一元一次方程知識點及經(jīng)典例題

1、一、知識要點梳理知識點一：一元一次方程及解的概念1、 一元一次方程： 一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。要點詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件： （1） 只含有一個未知數(shù)； （2） 未知數(shù)的次數(shù)是1次； （3） 整式方程2、方程的解： 判斷一個數(shù)是否是某方程的解：將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等知識點二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性質(zhì)）等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如果，那么；(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果，那么；如

2、果，那么要點詮釋：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。即：（其中m0）特別須注意：分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如方程：=1.6，將其化為： =1.6。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟： 解一元一次方程的一般步驟 變形步驟具 體 方 法變 形 根 據(jù)注 意 事 項去分母 方程兩邊都乘以各個分母的最小公倍數(shù)等式性質(zhì)2 1不能漏乘不含分母的項； 2分?jǐn)?shù)線起到括號作用，去掉分母后，如果分子是多項式，則要加括號去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號乘法分配律、去括號法則 1分配律應(yīng)滿足

3、分配到每一項 2注意符號，特別是去掉括號移 項 把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，不含有未知數(shù)的項移到另一邊等式性質(zhì)1 1移項要變號； 2一般把含有未知數(shù)的項移到方程左邊，其余項移到右邊合并同類 項 把方程中的同類項分別合并，化成“”的形式（）合并同類項法則 合并同類項時，把同類項的系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變未知數(shù)的系數(shù)化成“1” 方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得等式性質(zhì)2 分子、分母不能顛倒要點詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進行簡單應(yīng)用: a0時，方程有唯一解； a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解； a=0，b0時，方程無解。牛刀小試?yán)?、解方程（1）y- 例2、由兩個方

4、程的解相同求方程中子母的值已知方程的解與方程的解相同，求m的值.例3 、解方程知識與絕對值知識綜合題型解方程： 二、經(jīng)典例題透析類型一：一元一次方程的相關(guān)概念1、已知下列各式： 2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的個數(shù)是()A、5B、6C、7D、8舉一反三：變式1判斷下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)變式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60是一元一次方程，求a的值。變式3（2011重慶江津）已知3是關(guān)于x的方程2xa=1的解,則a的值是( )

5、A5 B5 C7 D2類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1。如果我們在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程原形和特點，靈活安排解題步驟，并且巧妙地運用學(xué)過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1巧湊整數(shù)解方程： 2、舉一反三：變式解方程：2x52巧去括號解方程： 4、舉一反三：變式解方程：4運用拆項法解方程： 5、5巧去分母解方程： 6、舉一反三：變式（2011山東濱州）依據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號內(nèi)填寫變形依據(jù)。解：原方程可變形為 (_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (

6、_)去括號，得9x+15=4x-2. （_）(_),得9x-4x=-15-2. (_)合并，得5x=-17. (合并同類項)（_）,得x=. （_）6巧組合解方程： 7、思路點撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化去分母，但運算較復(fù)雜，注意到左邊的第一項和右邊的第二項中的分母有公約數(shù)3，左邊的第二項和右邊的第一項的分母有公約數(shù)4，移項局部通分化簡，可簡化解題過程。7巧解含有絕對值的方程： 8、|x2|30思路點撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程，依據(jù)絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個一元一次方程分別解之，即若|x|m，則

7、xm或xm；也可以根據(jù)絕對值的幾何意義進行去括號，如解法二。舉一反三：【變式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.；變式2 5|x|-163|x|-4變式3 8利用整體思想解方程： 9、思路點撥：因為含有的項均在“”中，所以我們可以將作為一個整體，先求出整體的值，進而再求的值。參考答案例1：解：是方程的是，共六個，所以選B總結(jié)升華：根據(jù)定義逐個進行判斷是解題的基本方法，判斷時應(yīng)注意兩點：一是等式；二是含有未知數(shù)，體現(xiàn)了對概念的理解與應(yīng)用能力。舉一反三1.解析：判斷是否為一元一次方程需要對原方程進行化簡后再作判斷。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是2.解析：分兩種情況：（1）只

