概率論 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征_第1頁(yè)
概率論 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征_第2頁(yè)
概率論 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征_第3頁(yè)
概率論 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征_第4頁(yè)
概率論 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征_第5頁(yè)
已閱讀5頁(yè),還剩7頁(yè)未讀 繼續(xù)免費(fèi)閱讀

下載本文檔

版權(quán)說(shuō)明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)

文檔簡(jiǎn)介

1、第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望先通過(guò)下面的實(shí)例說(shuō)明數(shù)學(xué)期望的直觀含義某車間共有臺(tái)機(jī)床,這些機(jī)床由于各種原因時(shí)而工作時(shí)而停機(jī),因而在任意時(shí)刻工作著的機(jī)床數(shù)是一隨機(jī)變量。為評(píng)估該車間機(jī)床的使用效率,需要知道車間中同時(shí)工作著的機(jī)床的平均數(shù)作了20次觀察,結(jié)果如下:工作機(jī)床數(shù)01234頻數(shù)01397頻率0/101/203/209/207/20從表中可看出,在20次觀察中,有1次“1臺(tái)工作”, 有3次“2臺(tái)工作”, 有9次“3臺(tái)工作”, 有7次“4臺(tái)工作”, “機(jī)床都不工作”的情況未出現(xiàn)在20次觀察中,工作機(jī)床總數(shù)為。所以,車間中同時(shí)工作機(jī)床的平均數(shù)為式中,0

2、/20、1/20、3/20、9/20、7/20是的5種可能取值的頻率,或概率的近似值??梢钥闯?,的平均數(shù)并不是的5種可能取值的簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。這種簡(jiǎn)單的算術(shù)平均數(shù)不能真實(shí)反映出隨機(jī)變量的平均情況,因?yàn)槿「鱾€(gè)值的可能性即概率是不相等的。這個(gè)“平均數(shù)”應(yīng)是隨機(jī)變量所有可能取的值與相應(yīng)概率的乘積之和,即以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均值。為此,我們引入數(shù)學(xué)期望這一概念。定義1 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為,若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,簡(jiǎn)稱期望或均值,記作,即。 【例1】 【例2】 設(shè),求。解 設(shè)的分布律為01則它的數(shù)學(xué)期望 【例3】 設(shè),求。二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義2 設(shè)連續(xù)型隨

3、機(jī)變量的概率密度為,若反常積分絕對(duì)收斂,則稱反常積分的值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,記作,即【例4】 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布,求?!纠?】 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求。三、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 定義3 二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為。 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為,則 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為,則【例6】 設(shè)的概率密度為求。四、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量且已知其概率分布,則作為的函數(shù)也是一個(gè)隨機(jī)變量。 要計(jì)算的數(shù)學(xué)期望,可以先由的概率分布求出的概率分布,再按期望定義求。但更方便的是利用的分布及與的函數(shù)關(guān)系直接計(jì)算的數(shù)學(xué)期望。定理1 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律

4、為,是實(shí)值連續(xù)函數(shù),且級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。定理2 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,是實(shí)值連續(xù)函數(shù),且反常積分絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。 【例7】 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 【例8】 設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間內(nèi)服從均勻分布,求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 【例9】 設(shè),求。 【例10】 求使商店所獲利潤(rùn)最大的進(jìn)貨量。定理3 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為,是實(shí)值連續(xù)函數(shù),且級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。定理4 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為,是實(shí)值連續(xù)函數(shù),且反常積分絕對(duì)收斂,則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。 【例11】 求隨機(jī)變量函數(shù)

5、的數(shù)學(xué)期望。五、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)下面給出數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)性質(zhì),并假設(shè)所提到的數(shù)學(xué)期望均存在性質(zhì) (c為常數(shù))。性質(zhì)(為常數(shù))。性質(zhì)3設(shè)是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則有。這一性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量的情形,即。性質(zhì)4設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,則有。這一性質(zhì)也可推廣到有限個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情形,即有。運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的這些性質(zhì),可以簡(jiǎn)化一些隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算。 【例12】 設(shè),求。 【例13】 設(shè),求。 【例14】 求停車次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。以上兩例中,將分解為個(gè)隨機(jī)變量之和,然后利用隨機(jī)變量之和的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和的性質(zhì),來(lái)求數(shù)學(xué)期望的這種處理方法,具有一定的普遍意義。 【例15】盛書(shū)p.

