二分法的matlab運用

1、數(shù)值方法實驗班級： 2011級數(shù)師一班學(xué)生姓名： 雷宗玲學(xué)生學(xué)號： 201102024011指導(dǎo)老師： 李夢 實驗時間: 2014年5月30日中文摘要II1引言12二分法的基本原理1 2.1 概述1 2.2 二分法的matlab基本程序2 2.2.1 實驗步驟2 2.2.2 matlab的原程序33二分法的運用4 3.1 在實際生活中的運用4 3.2 在中學(xué)教學(xué)中的運用43.2.1 利用“二分法”思想巧證不等式43.2.2 利用“二分法”思想巧證一元二次方程根的分布53.2.3 利用“二分法”思想巧求最值6 3.3 在求解方程中的運用6總結(jié)7參考文獻8 摘要：二分法無論在實際生活中，還是在科學(xué)

2、上，都占有十分重要的地位。在實際生活中，通常用來檢查電路、水管等等，這是二分法最簡單、最本質(zhì)的一個應(yīng)用。在中學(xué)教學(xué)中，可以用二分法來巧證不等式、一元二次方程根的分布、求最值等等。在求解n次多項式方程的根時，我們也可以利用二分法討論一般方程式 的實數(shù)根。本文主要概述二分法的基本思想，并從以上幾個方面，對二分法在實際生活或科學(xué)上的應(yīng)用論述，以便在以后的學(xué)習(xí)過程中得以廣泛的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：查電路；證不等式；根的分布；求最值；求解1 引言在實際問題中，我們經(jīng)常會遇到求非線性方程（代數(shù)方程或超越方程）根的問題。對n次多項式方程，由代數(shù)學(xué)基本定理知它有n個根（含復(fù)數(shù)根，重根按重數(shù)計）。而方程f(x)是多項式

3、或超越函數(shù)（又分為代數(shù)方程或超越方程）。對于不高于四次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于四次的代數(shù)方程則無精確的求根公式，至于超越方程就更無法求其精確解了。因此，如何求得滿足一定精度要求的方程的近似根，也就成為了我們迫切需要解決的問題。近年來，隨著數(shù)學(xué)科學(xué)研究的不斷進展，又更新了許多方程求解的方法。我們知道，對于單變量非線性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此產(chǎn)生了二分法?！岸址ā笔歉咧袛?shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，是現(xiàn)代信息技術(shù)與函數(shù)、方程知識的有機整合，是求方程近似解的常用方法。利用“二分法”可以幫助我們輕松、快捷解決一些相關(guān)的問題。在此，我主要利用二分法討論一般方程式 的實數(shù)根。在有實根時，

4、可能有一個或多個甚至無窮多個根。2 二分法的基本原理2.1 概述二分法主要運用了連續(xù)函數(shù)的零點定理。如果設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)，的有根區(qū)間為，。（1）將區(qū)間二分得中點，將分為兩個相等區(qū)間，計算在中點的函數(shù)值。若=0，則就是方程的根；否則，若，由于在左半?yún)^(qū)間內(nèi)不變號，所以方程的有根區(qū)間變?yōu)椤Ｍ?，若，則方程的有根區(qū)間變?yōu)?，將新的有根區(qū)間記為。將二分，重復(fù)上述過程，又得到新的有根區(qū)間，這樣不斷作下去，就得到一系列有根區(qū)間：,且。記為的根，當(dāng)時，有，即。由及夾逼定理得：，當(dāng)時，取作為所求根近似值。2.2 二分法的matlab基本程序2.2.1 實驗步驟（1）判斷函數(shù)是否為定義域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，若它在定義域內(nèi)

5、都是連續(xù) 函數(shù)，并且，故；（2）編寫二分法MATLAB程序代碼：erfen.m； 開始其程序過程如下：輸入f,a,b,yesnoyes停止 no yesnonoa=a b=ca=c b=b停止（3） 建立函數(shù)文件：f.m；（4）在MATLAB命令窗口中輸入函數(shù)，敲回車，輸出結(jié)果。2.2.2 matlab的原程序function c,err,yc=erfen(f,a,b,delta)ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*yb>0,return,endmax1=1+round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=1:max1 c=(

6、a+b)/2; yc=feval(f,c); if yc=0 a=c; b=c; elseif yb*yc>0 b=c; yb=yc; else a=c; ya=yc; end if b-a<delta,break,endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c);3 二分法的運用 3.1 在實際生活中的運用 在我們的實際生活中，經(jīng)常遇到電話線出故障，那么工人師傅該怎樣在很短時間內(nèi)查出故障所在呢？大家一般會想到沿著線路一小段一小段查找，這樣困難很多，又很麻煩。每查一個點要爬一次電線桿子，10km長，大約有200多根電線桿子，因此就可使用二分法。設(shè)

