與焦半徑相關(guān)的圓錐曲線的解題技巧

1、焦半徑、焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形的巧妙應(yīng)用提示：會(huì)推導(dǎo)、會(huì)運(yùn)用，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算（一）焦半徑有兩種計(jì)算方式：根據(jù)離心率、坐標(biāo)；根據(jù)離心率、焦準(zhǔn)距、傾斜角。1）焦半徑 根據(jù)離心率、坐標(biāo)計(jì)算，焦半徑的代數(shù)形式橢圓： （圖1） （圖2）F1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，橢圓的一點(diǎn)A（x，y），A與F1、F2的線段AF1、AF2叫做焦半徑，分別設(shè)為r1、r2，根據(jù)橢圓第二定義有： 左焦半徑 右焦半徑 橢圓的焦半徑：左加右減。長(zhǎng)軸在y軸上可以比照，易得上減下加。左邊下邊都為負(fù)，不足都要加。雙曲線： （圖3）（圖4）雙曲線為雙支，焦半徑可能在一支上，也可能在兩支上。在一支上時(shí)，稱(chēng)之為內(nèi)焦半徑，通常也叫焦半徑。在兩支上叫外焦半

2、徑。以焦點(diǎn)在左支上為例，推導(dǎo)左焦半徑公式。設(shè)內(nèi)焦半徑AF1為r1，根據(jù)雙曲線第二定義有： 同理，右支 雙曲線焦半徑，與橢圓有兩點(diǎn)相反，左減右加，半長(zhǎng)軸取反。實(shí)軸在y軸上，可以比照，易得上加下減。聯(lián)想特征：左邊下邊都為負(fù)，要減一起減?？梢詮膱D形上理解，雙曲線的左半支相當(dāng)于拋物線的右半支。以左焦點(diǎn)為起點(diǎn)的外焦半徑，根據(jù)雙曲線第二定義有： 同理，以右焦點(diǎn)為起點(diǎn)的外焦半徑公式： 雙曲線外焦半徑，與橢圓相同。不作要求，高考中未見(jiàn)。拋物線：拋物線，C(x,y)為拋物線上的一點(diǎn)，焦半徑|CF|=|x|+ 。例1 （2000年高考（理工）22題）已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E分有向線段 所成的

3、比為 ，雙曲線過(guò)C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)。當(dāng) ，求雙曲線的離心率的取值范圍。解析：這是一道高考?jí)狠S題，難度較大。建立坐標(biāo)系，給出A、B坐標(biāo)，由|AB|=2|CD|和對(duì)稱(chēng)性可知C的坐標(biāo)為（ ），h為梯形的高。由定比分點(diǎn)公式可求出E的坐標(biāo)，而E、C都在雙曲線上，代入雙曲線方程。這是常規(guī)處理方式，很費(fèi)事。常規(guī)解法見(jiàn) 。這里用焦半徑概念求解。根據(jù)向量知識(shí)或定比分點(diǎn)公式，先求出E、C的橫坐標(biāo)，再求焦半徑AE、AC，這樣，只用處理 和c的關(guān)系，關(guān)系簡(jiǎn)單純粹。AE= ，AC= ，EC=AC-AE=，將 ， 代入上式，則 即。再由，得到，即 。2）焦半徑 根據(jù)離心率、焦準(zhǔn)距、傾斜角計(jì)算，焦半徑的統(tǒng)一公

4、式長(zhǎng)焦半徑r= ，短焦半徑r=。根據(jù)圖象判斷，如橢圓的左上支，橢圓的右下支，就是長(zhǎng)焦半徑，無(wú)需記憶。同樣，雙曲線、拋物線也是根據(jù)圖象判斷長(zhǎng)短。外焦半徑，只有雙曲線才有，比較復(fù)雜，且高考中，暫未發(fā)現(xiàn)此類(lèi)題目，只簡(jiǎn)單介紹。（圖5） （圖6）內(nèi)外焦半徑推導(dǎo)如下：橢圓的左半邊、雙曲線右支、開(kāi)口向右的拋物線的內(nèi)分焦半徑推導(dǎo)： （*）橢圓的右半邊、雙曲線左支、開(kāi)口向左的拋物線的內(nèi)分焦半徑推導(dǎo)： BF也可根據(jù)AF直接寫(xiě)出， 為線段與正方向的夾角，這時(shí)為+。外分焦半徑，僅雙曲線擁有，這里以從左焦點(diǎn)伸向右支為例(不作要求)：P叫焦準(zhǔn)距，p=（橢圓、雙曲線） 。例2 （2012 江蘇高考19題）如圖，在平面直角坐

5、標(biāo)系xOy中，橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）。已知（1，e）和（e，）都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)A，B是橢圓上位于X軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2、BF1交于點(diǎn)P。（i） 若AF1-BF2= ，求直線AF1的斜率；（ii） 求證PF1+PF2是定值。解析：這道題壓軸題，很難，據(jù)聞得分率很低。（1）代入兩已知點(diǎn)易求得a、b的值；（2）的（i）按通法應(yīng)設(shè)出AF1、BF2方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得出AF1、BF2的長(zhǎng)?？稍O(shè)x=my-1或x=my+1。（ii）一看就知可能要用平面幾何的平行線性質(zhì)。顯然用焦半徑的統(tǒng)一公

