導數(shù)定義及公式

1、導數(shù):1.若 f(x)=c,則f (x)2.若 f(x)=xn (n Q?),則 f (x)3.若 f(x)=si門乂,貝卩f ( x)=4.若 f(x)=cosx側 f ( x)=5.若 f(x)=y 則 f ( x)=6.若 f(x)=ex,則f (x)=7. 若 f(x)=8. 若 f(x)=loga x，則 f ( x)=ln x,則f ( x)=9.【f(x) 士 g(x)】10. 【f(x).g(x)=f一 r f(x) 11. 【TT =g(x)f12. 【cf(x)=13. y= f(u),u = g(x)，則 y=f (g (x)；yx，=sin 2x=#導數(shù)：一般地，函數(shù)y

2、=f (x)在x=x0處的瞬時變化率是?x斗二f(X0+?;)-f(x 0),稱函數(shù) y=f ( X)在 x= X0處的導數(shù)，記作:?x -0 Ax ?x to ?x/ /、lim Ay lim f(xo+?x )-f(x o)f (x)或y|x= X。即 f (xo)=怎一。?x 0 Ax ?x 0?x#函數(shù)y=f (x)在點X。處的導數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點P (Xo, f (Xo)處的切線斜率，也就是說曲線 y=f (x)在點 P ( Xo , f ( Xo )處的切線斜率是f ( Xo )。相應地，過p點的切線 方程為：y-f (xo) =f (Xo) (x-Xo)#

3、導函數(shù)：如果函數(shù) y=f (x)在開區(qū)間(a, b)內每一點都可導, 就說函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內可導。若函數(shù)f (x)在開區(qū)間(a, b)內可導，貝S f (乂)在(a, b)內每一點的導數(shù)構成一個新 函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f (x)在開區(qū)間(a, b)內的導函數(shù)(簡 稱導數(shù))記作f (x)或y或y xo(X) =y= A=?x 0 Ax ?x 0?x、函數(shù)的單調性一般地，與其導函數(shù)的正負有如下關系：在某個區(qū)間(a, b)內,如果f (x) 0,那么函數(shù)y=f (x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果 f (x) 0,則f (x)嚴格增函數(shù)；如果f (x) 0是f (x)在此區(qū)間上為增函

4、數(shù)的充分而不必要條件。求函數(shù)單調區(qū)間的步驟：1 .確定y=f (x)的定義域；2 求導數(shù)f (x),求出f ( x) =0的根；3 .函數(shù)的無定義點和f (x)= 0的根將f (x)的定義域分成若干區(qū) 間，列表考查這若干區(qū)間內f (X)的符號，進而確定f (x)的單 調區(qū)間。注意：A .如果一個函數(shù)具有相同單調性的區(qū)間不止一個，哪個 這些單調區(qū)間不能用“U”連接，只能用逗號或“和”字隔開。B.求函數(shù)單調區(qū)間時易忽視函數(shù)的定義域。應優(yōu)先考慮函數(shù) 的定義域。二、函數(shù)的極值：1 .定義，設函數(shù)f (X)在點Xo附近有定義，如果對Xo附近的 所有點，都有f (X) f(Xo)，則稱 f( Xo )是函

5、數(shù)f (x)的一個極小值。極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值 點，極大值和極小值統(tǒng)稱極值。2 判斷f (Xo)是極大值或極小值的方法：第一步，確定函數(shù)的定義域，求導數(shù)f (X)；第二步，求方程f (x)=0的根；第三步，檢查f (x)在f (X)=0的根左右兩側的值的符號；1 如果“左正右負”，那么f (X)在這個根處取到極大值；2 如果“左負右正”，那么f (x)在這個根處取到極小值；3 .如果左右不改變符號，即都為正或都為負，則 f (x)在這 個根處無極值。在此步聚中，最好利用方程f ( x )=0的根，順次將函數(shù)的定 義區(qū)間分成若干個開區(qū)間，并列表，依表格內容得出結論。函數(shù)在極值點的導數(shù)為0,

