;endh=1;endif mo

22、d(k,10)=0T=0.9*T;T;endif E<zxzx=E;best=r;endendendbestmbFunction(best)clear E;clear T;clear Tn;clear dE;clear h;clear hh;clear k;clear l;clear p;clear r1;clear L0;clearL1;clear Tm;clear r;clear zb_y;clear zx;cd '.' 圖六 對靶標(biāo)建立空間直角坐標(biāo)系對于圖六所示的坐標(biāo)系，我們根據(jù)題目中給的已知條件得到在所建的坐標(biāo)系上，物平面的五個(gè)圓的圓心坐標(biāo)如表一所示：表一 物平面

23、的空間坐標(biāo)ABCDE坐標(biāo)（0,0,100）（0,30,100）（0,100,100）（0,100,0）（0,0,0）在得知物平面上圓心坐標(biāo)的情況下，我們就可以通過方程4.1求出像平面上的圓心坐標(biāo)，但是R和T這兩個(gè)參數(shù)未知，我們可以根據(jù)兩圖中圓心的位置關(guān)系求出R,T的值，從而確定相機(jī)與物平面的關(guān)系。通過圖四可以明顯的看到，像平面上的圓發(fā)生了畸變，說明相機(jī)和物平面不平行，而要確定靶標(biāo)上的圓的圓心在像平面上的坐標(biāo)，只能通過畸變后的圖像利用有關(guān)成像的性質(zhì)尋該圓的圓心。我們利用小孔成像的性質(zhì)3和性質(zhì)4確定了采用最值連線求交點(diǎn)的方法計(jì)算靶標(biāo)在像平面上的圓心，具體的做法如下：為了適應(yīng)matlab的計(jì)算模式，

24、我們以左上角為圓心，橫向?yàn)閤軸，縱向?yàn)閥軸建立坐標(biāo)系（見圖七），在圖中找出x值最大值和最小值點(diǎn)A,C，y值得最大值最小值點(diǎn)B,D，連接AC,BD，它們的交點(diǎn)O即為靶標(biāo)在像平面上的圓心（可以通過幾何方法加以證明，證明略）。圖七 橢圓圓心的確定下面通過解方程的方法確定交點(diǎn)O：設(shè)，解方程4.13可以得到O點(diǎn)的坐標(biāo)。 （4.13）為了避免在圖中搜索最值的時(shí)候出現(xiàn)多個(gè)圓的重合現(xiàn)象，我們采用對每一個(gè)圓的邊緣值單獨(dú)搜索的方法進(jìn)行計(jì)算，最終求出各個(gè)圓的最值點(diǎn)的坐標(biāo)見表二：各個(gè)圓的邊緣點(diǎn)集的坐標(biāo)的計(jì)算見附錄二；表二 各個(gè)圓邊緣點(diǎn)的最值坐標(biāo)圓12345x最大坐標(biāo)（227，315）（233,409）（248,635

25、）（533,280）（531,570）x最小坐標(biāo)（150,320）（158,425）（177,639）（468,279）（471,582）y最大坐標(biāo)（180，362）（184，460）（205,674）（489,321）（496,616）y最小坐標(biāo)（182,284）（197,385）（210,606）（499,248）（499,551）通過求出的邊緣點(diǎn)的最值坐標(biāo)結(jié)合方程4.13,我們能夠求出每個(gè)橢圓的中心坐標(biāo)，也即是在像平面上的圓心坐標(biāo)（見表三）。表三 像平面上的圓心坐標(biāo)圓圓心坐標(biāo)1（181.13，317.98）2（191.30,417.90）3（207.70,637.27）4（494.70,

26、279.41）5（497.82,576.64）現(xiàn)在我們已經(jīng)求出了實(shí)際靶標(biāo)上的圓心在像平面上的坐標(biāo)，下面我們就能計(jì)算R,T參數(shù)，從而確定方程4.1，然后通過靶標(biāo)上的坐標(biāo)計(jì)算出不考慮畸變因子的情況下的理想坐標(biāo)。通過已經(jīng)建立的物平面和像平面坐標(biāo)之間的關(guān)系模型，借助matlab軟件編程求解可以得到在理論上像平面上的圓心坐標(biāo)（計(jì)算的程序見附錄二），像平面的圓心坐標(biāo)的理論值見表二： 五、模型的檢驗(yàn)5.2 穩(wěn)定性檢驗(yàn) 由于種種原因，像的輪廓上的點(diǎn)很多情況下是難以確定的，而這些難以確定的點(diǎn)常常會(huì)影響模型求解的結(jié)果。一個(gè)好的模型不僅要精確，而且在輪廓出現(xiàn)變化時(shí)，模型的結(jié)果不能變化太大，即要求模型的穩(wěn)定性要好。

