全國(guó)高數(shù)競(jìng)賽試題2

1、數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目2001年陜西省大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題1、設(shè)，求。解: 由于，故，故。2、設(shè)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，又滿足，求函數(shù)的表達(dá)式。解: 由于，故，將它們代入，得，由于，故上述方程，解之得，其中為常數(shù)。3、設(shè)為常數(shù)，計(jì)算。解:，其中，。4、設(shè)為常數(shù)，而，則時(shí)，且收斂。解: 令，則時(shí)，有，且時(shí)，而時(shí)，故為在上的最小值點(diǎn)，即時(shí)，有，從而只要，則；且時(shí)，有，故，即單調(diào)遞減且有下界，從而該數(shù)列收斂，且滿足，即，解之得。5、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)。解: 收斂半徑，而時(shí)，發(fā)散(一般項(xiàng)不趨于零)， 故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?，令，則，而時(shí)，有，故。6、設(shè)是方由曲線弧為繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面(其法向量 與軸的夾角大于

2、)，求。解: ，即，補(bǔ)，并用表示由所界的區(qū)域，則由公式得。7、設(shè)為曲面的交線(從軸正向看去是逆時(shí)針?lè)较颍瑸槌?shù))，寫(xiě)出的參數(shù)方程，并計(jì)算。解: 的參數(shù)方程為 ，。8、子彈以的速度垂直打進(jìn)厚度為的墻壁，穿透后以的速度飛出，設(shè)墻壁對(duì)子彈的阻力與速度的平方成正比，求子彈在墻壁中的運(yùn)行時(shí)間。解: 設(shè)子彈的質(zhì)量為，在時(shí)刻穿入墻壁的深度為，則其速度為，而其所受到的阻力為，用表示子彈在墻壁中的運(yùn)行時(shí)間，則由第二定律，得 ，令，則，即，兩邊對(duì)積分得 ，即，再積分得，由定解條件知 。9、設(shè)為常數(shù)，在上有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且，則存在，使。證明: 由公式，知存在，使，兩式相減得，即；(1)、若，取，則；(2)、若，不

3、妨設(shè)，則，由連線函數(shù)的介值定理知，存在，使，故。10、設(shè)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿足，用表示的球坐標(biāo)，則(1)、僅與有關(guān)，而與無(wú)關(guān)，即；(2)、若還滿足，則，其中為常數(shù)。證明: 由直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系知，故，。(1)、若，則由上面推導(dǎo)知，即僅與有關(guān)；(2)、若，則由(1)知僅與有關(guān)，故 ，故從而若，則，即，積分得，其中為常數(shù)。11、一個(gè)底半徑為、高為的開(kāi)口圓柱形水桶，在高處水桶底面處有兩個(gè)小孔(兩孔的連線與水桶的對(duì)稱軸相交，的單位都是)，問(wèn)此桶最多能裝多少水?解: 不妨設(shè)水桶所占的空間區(qū)域?yàn)?，捅壁上的小孔位于兩點(diǎn)出，任取，記，則過(guò)三點(diǎn)的平面方程為，若將桶傾斜，并注入水，使其中的水平面與重合時(shí)，桶中所裝的水所占的空間區(qū)域?yàn)?，其中?1)、若，則桶中所裝的水之體積為 ；(2)、若，則桶中所裝的水之體積為 ；， 從而桶中所裝的水之體積為，由于，故當(dāng)時(shí)，桶中所裝的水之體積最