二倍角與半角的正弦余弦和正切

1、5.5兩倍角與半角的正弦、余弦和正切（2）教案教學(xué)目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根據(jù)所在象限正確選擇公式中的正、負(fù)號； 2、會根據(jù)具體情況靈活運(yùn)用公式。用半角的正切公式時，往往選用；教學(xué)重點：半角公式的應(yīng)用教學(xué)過程：（一）、引入一、（設(shè)置情境）氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出一種觀點：南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯的一場龍卷風(fēng)。這就是理論界聞名的“蝴蝶效應(yīng)”，南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的一只蝴蝶與北美德克薩斯的龍卷風(fēng)看來是毫不相干的兩種事物，卻會有這樣的聯(lián)系，那么“半角與倍角”的三角函數(shù)一定會有非常密切的關(guān)系！到底是什么關(guān)系呢

2、？本節(jié)課我們就通過二倍角公式來研究半角的正弦、余弦和正切。二、（雙基回顧）； ； （二）、新課一、（新課教學(xué)，注意情境設(shè)置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出的表達(dá)式？探索研究證明： 二、概念或定理或公式教學(xué)（推導(dǎo)）在倍角公式中，“倍角”與“半角”是相對的1、在 中，以a代2a，代a 即得：2、在 中，以a代2a，代a 即得： 3、以上結(jié)果相除得： 開方得：特點：1°左式中的角是右式中的角的一半。 2°公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切。 3°根號前均有“”它由角“”所在象限來確定的，如果沒有給定角的范圍，“”應(yīng)保留。注意：公式（3）成立

3、的條件公式（1）（2）（3）叫做半角公式，實際是二倍角公式的推論。三、（概念辨析或變式問題，目的是加強(qiáng)概念、公式的理解或應(yīng)用） 注意：1°左邊是平方形式，只要知道角終邊所在象限，就可以開平方。 2°公式的“本質(zhì)”是用a角的余弦表示角的正弦、余弦、正切 3°上述公式稱之謂半角公式 4°還有一個有用的公式：（課后自己證）四、典型例題（3個，基礎(chǔ)的或中等難度）例1、已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值 解： cos q ¹ 0 (否則 2 = - 5 ) 解得：tan q = 2 原式例2、已知，tana =，tanb =，求2a + b

4、 解： 又tan2a < 0，tanb < 0 ， 2a + b = 例3、已知sina - cosa = ，求和tana的值 解：sina - cosa = 化簡得： 即 五、課堂練習(xí)（2個，基礎(chǔ)的或中等難度）1、已知sin+cos=，那么sin的值為_，cos2的值為_.解析：由sin+cos=，得1+sin=，sin=，cos2=12sin2=12·=. 答案： 2、已知sin（x）cos（x）=，求cos4x的值.解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.六、拓展

5、探究（2個）1、已知為第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.解：由cos+sin=平方得1+2sincos=，即sin=，cos=.此時k+k+.cos+sin=0，sincos=0，cos0，sin0.為第三象限角.2k+2k+，kZ.sincos，即sincos0. sincos=，sin2+cos2=2sincos+12sin2=.2、已知6sin2+sincos2cos2=0，），求sin（2+）的值.解法一：由已知得（3sin+2cos）（2sincos）=03sin+2cos=0或2sincos=0.由已知條件可知cos0，所以，即（，）.于是tan

6、0，tan=.sin（2+）=sin2cos+cos2sin=sincos+（cos2sin2）=+×=+×.將tan=代入上式得sin（2+）=+×=+，即為所求.解法二：由已知條件可知cos0，則，原式可化為6tan2+tan2=0，即（3tan+2）（2tan1）=0.又（，）.tan0，tan=.（三）、小結(jié)證明三角恒等式的基本思路，是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡、左右歸一、變更命題等方法，使等式兩端的“異”化為“同”.2.條件等式的證明，通過認(rèn)真觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)耐緩桨褩l件用上去.（四）、作業(yè)課外作業(yè)

7、：（6+2填空，3+1選擇，3+1解答，其中+后面的題目可以難些用“*”注明）一、填空題1、設(shè)，則.2、已知，則的值為.3、設(shè)a為第四象限的角，若 ，則tan 2a =_.4、若cos=，且（0，），則tan=_.5、已知sin+cos=，那么sin的值為_，cos2的值為_.6、已知A、B為銳角，且滿足，則. 7*、若tanx=，則=_.8*、若8cos（+）cos（）=1，則sin4+cos4=_.二、選擇題1、下列各式中，值為的是 ( ) 、sin15°cos15° 、2cos21 、 、2、已知，則( )、 、 、 、3、已知是第三象限角，且，那么等于（）、4*、.

8、已知f（x）=，當(dāng)（，）時，f（sin2）f（sin2）可化簡為( )、2sin 、2cos 、2sin 、2cos三、解答題1、已知=2，求 （1）的值； （2）的值2、已知sin（x）cos（x）=，求cos4x的值.3、已知0，tan+cot=，求sin（）的值.4*、已知為第二象限角，cos+sin=，求sincos和sin2+cos2的值.四、雙基鋪墊1、兩倍角與半角的正弦、余弦和正切（2）課外作業(yè)答案一、填空題1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 23 ；（簡單過程）原式=238、 ；（簡單過程）由已知得8sin（）cos（）=1，4sin（2）=1.c

9、os2=.sin4+cos4=（sin2+cos2）22sin2cos2=1sin22=1（1cos22）=1（1）=1×=.二、選擇題1、 D ；2、 D ；3、 A 4、 D ；（簡單過程）f（sin2）f（sin2）=sincossin+cos.（，），1sincos0.cossin0，cos+sin0.原式=cossin+cos+sin=2cos三、解答題1、解：（1） tan=2, ;所以=；（2）由(I), tan=, 所以=2、解：由已知得sin（x）cos（x）=，cos2（x）=.sin2x=cos（2x）=2cos2（x）1=.cos4x=12sin22x=1=.3、解：由已知tan+cot=，得sin=.0，cos=.從而sin（）=sin·coscos·sin=××=（43）.4*、解