二次函數(shù)與圓綜合訓(xùn)練含解析

1、二次函數(shù)與圓綜合提高（壓軸題）1、如圖，在等邊ABC中，AB=3，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DEBC，將ADE沿DE翻折，與梯形BCED重疊的部分記作圖形L（1）求ABC的面積；（2）設(shè)AD=x，圖形L的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）已知圖形L的頂點(diǎn)均在O上，當(dāng)圖形L的面積最大時(shí)，求O的面積解答：解：（1）如圖3，作AHBC于H，AHB=90°ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=3AHB=90°，BH=BC=在RtABC中，由勾股定理，得AH=SABC=；（2）如圖1，當(dāng)0x1.5時(shí)，y=SADE作AGDE于G，AGD=90°，DAG=30

2、76;，DG=x，AG=x，y=x2，a=0，開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，x=1.5時(shí)，y最大=，如圖2，當(dāng)1.5x3時(shí)，作MGDE于G，AD=x，BD=DM=3x，DG=（3x），MF=MN=2x3，MG=（3x），y=，=；（3），如圖4，y=；y=（x24x），y=（x2）2+，a=0，開口向下，x=2時(shí)，y最大=，y最大時(shí)，x=2，DE=2，BD=DM=1作FODE于O，連接MO，MEDO=OE=1，DM=DOMDO=60°，MDO是等邊三角形，DMO=DOM=60°，MO=DO=1MO=OE，MOE=120°，OME=30°，D

3、ME=90°，DE是直徑，SO=×12=2、（2013寧波壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CP與y軸交于點(diǎn)D，連結(jié)BD過(guò)P，D，B三點(diǎn)作Q與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E，延長(zhǎng)DQ交Q于點(diǎn)F，連結(jié)EF，BF （1）求直線AB的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB（不包括A，B兩點(diǎn)）上時(shí)求證：BDE=ADP；設(shè)DE=x，DF=y請(qǐng)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）請(qǐng)你探究：點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在以B，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的直角三角形，滿足兩條直角邊之比為2：1？如果存在，求出此時(shí)點(diǎn)

4、P的坐標(biāo)：如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+4，代入（4，0）得：4k+4=0，解得：k=1，則直線AB的函數(shù)解析式為y=x+4；（2）由已知得：OB=OC，BOD=COD=90°，又OD=OD，BODCOD，BOD=CDO，CDO=ADP，BDE=ADP，連結(jié)PE，ADP是DPE的一個(gè)外角，ADP=DEP+DPE，BDE是ABD的一個(gè)外角，BDE=ABD+OAB，ADP=BDE，DEP=ABD，DPE=OAB，OA=OB=4，AOB=90°，OAB=45°，DPE=45°，DFE=DPE=45°，DF是Q的直徑

5、，DEF=90°，DEF是等腰直角三角形，DF=DE，即y=x；（3）當(dāng)BD：BF=2：1時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FHOB于點(diǎn)H，DBO+OBF=90°，OBF+BFH=90°，DBO=BFH，又DOB=BHF=90°，BODFHB，=2，F(xiàn)H=2，OD=2BH，F(xiàn)HO=EOH=OEF=90°，四邊形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4OD，DE=EF，2+OD=4OD，解得：OD=，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，），直線CD的解析式為y=x+，由得：，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）；當(dāng)=時(shí)，連結(jié)EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP

6、=DAP+DPA，DEP=DPA，DBE=DAP=45°，DEF是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)F作FGOB于點(diǎn)G，同理可得：BODFGB，=，F(xiàn)G=8，OD=BG，F(xiàn)GO=GOE=OEF=90°，四邊形OEFG是矩形，OE=FG=8，EF=OG=4+2OD，DE=EF，8OD=4+2OD，OD=，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，），直線CD的解析式為：y=x，由得：，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，4），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（8，4）3、拋物線y=x²-bx-3b+3過(guò)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（b2，2b25b1）.（1）求這條拋物線的解析式；（2）M過(guò)A

7、、B、C三點(diǎn)，交y軸于另一點(diǎn)D，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）連接AM、DM，將AMD繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩邊MA、MD與x軸、y軸分別交于點(diǎn)E、F，若DMF為等腰三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo).解析：（1）把點(diǎn)（b2，2b25b1）代入解析式，得2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3， 1解得b=2.拋物線的解析式為y=x2+2x3. 2（2）由x2+2x3=0，得x=3或x=1.A（3，0）、B（1，0）、C（0，3）.拋物線的對(duì)稱軸是直線x=1，圓心M在直線x=1上. 3設(shè)M（1，n），作MGx軸于G，MHy軸于H，連接MC、MB.MH=1，BG=2. 4MB=MC，BG2+MG2=MH2+CH2，即4

8、+n2=1+（3+n）2，解得n=1，點(diǎn)M（1，1） 5（3）如圖，由M（1，1），得MG=MH.MA=MD，RtAMGRtDMH，1=2.由旋轉(zhuǎn)可知3=4. AMEDMF.若DMF為等腰三角形，則AME為等腰三角形. 6設(shè)E（x，0），AME為等腰三角形，分三種情況：AE=AM=，則x=3，E（3，0）；M在AB的垂直平分線上，MA=ME=MB，E（1，0） 7點(diǎn)E在AM的垂直平分線上，則AE=ME. AE=x+3，ME2=MG2+EG2=1+（1x）2，（x+3）2=1+（1x）2，解得x=，E（，0）.所求點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），（1，0），（，0） 84、（2013自貢壓軸題）如圖，已

9、知拋物線y=ax2+bx2（a0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D（2，3），tanDBA=（1）求拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C、A，求四邊形BMCA面積的最大值；（3）在（2）中四邊形BMCA面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：解：（1）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作DEx軸于點(diǎn)E，則DE=3，OE=2tanDBA=，BE=6，OB=BEOE=4，B（4，0）點(diǎn)B（4，0）、D（2，3）在