6、98.例13。 設(shè)電路中電流與電阻是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,其概率密度分別為, 試求電壓的均值。§2方差一、方差的定義 在許多實(shí)際問(wèn)題中,往往只知道隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是不夠的,還需要知道隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度。 先看下面的例子。在相同的條件下,甲、乙兩人對(duì)長(zhǎng)度為的某零件進(jìn)行測(cè)量,測(cè)量結(jié)果分別用表示,已知的概率分布如下:00.10.80.100.10.20.40.20.1容易算出,即甲、乙兩人測(cè)量的平均值是相同的,這時(shí)僅用數(shù)學(xué)期望比較不出甲、乙兩人測(cè)量技術(shù)的好壞。但從以上列表分布大致可以看到,取值比取值更集中于數(shù)學(xué)期望附近,說(shuō)明甲的測(cè)量技術(shù)比乙好。為了定量表示這種集中程度,需要

7、用一個(gè)數(shù)值來(lái)刻劃隨機(jī)變量取值與其數(shù)學(xué)期望偏差的大小。為此,我們引入方差這一概念。定義 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,若存在,則稱為的方差,記為或,即,還引入與具有相同量綱的量,記為,稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。 顯然方差的大小反映了隨機(jī)變量取值的分散程度:方差越大,則取值越分散;方差越小,則取值越集中。對(duì)離散型隨機(jī)變量。對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量。對(duì)于方差,常用以下公式計(jì)算:?!纠?】 設(shè)隨機(jī)變量表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù),求的期望和方差。解 的分布律為 ,()。由期望的定義有 對(duì)于方差的計(jì)算:方法1直接由方差的定義式, 。方法2應(yīng)用方差的常用公式,因?yàn)?所以 。一般來(lái)說(shuō),用方法2計(jì)算更方便些。【例1設(shè)隨機(jī)變量分布,求。【例

8、2設(shè)隨機(jī)變量分布,求。【例3設(shè)隨機(jī)變量分布,求?!纠?設(shè)隨機(jī)變量分布,求。二、方差的性質(zhì) 性質(zhì) (為常數(shù))。性質(zhì) (為常數(shù)),更一般有, (為常數(shù))。性質(zhì)3 若相互獨(dú)立,則 。一般地,設(shè)是任意兩個(gè)隨機(jī)變量,則有。性質(zhì)4 的充要條件是以概率1取常數(shù),即【例5設(shè)隨機(jī)變量分布,求?!纠?設(shè)隨機(jī)變量分布,求。【例7求活塞能裝入汽缸的概率?!纠O(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差,令,求。三、切比雪夫不等式 定理 設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望,方差,則對(duì)于任意正數(shù),不等式成立。 這不等式稱為切比雪夫不等式,它也可寫(xiě)成如下形式;?!纠烙?jì)夜間同時(shí)使用的燈的盞數(shù)在6800與7200之間的概率。§

9、;3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差 定義1 稱為隨機(jī)變量與的協(xié)方差,記為,即。由定義知,對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量和,有,。協(xié)方差有如下性質(zhì):(1);(2);(3),為任意常數(shù);(4),為任意常數(shù);(5);(6)如果與相互獨(dú)立,則。二、相關(guān)系數(shù) 定義2 設(shè)隨機(jī)變量、的數(shù)學(xué)期望、方差都存在,稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù),是一個(gè)無(wú)量綱量。令 ,稱為的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。易知,。又稱為標(biāo)準(zhǔn)協(xié)方差。相關(guān)系數(shù)有如下性質(zhì):(1);(2)的充要條件為,存在常數(shù),使得。當(dāng)時(shí),稱與不相關(guān);當(dāng)時(shí),稱與完全相關(guān)【例證明二維隨機(jī)變量與不相關(guān),但不是相互獨(dú)立。【例設(shè)服從上的均勻分布,求。§4矩、協(xié)方差矩陣 定義 設(shè)和是隨機(jī)變量

10、,若,存在,稱它為的階原點(diǎn)矩,簡(jiǎn)稱階矩。若,存在,稱它為的階中心矩。若,存在,稱它為和的階混合原點(diǎn)矩。若,存在,稱它為和的階混合中心矩。 二維隨機(jī)變量有四個(gè)二階中心矩 將它們排成矩陣形式稱為二維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣。§5 二維正態(tài)分布定義 設(shè)二維連續(xù)性隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為 ,其中都是常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布,記為可以證明,二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度分別為 和 。進(jìn)而不難證明:分別是的數(shù)學(xué)期望,分別是它們的標(biāo)準(zhǔn)差,是它們的相關(guān)系數(shù)。二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布,且都不依賴于相關(guān)系數(shù)。這表明單由關(guān)于和的邊緣分布,一般不能確定和的聯(lián)合分布。但當(dāng),即和互不相關(guān)時(shí),就有即和相互獨(dú)立。此時(shí),由關(guān)于和的邊緣分布,能唯一確定和的聯(lián)合分布。下面列出二維正態(tài)隨機(jī)變量的四條十分有用的性質(zhì):(1)當(dāng)時(shí),;反之,如果和相互獨(dú)立,且,則。(2)當(dāng)時(shí),對(duì)任意不全為零的常數(shù),有。特別,當(dāng)和相互獨(dú)立,

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說(shuō)明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒(méi)有圖紙預(yù)覽就沒(méi)有圖紙。
  • 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
  • 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

評(píng)論

0/150

提交評(píng)論