8、含字母y，則有(a-3)(2a+5)0且a-30 （2）只含字母x，則有a-30且(a-3)(2a+5)0 不可能綜上，a的值為。3.答案：B例2. 解：移項，得。合并同類項，得2x1。系數(shù)化為1，得x。舉一反三解：原方程可變形為2x5整理，得8x18(215x)2x5，去括號，得8x18215x2x5移項，得8x15x2x5182合并同類項，得9x21系數(shù)化為1，得x。例4解：去括號，得去小括號，得去分母，得(3x5)88去括號、移項、合并同類項，得3x21兩邊同除以3，得x7原方程的解為x7舉一反三解：依次移項、去分母、去大括號，得依次移項、去分母、去中括號，得依次移項、去分母、去小括號，

9、得，x48例5解：原方程逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，得移項、合并同類項，得。系數(shù)化為1，得。例6解：原方程化為去分母，得100x(1320x)7去括號、移項、合并同類項，得120x20兩邊同除以120，得x原方程的解為總結(jié)升華：應(yīng)用分?jǐn)?shù)性質(zhì)時要和等式性質(zhì)相區(qū)別?？梢曰癁橥帜傅?，先化為同分母，再去分母較簡便。舉一反三【答案】解：原方程可變形為 (_分式的基本性質(zhì)_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性質(zhì)2_)去括號，得9x+15=4x-2. （去括號法則或乘法分配律_）(_移項_),得9x-4x=-15-2. (等式性質(zhì)1_)合并，得5x=-17. (合并同類項)（_系數(shù)化為1_）,

10、得x=. （等式性質(zhì)2）例7解：移項通分，得化簡，得去分母，得8x1449x99。移項、合并，得x45。例8解法一：移項，得|x2|3 當(dāng)x20時，原方程可化為x23，解得x5 當(dāng)x20時，原方程可化為(x2)3，解得x1。 所以方程|x2|30的解有兩個：x5或x1。解法二：移項，得|x2|3。 因為絕對值等于3的數(shù)有兩個：3和3，所以x23或x23。 分別解這兩個一元一次方程，得解為x5或x1。舉一反三1.【答案】2.解：5|x|-3|x|16-42|x|12|x|6x±63.解：|3x-1|83x-1±83x1±83x9或3x-7x3或例9解：移項通分，得：

11、化簡，得：移項，系數(shù)化1得：總結(jié)升華：解一元一次方程有一般程序化的步驟，我們在解一元一次方程時，既要學(xué)會按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨機應(yīng)變(靈活打亂步驟)解方程。對于一般解題步驟與解題技巧來說，前者是基礎(chǔ)，后者是機智，只有真正掌握了一般步驟，才能熟能生巧。三、課堂練習(xí)一、選擇題1、已知下列方程：（1）x-2=;(2) 0.3x=1;(3) =5x-1;(4) x-4x=3;(5) x=0;(6) x+2y=0.其中一元一次方程的個數(shù)是（ ） A 2 B 3 C 4 D 52、下列四組變形中，正確的是（ ）A 由5x+7=0,得5x= -7 B 由2x-3=0,得2x-3+3=0 C

12、 由=2,得x= D由5x=7,得x=353、一個水池有甲、乙兩個水龍頭，單獨開甲水龍頭2小時可把空池灌滿；單獨開乙水龍頭3小時可把空池灌滿，若同時開放兩個水龍頭，灌滿空池需（ ）A小時 B小時 C2小時 D3小時4、下列方程中，是由方程7x-8=x+3變形而得到的是（ ）A 7x=x+5 B 7x+5=x C 6x=11 D -8+3=-6x 5、下列方程的變形中，是移項的是（ ）A由3=x，得x=3 B由6x=3+5x，得6x=5x+3 C由2x=-1，得x=- D 由2x-3=x+5，得2x-x=5+36、方程6x=3+5x的解為（ ）A x=2 B x=3 C x=-2 D x=-3