27、為了檢驗(yàn)本模型的穩(wěn)定性，我們采用計(jì)算機(jī)模擬的方法來破壞像的輪廓并進(jìn)行求解，比較兩個(gè)結(jié)果就可以判斷模型穩(wěn)定性的好壞。為了簡便起見，我們只考慮輪廓縮小的情況，不考慮輪廓放大的情況。對于輪廓縮小的情況，我們可以隨機(jī)減少輪廓上的點(diǎn)來模擬圖像輪廓的變化。在輪廓上減少點(diǎn)，利用模擬退火算法求解外公切線交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，其最優(yōu)解目標(biāo)函數(shù)值只會(huì)比減少錢更小，因此不妨令模擬退火算法的初始點(diǎn)為以上我們模型確定的點(diǎn) 。 令 p 為輪廓上點(diǎn)的保留概率，則輪廓上的點(diǎn)被刪除的概率為 1-p，我們在 3 個(gè)不同的 p 值下利用以上模型計(jì)算圓心的坐標(biāo)。 每個(gè) p 值做了 10 次模擬 （模擬程序見附錄5.2.1 ），模擬的結(jié)果如下：

28、P總偏移距離平均偏移距離單個(gè)點(diǎn)最大偏移距離0.910.0210.850.110.713.4140.26821.414其中每個(gè)點(diǎn)的偏移距離即新的圓心與前面模型求解出的圓心之間的距離； 總偏移距離即 10 在一個(gè) p 下 10 次模擬每個(gè)點(diǎn)偏移距離的綜合；每個(gè) p 下做 10 次模擬，每次模擬有 5 個(gè)坐標(biāo)，因此每個(gè) p 下有 50 個(gè)點(diǎn)，平均偏移距離既為總偏移距離除以 50。表中各數(shù)據(jù)單位為像素。 從以上數(shù)據(jù)可以看出，在輪廓發(fā)生改變后，即使在輪廓損失了近 30% 的信息量時(shí)，圓心的平均偏移距離也只有 0.2682，不到一個(gè)像素，因此該求解圓心的模型具有很好的穩(wěn)定性。 六、問題四 模型建立、求解及

29、方案設(shè)計(jì) 6.1問題分析： 問題要求建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型和方法。用兩部相機(jī)進(jìn)行拍攝定位時(shí)，就會(huì)存在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系，所以我們考慮建立兩個(gè)世界坐標(biāo)系可得到兩相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，就可以得到這兩部相機(jī)的相對位置。每個(gè)相機(jī)旋轉(zhuǎn)變換矩陣 R 和平移向量 T， 可以得到兩相機(jī)的變換關(guān)系：即相對位置關(guān)系，并理論推導(dǎo)了從兩相機(jī)中像在光心坐標(biāo)系中的參數(shù)得到物在世界坐標(biāo)中的參數(shù)，我們考慮得到原來在世界坐標(biāo)系下的物點(diǎn)坐標(biāo)，這樣我們就可以通過雙目定位的方法，從兩相機(jī)中像在光心坐標(biāo)系中的參數(shù)推導(dǎo)出了物在世界坐標(biāo)中的參數(shù)，達(dá)到了定位的目的6.2 模型建立與求解： 用兩部相機(jī)進(jìn)行拍攝定位時(shí)，就會(huì)存

30、在兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系，我們記為、，世界坐標(biāo)系與兩者的關(guān)系分別為和,對任意一點(diǎn)，其在世界坐標(biāo)系與兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為，則由上文可得： 消去得： 令 ,則可得到兩相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系: 對兩相機(jī)分別標(biāo)定，則可得到相應(yīng)的從而可得兩相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即得到這兩部相機(jī)的相對位置。因?yàn)橛? 所以對于世界坐標(biāo)系里一點(diǎn)P在兩個(gè)光心坐標(biāo)系的兩個(gè)像點(diǎn),有: 式 中 ,、 分 別 為 在 兩 個(gè) 光 心 坐 標(biāo) 系 的 奇 次 坐 標(biāo) ，為P在世界坐標(biāo)系里的奇次坐標(biāo)。展開上式可得：方程（a） 表示過點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的直線方程， 方程(b)表示過點(diǎn)在世界坐標(biāo)系下的直線方程，那么(a) 與(b)聯(lián)立就可以得到兩直線

31、的交點(diǎn)， 即得到原來在世界坐標(biāo)系下的物點(diǎn)坐標(biāo)，這樣我們就通過雙目定位的方法， 從兩相機(jī)中像在光心坐標(biāo)系中的參數(shù)推導(dǎo)出了物在世界坐標(biāo)中的參數(shù)，達(dá)到了定位的目的如圖： 現(xiàn)在我們再給出另外一種可行的模型：根據(jù)假設(shè)，我們認(rèn)為相機(jī)的光心和像屏中心的連線垂直于象平面。問題一、二中我們已經(jīng)求得了靶標(biāo)上圓在像屏上面的坐標(biāo)， 以攝像機(jī)的光心為原點(diǎn)，建立空間中的直角坐標(biāo)系。平面平行于像平面，Z 軸即為相機(jī)的光軸?？梢詷?biāo)出象平面上所有點(diǎn)的坐標(biāo)，這里設(shè)為,這三個(gè)點(diǎn)對應(yīng)在靶標(biāo)平面上的三個(gè)點(diǎn)，這樣點(diǎn) A 的到原點(diǎn)地向量為由于 A，O，在同一條直線上，那么 坐標(biāo)可以表示為,同理 點(diǎn)的坐標(biāo)為由于 ABC 三個(gè)點(diǎn)之間的相對位置是固定的，也即 AB 、AC 、BC 的長度是已知的，設(shè)為，可以得。 即得到三個(gè)方程，未知數(shù)為，下面就可以解得三個(gè)方程。該方程展開后