6、式或者焦半徑的代數(shù)形式能簡(jiǎn)化運(yùn)算。解：（1）將兩已知點(diǎn)代入橢圓方程有 所以橢圓方程是 。（2）解一：焦半徑的統(tǒng)一形式（i）設(shè)AF1X=，則 ， 又 ，代入上式解得 （舍）所以AF1的斜率= 。解二：焦半徑的代數(shù)形式設(shè)A(x1,y1)、B（x2，y2），AF1X=， 則AF1=a+ex1，BF2=a-ex2。又AF1BF2，所以 。聯(lián)立則得（舍）所以，因?yàn)锳、B在X軸上方，且AF1BF2，所以k0，即k= 。 （ii） ，所以解一：焦半徑的統(tǒng)一形式將代入上式得 ：解二：焦半徑的代數(shù)形式AF1=a+ex1，BF2=a-ex2，由前知道。將一起代入，則AF1·BF2=，AF1+BF2=，所

7、以 解三：向量方法設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0)，AF2的方程，BF1的方程，解得y0=。又 ，所以PF1+PF2= 將y0值代入，則有。注：1、也可以把BF2遷移為F1A1，然后用參數(shù)方程來(lái)解?；蛘哌w移后用通法解決。2、要指明k0或者說(shuō)明k0的理由。3、應(yīng)能根據(jù)題設(shè)條件知道，P點(diǎn)實(shí)際上在另一個(gè)橢圓上。按此求解，可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 。然后設(shè)出A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x，y），求出x1、y1、x2、y2用x、y表示的表達(dá)式，然后代入橢圓方程整理可得到 4、這道題的（ii）可以直接算出，因?yàn)锳F1、BF2已經(jīng)求出，所以AF2、BF1都能求出，進(jìn)而可以求得PF1、

8、PF2的長(zhǎng)度。（二）焦點(diǎn)弦焦點(diǎn)弦長(zhǎng)=兩個(gè)焦半徑的和。1）根據(jù)離心率e和坐標(biāo)，代數(shù)形式特別地，拋物線，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)=|x1|+|x2|+p 。2）根據(jù)離心率、焦準(zhǔn)距和傾斜角 ，統(tǒng)一形式AB=通徑，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸或?qū)嵼S的弦稱(chēng)為通徑。令=90°，則得橢圓、雙曲線的通徑為2ep= ，拋物線的通徑為2p。特別地，拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)= 例3 過(guò)雙曲線 的右焦點(diǎn)作一傾斜角為 的直線l，求l被雙曲線截得的弦長(zhǎng)。解析：這個(gè)弦長(zhǎng)，與一般的弦長(zhǎng)有所不同，那就是過(guò)焦點(diǎn)。當(dāng)然可以把它當(dāng)成普通的弦長(zhǎng)來(lái)處理：直線方程與雙曲線聯(lián)立，檢驗(yàn)后，用韋達(dá)定理的固定套路來(lái)解決。L= 。也可以用直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程，然后

9、|t1-t2|就是所求的線段長(zhǎng)。這里用焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)公式計(jì)算：e= ，由直線l的傾斜角知道，這是一種內(nèi)分弦，焦點(diǎn)弦長(zhǎng)L=。L= 。這種處理，比聯(lián)立方程簡(jiǎn)單多了。也可以不區(qū)分內(nèi)分弦、外分弦，統(tǒng)一用含絕對(duì)值的公式即可。（三）焦點(diǎn)三角形推導(dǎo)如下：橢圓的焦點(diǎn)三角形（上左圖）F1PF2=，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理得 ： 到了這里，對(duì)上式的變形非常重要，即把配成。即解得，所以三角形面積= 雙曲線的焦點(diǎn)三角形（上右圖）F1PF2=，F(xiàn)1F2=2c，由余弦定理得 ： 到了這里，對(duì)上式的變形非常重要，即把配成。即解得，所以三角形面積= 。面積公式中的半角易當(dāng)成整個(gè)角。例4 （2004湖北高考）已知橢圓 的左右焦

10、點(diǎn)分別是F1、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是直角三角形的頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到X軸的距離為( )。A. B. C. D. 或解析：求高，用2倍三角形的面積除以底邊長(zhǎng)即可得到。這里的直角頂點(diǎn)顯然不是確定的，要分類(lèi)討論。若F1、F2是直角頂點(diǎn)，顯然高為半通徑= 。若點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，=90°，面積=9。又面積= ，所以h= 。答案是D。如果不記得面積公式，但知道用余弦定理，并知道配成（PF1+PF2）的平方，也能求出。例5 （2007年高考全國(guó)卷21題）如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F1的直線交橢圓于B,D兩點(diǎn)，過(guò)F2的直線交橢圓于A,C兩點(diǎn)，且ACBD，交點(diǎn)為P。（I）

11、設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，證明： （II） 求四邊形面積的最小值。解析： 壓軸題，（II）難度較大。（I）P在F1F2為直徑的圓上，因此易證結(jié)論。（II）解法一：常規(guī)解法BD不會(huì)平行于x軸和y軸，可設(shè)BD斜率為K，寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式得出BD的表達(dá)式。因?yàn)锳C，BD有交點(diǎn)，且互相垂直，所以直接把k替換成就是AC的表達(dá)式。 解法二：焦點(diǎn)弦方程由已知條件知， 。設(shè)DB傾斜角為，則AC的傾斜角為。 ，所以 DB·AC=用焦半徑的統(tǒng)一形式或代數(shù)形式，都可以避開(kāi)斜率是否存在的討論。練習(xí)：1、 已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P為橢圓上一點(diǎn)，且 ，則|PF1|PF2|的值為( )。A. 1 B. C. D. 2、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，且 ，F(xiàn)1PF2面積為 ，準(zhǔn)線方程為x=，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。注意：演算后會(huì)得到兩個(gè)方程，但有個(gè)方程的F1PF2的角度最大為60°，不合要求舍棄。標(biāo)準(zhǔn)方程： ，（舍棄）。3、（2014湖北）已知F1、F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是他們的一個(gè)公共