不等式基礎必備

1、不等式基礎必備一、基本不等式的公式1、均值定理： （當且僅當時取等號）注解：平方平均值：；算術平均值：；幾何平均值：；調(diào)和平均值：，即：其中，例如：，求、，并比較它們的大小.解：； ； 可見：有從大到小的順序是：平方算術，幾何調(diào)和2、指數(shù)不等式： （當且僅當時取等號）Oxy注解：由于要求不等式右邊，故：記憶方法見函數(shù)圖.曲線在區(qū)間都處在直線的上方，僅在處相切. 即：，當且僅當時取等號.例如：時，左邊，右邊故：3、對數(shù)不等式： （當且僅當時取等號）Oxy注解：由于0和負數(shù)沒有對數(shù)，所以：記憶方法見函數(shù)圖.曲線在區(qū)間都處在直線的下方，僅在處相切. 即：，當且僅當時取等號也可以由得：兩邊取對數(shù)：，即

2、：例如：時，左邊，右邊，故：4、柯西不等式：（當且僅當時取等號）注解：設向量，向量，則，由向量公式：得：兩邊自乘得：將上面的結果代入得：例如：，則：，；，；，.故：5、琴生不等式：注解：O 設在區(qū)間為上凸函數(shù)，如圖即的二次導數(shù)，則： 圖中，點為均值的函數(shù)值，點為函數(shù)的均值.即：對于上凸函數(shù)，函數(shù)的均值不大于均值的函數(shù)值.O 設在區(qū)間為下凸函數(shù)，如圖即的二次導數(shù)，則： 圖中，點為均值的函數(shù)值，點為函數(shù)的均值.即：對于下凸函數(shù)，函數(shù)的均值不小于均值的函數(shù)值.上面的式，稱為琴生不等式.OBAA例如：對于函數(shù)，在區(qū)間為上凸函數(shù)，因為，（）故：在區(qū)間為上凸函數(shù).此時，則，即：；O12而. 故：例如：二次

3、函數(shù)因為，所以下凸函數(shù).在區(qū)間有：，即：，故： 其實，在區(qū)間，都滿足 推廣為一般形式對于的上凸函數(shù)，即:，有： （）對于的下凸函數(shù)，即:，有： （）這就是琴生不等式. 注意不等號的方向與二次導數(shù)的方向一致.6、伯努利不等式： （）注解：由二項式定理得：在時，即： （僅當時取等號）例如：當，時，左邊，右邊故：7、向量不等式： 向量三角形：和 向量點乘：注解： 由，構成的三角形，由三角形兩邊之和大于第三邊得. 由，構成的三角形，由三角形兩邊之差小于第三邊得； 由向量積的公式得：，即：； 若，則：上面這幾種基本不等式的簡單記憶方法：均值定理四兄弟，對數(shù)指數(shù)倆伴侶；柯西琴生伯努利，向量三角點乘積.上述

4、不等式的解法統(tǒng)稱“公式法”.凡解證不等式，首先考慮用上述的不等式，能使用的盡量使用. 不能直接使用的，但經(jīng)過變形后能使用的，也要盡量使用，即盡一切可能使用上述不等式. 二、求不等式的基本方法1、作差法：將比較的兩對象相減后，其差與0比較大小的方法. 注解：最常用的是構建函數(shù)法. 例如，證明，則構建2、作商法：將比較的兩正數(shù)對象相比后，其商與1比較大小的方法.注解：例如，證明. 將其變形為與1比大小.3、公式法：用前面不等式的公式得到結果的方法.注解：即均值定理、柯西不等式等.4、單調(diào)性法：利用函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性得出大小的方法. 注解：例如，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則有：，.5、放縮法：由等式的一

5、邊經(jīng)過放大或縮小將等式變?yōu)椴坏仁?；或者大者變得更大，小者變得更小；從而使問題得到解決的方法.注解：例如，原本，將右邊減小變?yōu)?式就是放縮法的結果.6、判別式法：如果一個二次函數(shù)過零點，即在零點存在二次方程的解，那么二次方程有解的條件是：判別式. 這里就自然出現(xiàn)了不等式.注解：本方法用于處理二次函數(shù)時，包括二次函數(shù)的分式.7、換元法：將一個整式、分式或根式整體看做一個量進行處理的方法，主要是簡化.注解：特別是三角換元法. 因為三角函數(shù)本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常用的三角恒等式必須熟悉.8、裂項相消法：將一項式子分裂成兩項或多項，在求和過程中有部分項相互抵消，從而得到簡明結果的方法.

6、注解：例如，在放縮法中的式，進一步得：這樣，如果是求和，則可得結果：其中的是裂項.在求和過程中，好多項相互抵消9、倒序相加法：將一個多項求和的式子的一個正序列和一個倒序列按序相加的方法.注解：例如，求. 其倒序后為：.這兩個式子按序相加后得：其中，每個圓括號內(nèi)的值都是，共有項.故結果是：，即：10、極值法（最值法）：求出函數(shù)在某個區(qū)間的極值，加上邊界值找出最值，那么函數(shù)的最值就是出現(xiàn)不等式的方法.注解：函數(shù)在區(qū)間的最大值是8，則有11、積分法：積分實際上是求和，是簡化求和運算的一種方法. 如果函數(shù)是單調(diào)的，函數(shù)的每一小區(qū)間內(nèi)就會出現(xiàn)不等號，求和后依然存在不等號.注解：積分法最好要畫出簡明圖，可以看出單調(diào)性和不等的量.上面這幾種求不等式的基本方法簡單記憶：作差與0比大小，作商與1比高下；套用公式得結果，單調(diào)放縮有小大；二次函數(shù)過零點，判別式與換元法；倒序