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文檔簡介

1、Gram-Schmidt正交化方法 正射影 設歐式空間中向量線性無關,令; (1);.則均非零向量,且兩兩正交.再令 則為規(guī)范正交組.將(1)重新寫成, 其中, 有令則上式左端的實方陣是的格蘭母矩陣，記為：，上式右端中間的對角陣是的Gram矩陣.即有:因此注意：對任意一個向量組，無論它是線性相關，還是線性無關，它總有Gram矩陣（或者事先給出定義）.例1 設歐式空間中向量，則（1） 線性無關;（2）線性相關.證明:只證（2）設線性相關，則存在一個向量，不妨設為,可由其余向量線性表示:給階的行列式的第行乘數加到第行，得法一：由上頁證明推理過程立即得證。 法二：當時，的行向量組線性相關，因此存在不

2、全為零的實數，使.即.故，即有.即有線性相關.注：當線性無關時，且.推論1 設是歐氏空間中任意向量，則() 是半正定矩陣；() 是正定陣線性無關.證明()對任意，主子式總大于或等于零.因此是半正定矩陣.()（）當線性無關時，對任意，主子式總大于零（因為線性無關）.故是正定陣.（）由例1，這是顯然的.推論2 ()設歐氏空間中向量線性無關，則，且上式取等號兩兩正交.()設（歐），則.()設，則，故.當可逆時，上式取等號，有.例2 設是歐氏空間中的向量，且它們線性無關.證明.證明 令，其中.則是線性無關向量組的矩陣，故正定.假如的元素中，絕對值最大者不在主對角線，設，.則，.故.這樣的二階主子式.這與是正定陣相矛盾.因此的元素中，絕對值最大者必是主對角元，結論得證.注：從例2的證明中，可以看出這樣一個結論：任意階（實對稱）正定陣的元素中，絕對值最大者必在主對角線上.設是維歐氏空間的規(guī)范正交基，則1）.2）.3）.4）.設是歐氏空間的有限維子空間，則.，表示法唯一.稱為在上的正射影.當為的規(guī)范正交基時，在上的正射影為.例3 證明，中向量到平面的距離等于.證明 ，在L（）的正射影的長度即為所求：.例4 設是歐氏空間的一個規(guī)范正交組.證明，對于任意，以下不等式成立：.證明：令L，則，.簡

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