10、拋物線y=ax2+bx2（a0）上，解得，拋物線的解析式為：y=x2+x2（2）拋物線的解析式為：y=x2+x2，令x=0，得y=2，C（0，2），令y=0，得x=4或1，A（1，0）設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n）（m0，n0），如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)M作MFx軸于點(diǎn)F，則MF=n，OF=m，BF=4+mS四邊形BMCA=SBMF+S梯形MFOC+SAOC=BFMF+（MF+OC）OF+OAOC=（4+m）×（n）+（n+2）×（m）+×1×2=2nm+1 點(diǎn)M（m，n）在拋物線y=x2+x2上，n=m2+m2，代入上式得：S四邊形BMCA=m24m+5=（m+2）

11、2+9，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9（3）假設(shè)存在這樣的Q如答圖2所示，設(shè)直線x=2與x軸交于點(diǎn)G，與直線AC交于點(diǎn)F設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（1，0）、C（0，2）代入得：，解得：k=2，b=2，直線AC解析式為：y=2x2，令x=2，得y=6，F(xiàn)（2，6），GF=6在RtAGF中，由勾股定理得：AF=3設(shè)Q（2，n），則在RtAGF中，由勾股定理得：OQ=設(shè)Q與直線AC相切于點(diǎn)E，則QE=OQ=在RtAGF與RtQEF中，AGF=QEF=90°，AFG=QFE，RtAGFRtQEF，即，化簡(jiǎn)得：n23n4=0，解得n=4或n=1存在一個(gè)以Q點(diǎn)為

12、圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，4）或（2，1）5、（2013巴中壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），以AB的中點(diǎn)P為圓心，AB為直徑作P的正半軸交于點(diǎn)C（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)M為（1）中拋物線的頂點(diǎn)，求直線MC對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（3）試說(shuō)明直線MC與P的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半徑是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），設(shè)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=a（x4）（x+1），把C

13、（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)拋物線解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），設(shè)直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直線MC對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式是y=x+2（3）MC與P的位置關(guān)系是相切證明：設(shè)直線MC交x軸于D，當(dāng)y=0時(shí)，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90°，PCDC，PC為半徑，MC與P的位置關(guān)系是相切

14、6、（2013煙臺(tái)壓軸題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，與x軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），以0C為直徑作半圓，圓心為D（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求證：直線BE是D的切線；（3）若直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P，M是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B，C不重合），過(guò)點(diǎn)M作MNBE交x軸與點(diǎn)N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長(zhǎng)為t，PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解答：解：（1）由題意，得A（0，2），B（2，2），

15、E的坐標(biāo)為（，0），則， 解得，該二次函數(shù)的解析式為：y=x2+x+2；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DGBE于點(diǎn)G由題意，得ED=+1=，EC=2+=，BC=2，BE=BEC=DEG，EGD=ECB=90°，EGDECB，=，DG=1D的半徑是1，且DGBE，BE是D的切線；（3）由題意，得E（，0），B（2，2）設(shè)直線BE為y=kx+h（k0）則，解得，直線BE為：y=x+直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P，對(duì)稱軸直線為x=1，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y=，即P（1，）MNBE，MNC=BECC=C=90°，MNCBEC，=，=，則CN=t，DN=t1，SPND=DNPD=SMNC=CNCM=

16、t2S梯形PDCM=（PD+CM）CD=S=SPND+S梯形PDCMSMNC=+t（0t2）拋物線S=+t（0t2）的開口方向向下，S存在最大值當(dāng)t=1時(shí)，S最大=7、（2013婁底）已知：一元二次方程x2+kx+k=0（1）求證：不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)k0，當(dāng)二次函數(shù)y=x2+kx+k的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B間的距離為4時(shí)，求此二次函數(shù)的解析式；（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點(diǎn)為C，過(guò)y軸上一點(diǎn)M（0，m）作y軸的垂線l，當(dāng)m為何值時(shí)，直線l與ABC的外接圓有公共點(diǎn)？（1）證明：=k24××（k）=k22k+1=（k1）20，關(guān)于x的一

17、元二次方程x2+kx+k=0，不論k為何實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）令y=0，則x2+kx+k=0xA+xB=2k，xAxB=2k1，|xAxB|=2|k1|=4，即|k1|=2，解得k=3（不合題意，舍去），或k=1此二次函數(shù)的解析式是y=x2x；（3）由（2）知，拋物線的解析式是y=x2x易求A（1，0），B（3，0），C（1，2），AB=4，AC=2，BC=2顯然AC2+BC2=AB2，得ABC是等腰直角三角形AB為斜邊，外接圓的直徑為AB=4，2m28、（2013遵義壓軸題）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，），且與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于

18、A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊）（1）求拋物線的解析式及A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）中拋物線的對(duì)稱軸l上是否存在一點(diǎn)P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在以AB為直徑的M相切于點(diǎn)E，CE交x軸于點(diǎn)D，求直線CE的解析式解：（1）由題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x4）2（a0）拋物線經(jīng)過(guò)（0，2）a（04）2=2解得：a=y=（x4）2即：y=x2x+2當(dāng)y=0時(shí)，x2x+2=0解得：x=2或x=6A（2，0），B（6，0）；（2）存在，如圖2，由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸l為x=4，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，連接CB交l于點(diǎn)P，則AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小B（6，0），C（0，2）OB=6，OC=2BC=2，AP+CP=BC=2AP+CP的最小值為2；（3）如圖3，連接MECE是M的切線MECE，CEM=90°由題意，得OC=ME=2，ODC=MDE在COD與MED中CODMED（AAS