13、7、方程4(a-x)-4(x+1)=60的解是x=-1，則a為（ ） A -14 B 20 C 14 D -168、動物園的門票售價：成人50元張，兒童30元張。某日動物園售出門票700張，共得29000元。設(shè)兒童票售出x張，依題意可列出下列哪個一元一次方程（ ）A、30x+50(700-x)=29000 B、50x+30(700-x)=29000 C、30x+50(700+x)=29000 D、 50x+30(700+x)=290009、解方程-=1，去分母正確的是（ ） A 2(X-1)-3(4X-1)=1 B 2X-1-12+X=1 C 2(X-1)-3(4-X)=6 D 2X-2-12

14、-3X=610、如果-2的倒數(shù)是3，那么x的值是（ ）A、 -3 B、 -1 C 、 1 D 、 311、超市同時賣出兩臺電子琴，每臺均賣960元，以成本計算，其中一臺盈利20，另一臺虧本20，則這次出售中商場（ ）A 不賠不賺 B 賺160元 C 賺80元 D 賠80元12、籠中有雞兔共12只，共40條腿，設(shè)雞有X只，根據(jù)題意，可列方程為（ ）A2(12-X)+4X=40 B4(12-X)+2X=40 C 2X+4X=40 D-4(20-X)=X12、已知下列方程：； ；其中一元一次方程的個數(shù)是（ ）A2B3 C4 D513、已知關(guān)于的方程的解是，則的值是（ ）A-5 B-6 C-7 D81

15、4、方程移項后，正確的是 （ ）A B C D 15、方程，去分母得（ ）A B C D 16、甲、乙兩人騎自行車同時從相距65 km的兩地相向而行，2小時相遇，若甲比乙每小時多騎25 km，則乙的時速是（ ）A125 km B15 km C175 km D20 km17、某商店賣出兩件衣服，每件60元，其中一件賺25，另一件賠25，那么這兩件衣服售出后商店是（ ）A不賺不賠B 賺8元 C虧8元 D 賺15元二、填空題： 1、圓的周長為4，半徑為x,列出方程為 。2、已知方程（m-2）x+5=9是關(guān)于x的一元一次方程，則m = .3、已知代數(shù)式x+2y的值是3，則代數(shù)式2x+4y+1的值是 。

16、4、3ab與2ab是同類項，則m = .5、若+（y+1）=0,則x-y= .6、某商品的進價為250元，為了減少庫存，決定每件商品按標(biāo)價打8折銷售，結(jié)果每件商品仍獲利10元，那么原來標(biāo)價為 。7、當(dāng)x= 時，的值是0.8、7.1班發(fā)作業(yè)本，若每人發(fā)4本，則還余12本，若每人發(fā)5本，則還少18本，那么該班有 名學(xué)生。9、使為關(guān)于的一元一次方程的_（寫出一個你喜歡的數(shù)即可）10、當(dāng)_ 時，式子的值是-311、若與在某運算中可以合并，則，12、設(shè)某數(shù)為，根據(jù)下列條件列出方程：（1）某數(shù)的比它的相反數(shù)大5_；（2）某數(shù)的與的差剛好等于這個數(shù)的2倍_13、某次數(shù)學(xué)競賽共出了15道選擇題，選對一題得4分

17、，選錯一題扣2分若某同學(xué)得36分，他選對了_道題（不選算錯）14、某商場對某種商品作調(diào)價，按原價8折出售，此時商品的利潤率為10，此商品的進價是1000元，則商品的原價是_.15、某人將1000元存入銀行，定期兩年，若年利率為2.27，則兩年后利息為_元，若扣除20的利息稅，則實際得到的利息為_元，銀行應(yīng)付給該儲戶本息共_元16、 根據(jù)你們班男、女生人數(shù)編一道應(yīng)用題：_.假設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列出方程_三、解答題：1、解方程（1）6x-3(5x-2)=0 (2) 20-2x=x-1 （3）=x-2 (4) -=2（5） （6） （7） （8） 四、 家庭練習(xí)一、 填空題：1、已知方程（a-2）x|