7、電線兩端分別為A、B，他首先從中點C查，用隨身帶的話機向兩端測試時，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC中點D，發(fā)現(xiàn)BD正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來看，這樣每查一次，就可以把待查線路長度縮減為一半，故經(jīng)過7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍縮小到50100m左右，即在一兩根電線桿附近。這樣就省了很多精力了。 3.2 在中學(xué)教學(xué)中的運用 3.2.1 利用“二分法”思想巧證不等式例1. 已知三個正數(shù)a、b、c，滿足，求證。 證明：從所要證的結(jié)果的結(jié)構(gòu)上看，可把、看作一元二次方程的兩個根，同時構(gòu)造一個區(qū)間（，）。設(shè)，則可利用“二分法”思想，將要證目標轉(zhuǎn)化為只需證a在區(qū)間（，）內(nèi)即可。

8、如圖1所示，由于二次函數(shù)的圖象開口方向向上，只需證。因，所以a在區(qū)間內(nèi)，即圖13.2.2 利用“二分法”思想巧證一元二次方程根的分布例2. 已知函數(shù)，求證：（1） 且；（2）方程在（0，1）內(nèi)有兩個實根證明：（1）利用及，很容易證明（略）。（2）一般地，要證方程在（0，1）內(nèi)有兩個實根，只需證明：；對稱軸落在區(qū)間（0，1）內(nèi)；區(qū)間（0，1）端點f(0)，f(1)的符號。而采用“二分法”，其解法簡潔明快，只需證明：區(qū)間（0，1）兩個端點f(0)，f(1)的符號都為正（題目已知條件已給定）在區(qū)間（0，1）內(nèi)尋找一個二分點，使這個二分點所對應(yīng)的函數(shù)值小于0，它保證拋物線與x軸有兩個不同的交點（因a&

9、gt;0拋物線開口方向向上）。如圖2所示，由可知方程在（0，1）內(nèi)必有兩個不同實根。圖2在區(qū)間（0，1）內(nèi)選取二等分點，因，所以結(jié)論得證。若不成立，可看是否為負；若還不成立，再看是否為負?？傊?，在區(qū)間（0，1）內(nèi)存在一個分點，使對應(yīng)函數(shù)值為負即可。注意：證方程在區(qū)間（m，n）內(nèi)有兩個不同的解，只需證，的符號相同，以及在區(qū)間（m，n）找一個二分點t所對應(yīng)函數(shù)值的符號（它與，的符號相反）。要證方程在區(qū)間（m，n）內(nèi)至少有一個解，只需證，中至少有一個的符號與區(qū)間（m，n）內(nèi)的一個二分點t所對應(yīng)函數(shù)值的符號相反。3.2.3 利用“二分法”思想巧求最值例4. 函數(shù)的最小值為（  C&

10、#160; ）。 A. 190   B. 171   C. 90   D. 45解：因表示數(shù)軸上的動點x到點n之間的距離。當(dāng)最小時，x為區(qū)間1，19內(nèi)的任意一個分點；當(dāng)最小時，x為區(qū)間2，18內(nèi)的任意一個分點；當(dāng)最小時，x為區(qū)間3，17內(nèi)的任意一個分點。依次類推，當(dāng)最小時，x為區(qū)間9，11內(nèi)的任意一個分點；當(dāng)最小時，。 利用“二分法”思想，當(dāng)x是區(qū)間1，19，2，18，3，17，9，11共同二等分點，即x=10時，f(x)取得最小值，所以故選C。 3.3 在求解方程中的運用例4.求方程在0,1上的近似解，精確度為0.0005。解：因為，所以在內(nèi)有根，用二分法解之，計算結(jié)果如下：，因為0.77344-0.772952=0.000488<0.0005，所以的一個近似解為0.773196?？偨Y(jié) 通過本學(xué)期對數(shù)值方法的學(xué)習(xí)，讓我明白了二分法、迭代法、切線法、弦截法，消元法、三角分解法、Lagrange插值法、Newton插值法、最小二乘法等方法的相關(guān)原理，同時加深了對他們的理解與應(yīng)用的能力。在運用MATLAB的過程中，不僅幫助我復(fù)習(xí)了上學(xué)期所學(xué)的MATLAB程序結(jié)構(gòu)，還讓我對當(dāng)中的程序結(jié)構(gòu)有了更好的認識，