6、但導數(shù)為0的點不一定是極值點， 如函數(shù)f (x) = ?,點x =0就不是極值點，但？(0)=0;函數(shù)的極大值不一定大于極小值；在給定的一個區(qū)間上，函數(shù)可能有若干個極值點，也可能不存在極值點三函數(shù)的最值:設函數(shù)y=f （x）是定義在區(qū)間a , b上的函數(shù)，y=f （x）在 區(qū)間（a, b）內有導數(shù)，求y=f （x）在a , b上的最大值與最小值， 其步驟為：先求函數(shù)y=f （x）在（a, b）內的極值；再將函數(shù)y=f （x）的 各極值與端點的函數(shù)值f （a）、f（ b ）比較，其中最大的一個是最 大值，最小的一個是最小值。如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)y=f（x）的圖象是一條連續(xù)不 斷的曲線，則函數(shù)

7、在a，b上一定能夠取得最大值和最小值， 并且函數(shù)的最值必在極值點或端點處取得。提示：1 .若函數(shù)y=f （x）在區(qū)間a，b上單調遞增，則f （a）為最小值，f （b） 為最大值；若若函數(shù)y=f （x）在區(qū)間a，b上單調遞減，則f （a）為最大值，f（b）為最小值。2 .圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間（a，b）上不一定有最大（?。┲担绻?圖象連續(xù)不斷的函數(shù)在開區(qū)間（a，b） 上只有一個極值，則該極值就是最值。3 .函數(shù)的極值不一定是最值，求函數(shù)的最值與函數(shù)的極值不同的是，在求 可導函數(shù)的最值時，不需要對各導數(shù)為0的點討論，其是極大值還是極小值， 只需將導數(shù)為0的點的函數(shù)和端點函數(shù)值時行比較。在解決

8、實際生活中優(yōu)化問題注意事項：1必須考慮是否符合實際意義2只 有一個點使f （ x ）=0的情形，如果在點有最大（小）值，不與端點比較也能 知道是最大（小）值。3不僅注意將問題涉及變量關系用函數(shù)關系表示出來， 而且還應確定函數(shù)關系式中自變量的定義區(qū)間。四.定積分及應用定積分定義：若函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a , b上連續(xù)用分點a=x0 x1 ? ? xi-1 xi xn二b,將區(qū)間a，b等分成 n 個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi-1 , Xi上任取一點E (i=1 , 2, 3, ? n),b a作和式 弓1 f ( E) ?x= zn=i -f( E),當n-K時，上述和式無 限接近某個常數(shù)，這個

9、常數(shù)叫 函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a , b上定 積分，記作 / f (x) dx。即 f f (x) dx = n吹 尋 ( E) aan其中f (x)叫做被積函數(shù)，a做積分下限，b做積分上限。定積分f f (x) dx不是一個表達式，是一個常數(shù)。a定積分幾何意義：從幾何上看，若函數(shù)y=f (x)在區(qū)間a , b上連續(xù)且恒有f (x)0,那么定積分f f (x) dx表示直線ax=a,x=b (ab), y=0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面 積；定積分性質：f kf (x) dx=k f f (x) dx(k為常數(shù))aaff(x) 士 g( X ) dx= f f (x) dx 士

10、fg( x) dxf f (x) dx = - f f (x) dx以上是線性性質，下面是對區(qū)間可加性f f (x) dx = f f (x) dx + f f (x) dx (a ? ?aab微積分基本定理-牛頓-萊布尼茲公式C一般地，如果f (x)在區(qū)間a , b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)= f(x),那么 f f (x) dx =F( b)-F( a)。定積分的簡單應用: 一、求平面圖形面積的應用1.定積分與平面圖形面積的關系通過定積分運算可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可以取正也可以取負，也 可為0 .(1) 當對應的曲邊梯形位于X軸上方，定積分值取正值，且 等于曲邊梯形的面積；(2) 當對應的曲邊梯形位于X軸下方，定積分值取負值，且 等于曲邊梯形面積的相反數(shù)；(3) 當位于X軸上方的曲邊梯形的面積等于位于X軸下方的 曲邊梯形的面積時，定積分的值為0,且等于位于X軸 上方的曲邊梯形的面積減去位于X軸下方的曲邊梯形的 面積。2 .利用定積