18、a|-1=1是一元一次方程，則a=_，x=_2、下列說法：、等式是方程； 、x=4是方程5x+20=0的解； 、x=-4和x=6都是方程x-1=5的解其中說法正確的是_ _（填序號）3、已知代數(shù)式與的值互為相反數(shù)，那么的值等于_ 4、如果方程 _5、三個連續(xù)奇數(shù)的和是75，則這三個數(shù)分別是_。6、我校球類聯(lián)賽期間買回排球和足球共16個，花去900元錢，已知排球每個42元，足球每個80元，設(shè)排球買了x個。則可列程為 ，7、小慧在一張日歷的一橫列上圈了連續(xù)的四個數(shù)，它們的和為22，這四個數(shù)為 8、數(shù)學(xué)競賽共有10道題，每答對一道題得5分，不答或答錯一道題倒扣3分，要得到34分必須答對的題數(shù)是 ，9

19、、自來水公司為鼓勵節(jié)約用水，對水費按以下方式收?。河盟怀^10噸，每噸按0.8元收費，超過10噸的部分按每噸1.5元收費，王老師三月份平均水費為每噸1.0元，則王老師家三月份用水_噸.二、選擇題： 1、若ab，則下列式子正確的有（ ）a2b2 ab ab 5a15b1（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個2、下列變形中，正確的是A、若ac=bc，那么a=b。 B、若，那么a=bC、，那么a=b。 D、若a=b那么a=b3、給出下面四個方程及其變形：；其中變形正確的是（ ）ABCD4、如果方程6x+3a=22與方程3x+5=11的解相同，那么a=（ ）A. B. C. - D.- 5、將方程

20、去分母，得到，錯在（）A、最簡公分母找錯B、去分母時，漏乘3項C、去分母時，分子部分沒有加括號D、去分母時，各項所乘的數(shù)不同6、初一（一）班舉行了一次集郵展覽，展出的郵票比平均每人3張多24張，比平均每人4 張少26張，這個班共展出郵票的張數(shù)是 （ ） A.164 B.178 C.168 D.1747、某商場賣出兩個進價不同的手機，都賣了1200元，其中一個盈利50%，另一個虧本20%，在這次買賣中，這家商場（ ）A.不賠不賺B.賠100元 C.賺100元D.賺360元8、某牧場放養(yǎng)的鴕鳥和奶牛一共70只, 已知鴕鳥和奶牛的腿數(shù)之和為196條,則鴕鳥的頭數(shù)比奶牛多 ( )A、20只 B、14只

21、 C、15只 D、13只三、運算題： 1、 2、 3、 4、 5. 6. 四當(dāng)x為何值時，代數(shù)式與的值大2.三、一元一次方程應(yīng)用題（找出等量關(guān)系）一 、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟 （1）審題：弄清題意（2）找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系（3）設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程（4）解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值（5）檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗后寫出答案1、數(shù)字問題 要搞清楚數(shù)的表示方法：一個三位數(shù)的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字為c（其中a、b、c均為整數(shù)，且

22、1a9， 0b9， 0c9）則這個三位數(shù)表示為：100a+10b+c。 例1、 若三個連續(xù)的偶數(shù)和為18，求這三個數(shù)。例2、 一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)是十位上的數(shù)的2倍，如果把十位與個位上的數(shù)對調(diào)，那么所得的兩位數(shù)比原兩位數(shù)大36，求原來的兩位數(shù)等量關(guān)系：原兩位數(shù)+36=對調(diào)后新兩位數(shù)例3、有一個三位數(shù)，個位數(shù)字為百位數(shù)字的2倍，十位數(shù)字比百位數(shù)字大1，若將此數(shù)個位與百位順序?qū)φ{(diào)（個位變百位）所得的新數(shù)比原數(shù)的2倍少49，求原數(shù)。分析：然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程2、日歷中的規(guī)律：橫行相鄰兩數(shù)相差_豎行相鄰兩數(shù)相差_。例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天

23、是星期_例2、在日歷表中，用一個正方形任意圈出2x2個數(shù)，則它們的和一定能被_整除。A 3 B 4 C 5 D 6例3、如果某一年的5月份中，有5個星期五，且它們的日期之和為80，那么這個月的4號是星期幾？3、等積變形問題常用等量關(guān)系為：形狀面積變了，周長沒變；原料體積成品體積。例1、用直徑為4cm的圓鋼，鍛造一個重0.62kg的零件毛坯，如果這種鋼每立方厘米重7.8g，應(yīng)截圓鋼多長？例2. 用直徑為90mm的圓柱形玻璃杯（已裝滿水）向一個由底面積為內(nèi)高為81mm的長方體鐵盒倒水時，玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（結(jié)果保留整數(shù)）4、 和、差、倍、分問題： 倍數(shù)關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“是幾倍，增加

