斐波那契提出的問題

1、斐波那契提出的問題斐波那契是歐洲中世紀(jì)頗具影響的數(shù)學(xué)家，公元1170年生于意大利的比薩，早年曾就讀于阿爾及爾東部的小港布日，后來又以商人的身份游歷了埃及、希臘、敘利亞等地，掌握了當(dāng)時(shí)較為先進(jìn)的阿拉伯算術(shù)、代數(shù)和古希臘的數(shù)學(xué)成果，經(jīng)過整理研究和發(fā)展之后，把它們介紹到歐洲。公元1202年，斐波那契的傳世之作算法之術(shù)出版。在這部名著中，斐波那契提出了以下饒有趣味的問題：假定一對剛出生的小兔一個(gè)月后就能長成大兔，再過一個(gè)月便能生下一對小兔，并且此后每個(gè)月都生一對小兔。一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡。問一對剛出生的兔子，一年內(nèi)能繁殖成多少對兔子？ 圖 1逐月推算，我們可以得到數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21

2、，34，55，89，144，233。這個(gè)數(shù)列后來便以斐波那契的名字命名。數(shù)列中的每一項(xiàng)，則稱為“斐波那契數(shù)”。第十三位的斐波那契數(shù)，即為一對剛出生的小兔，一年內(nèi)所能繁殖成的兔子的對數(shù)。這個(gè)數(shù)字等于233。從斐波那契數(shù)的構(gòu)造明顯看出：斐被那契數(shù)列從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)的和。假定第n項(xiàng)斐波那契數(shù)為，于是我們有：通過以上關(guān)系式，我們可以一步一個(gè)腳印地算出任意，不過，當(dāng)n很大時(shí)，推算是很費(fèi)事的。我們必須找到更為科學(xué)的計(jì)算方法。 為此，我們在以下一列數(shù) 中去導(dǎo)求滿足關(guān)系式          

3、60;     的解答。解上述q的一元二次方程得：   。 據(jù)此，設(shè)，并結(jié)合，可確定，從而可以求出：以上公式是法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先求得的，通稱比內(nèi)公式。令人驚奇的是，比內(nèi)公式中的是用無理數(shù)的冪表示的，然而它所得的結(jié)果卻是整數(shù)。讀者不信，可以找?guī)讉€(gè)n的值代進(jìn)去試試看！斐波那契數(shù)列有許多奇妙的性質(zhì)，其中有一個(gè)性質(zhì)是這樣的：有興趣的讀者，不難自行證明上述等式。斐波那契數(shù)列的上述性質(zhì)，常被用來構(gòu)造一些極為有趣的智力游戲。例如，美國科學(xué)美國人雜志就曾刊載過一則故事：一位魔術(shù)師拿著一塊邊長為8英尺的正方形地毯，對他的地毯匠朋友說：“請您把這塊地毯分成四小塊，再把它們縫成一塊長13英尺，寬5英尺的長方形地毯。”這位匠師對魔術(shù)師算術(shù)之差深感驚異，因?yàn)樯陶咧g面積相差達(dá)一平方英尺呢！可是魔術(shù)師竟讓匠師用圖2和圖3的辦法達(dá)到了他的目的！這真是不可思議的事！親愛的讀者，你猜得到那神奇的一 平方英尺究竟跑到哪兒去呢？ 斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，也有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔（如圖4），例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的