24、幾倍，增加到幾倍，增加百分之幾，增長率”來體現(xiàn)。多少關(guān)系：通過關(guān)鍵詞語“多、少、和、差、不足、剩余”來體現(xiàn)。（1）勞力調(diào)配問題：這類問題要搞清人數(shù)的變化. 例1.某廠一車間有64人，二車間有56人?，F(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半。問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？ 例2甲、乙兩車間各有工人若干，如果從乙車間調(diào)100人到甲車間，那么甲車間的人數(shù)是乙車間剩余人數(shù)的6倍；如果從甲車間調(diào)100人到乙車間，這時兩車間的人數(shù)相等，求原來甲乙車間的人數(shù)。（2）配套問題：例1、某車間有28名工人生產(chǎn)螺栓和螺母，每人每小時平均能生產(chǎn)螺栓12個或螺母18個，應(yīng)如何分配生產(chǎn)螺栓和螺母的工人，才能

25、使螺栓和螺母正好配套（一個螺栓配兩個螺母）例2. 機械廠加工車間有85名工人，平均每人每天加工大齒輪16個或小齒輪10個，已知2個大齒輪與3個小齒輪配成一套，問需分別安排多少名工人加工大、小齒輪，才能使每天加工的大小齒輪剛好配套？ 分析：列表法。 每人每天人數(shù)數(shù)量大齒輪16個x人16x小齒輪10個人 等量關(guān)系：小齒輪數(shù)量的2倍大齒輪數(shù)量的3倍 解：設(shè)分別安排x名、名工人加工大、小齒輪 答：略.（3）分配問題：例1.學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。例2. 三個正整數(shù)的比為1：2：4，它們的和是84，那么這三個數(shù)

26、中最大的數(shù)是幾？（比例分配問題 常用等量關(guān)系：各部分之和總量。）（4）年齡問題：例1、甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現(xiàn)在的年齡是多少歲？例2、小華的爸爸現(xiàn)在的年齡比小華大25歲，8年后小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現(xiàn)在的年齡。 5、工程問題 工程問題中的三個量及其關(guān)系為：工作總量=工作效率×工作時間 經(jīng)常在題目中未給出工作總量時，設(shè)工作總量為單位1。例1. 一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現(xiàn)先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務(wù)，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？ 分析設(shè)工程總量為單位1，等量關(guān)系為：甲完成工作量

27、+乙完成工作量=工作總量。 解：設(shè)乙還需x天完成全部工程，設(shè)工作總量為單位1，由題意得，(+)×3+=1， .例2、在西部大開發(fā)中，基礎(chǔ)建設(shè)優(yōu)先發(fā)展，甲、乙兩隊共同承包了一段長6500米的高速公路工程，兩隊分別從兩端施工相向前進，甲隊平均每天可完成480米，乙隊平均每天比甲隊多完成220米，乙隊比甲隊晚一天開工，乙隊開工幾天后兩隊完成全部任務(wù)？6、 打折銷售問題（1）銷售問題中常出現(xiàn)的量有：進價、售價、標(biāo)價、利潤等（2）基本關(guān)系式：利潤售價進價；售價=標(biāo)價×折數(shù)；利潤率利潤/進價 。由可得出利潤標(biāo)價×折數(shù)進價。由可得出利潤率 。 市場經(jīng)濟問題 （1）商品利潤商品售

28、價商品成本價 （2）商品利潤率×100% （3）商品銷售額商品銷售價×商品銷售量 （4）商品的銷售利潤（銷售價成本價）×銷售量 （5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價的百分之幾十出售，如商品打8折出售，即按原標(biāo)價的80%出售例1、一件衣服標(biāo)價是200元，現(xiàn)打7折銷售。問：買這件衣服需要多少錢？若已知這件衣服的成本（進價）是115元，那么商家賣出這件衣賺了多少錢？利潤是多少？例2、 某商場售貨員同時賣出兩件上衣，每件都以135元售出，若按成本計算，其中一件贏利25%，另一件虧損25%，問這次售貨員是賠了還是賺了？7、行程問題。（行程問題可以采用畫示意圖的輔助手段來幫助理

29、解題意，并注意兩者運動時出發(fā)的時間和地點）要掌握行程中的基本關(guān)系：路程速度×時間。相遇問題（相向而行），這類問題的相等關(guān)系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程追及問題（同向而行），這類問題的等量關(guān)系是：同時不同地：甲的時間=乙的時間 甲走的路程-乙走的路程=原來甲、乙相距的路程同地不同時；甲的時間=乙的時間-時間差 甲的路程=乙的路程解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，一般情況下問題就能迎刃而解。并且還常常借助畫草圖來分析，理解行程問題。  例1. 甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。

30、 （1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？ （2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？ （3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？ （4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？ （5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？ 此題關(guān)鍵是要理解清楚相向、相背、同向等的含義，弄清行駛過程。故可結(jié)合圖形分析。 （1）分析：相遇問題，畫圖表示為： 等量關(guān)系是：慢車走的路程+快車走的路程=480公里。解：設(shè)快車開出x小時后兩車相遇，由題意得，140x+9

31、0(x+1)=480 解這個方程，230x=390 x=1答：略.（2）分析：相背而行，畫圖表示為：等量關(guān)系是：兩車所走的路程和+480公里=600公里。 解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(140+90)x+480=600解這個方程，230x=120 x=答：略.（3）分析：等量關(guān)系為：快車所走路程慢車所走路程+480公里=600公里。 解：設(shè)x小時后兩車相距600公里，由題意得，(14090)x+480=600 50x=120 x=2.4 答：略. （4）分析：追及問題，畫圖表示為：等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。 解：設(shè)x小時后快車追上慢車。 由題意得，140

32、x=90x+480 解這個方程，50x=480 x=9.6答：略.（5）分析：追及問題，等量關(guān)系為：快車的路程=慢車走的路程+480公里。解：設(shè)快車開出x小時后追上慢車。由題意得，140x=90(x+1)+480 50x=570 解得， x=11.4 答：略. 環(huán)形跑道上的相遇和追及問題：同地反向而行的等量關(guān)系是兩人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量關(guān)系是兩人所走的路程差=一圈的路程。航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度 逆水（風(fēng)）速度靜水（風(fēng)）速度水流（風(fēng)）速度例： 一艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順?biāo)叫行枰?小時，逆水航行需要3小時，求

33、兩碼頭的之間的距離？抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜不速）不變的特點考慮相等關(guān)系1、A、B兩地相距150千米。一輛汽車以每小時50千米的速度從A地出發(fā)，另一輛汽車以每小時40千米的速度從B地出發(fā)，兩車同時出發(fā)，相向而行，問經(jīng)過幾小時，兩車相距30千米？2、甲、乙兩人練習(xí)100米賽跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲讓乙先跑1秒，那么甲經(jīng)過幾秒可以追上乙？3、一架飛機飛行在兩個城市之間，順風(fēng)要2小時45分，逆風(fēng)要3小時，已知風(fēng)速是20千米小時，則兩城市間的距離為多少？4、一列火車以每分鐘1千米的速度通過一座長400米的橋，用了半分鐘，則火車本身的長度為多少米？5、火車用26秒的時間通過一個長256米的隧道（即從車頭進入入口到車尾離開出口），這列火車又以16秒的時間通過了長96米的隧道，求列車的長度。8、銀行儲蓄問題。 顧客存入銀行的錢叫做本金，銀行付給顧客的酬金叫利息，本金和利息合稱本息和，存入銀行的時間叫做期數(shù)，利息與本金的比叫做利率。利息的20%付利息稅 利息=本金×利率×期數(shù) 本息和=本金+利息 利息稅=利息×稅率（20%）利潤×100% 利息本金×利率×期數(shù)注意利率有日利率、月利率和年利率，年