解析幾何存在性問題(含答案)

1、.解析幾何存在性問題1、已知橢圓 C : x2y21(ab 0)的離心率為6，過 C的左焦點 F 的直線 l : xy 2 0 被圓1b2e11a23C2 : ( x 3)2( y3)2r 2 (r0) 截得的弦長為 22 .（ ）求橢圓 C1 的方程；（ ）設 C1 的右焦點為 F2 ，在圓 C2 上是否存在點P ，滿足 PF1a 2b2 PF2 ,若存在，指出有幾個這樣的點（不必求出點的坐標）;若不存在，說明理由 .解 ：（ 1）因為直線l的方程為 l : xy20 ，令 y0，得x2，即F1 (分2,0) 1 c2，又 ec6 ，a26， b2 a2c22a3 橢圓 C1 的方程為 C1

2、 : x2y21 . 分622（ 2）存在點 P，滿足 PF1a2PF2b 圓心 C2 (3,3) 到直線 l : x y20 的距離為 d3322 ，2又直線 l : xy20被圓 C2 : x2y26x 6 y3m10截得的弦長為 22 ，由垂徑定理得 rd 2( l )2222 ，2故圓C2的方程為C: (x3)2( y3)24 分2.2設圓 C2 上存在點 P(x, y) ，滿足 PF1a2 PF2 即 PF13 PF2，且 F1, F2 的坐標為 F1(2,0), F2 (2,0) ，b則 ( x 2)2y23 ( x 2)2y2 ，整理得 (x5)2y29，它表示圓心在C ( 5

3、,0) ，半徑是3 的圓。2422 CC2(35)2(30)237 分22故有23CC223 ，即圓 C 與圓 C2 相交，有兩個公共點。22P ，滿足 PF1a2圓 C2 上存在兩個不同點b2 PF2. 分Word 資料 .2、平面直角坐標系xOy 中，橢圓x 2y 21（ ab06，焦點為 F1 、 F2 ，直線 l ：b 2）的離心率為a 23x y2 0 經(jīng)過焦點 F2 ，并與相交于 A、 B兩點 求的方程； 在上是否存在 C 、 D 兩點，滿足 CD / AB ， F1CF1 D ？若存在，求直線CD 的方程；若不存在，說明理由解 ：依題意 F2 (2 ,0) ， c 22 分，由

4、ec663 分a得 a3ba 2c 22 ，橢圓的方程為 x 2y 214 分62 （方法一） 若存在滿足條件的直線CD， CD / AB ， kCD k AB1 ，設直線 CD 的方程為y x m5 分由x 2y 216分，得x23(x) 2607分62myxm4x 26mx(3m 26)0，(6m)244(3m 26)9612m20 （*）設 C (x1 , y1 ) ， D (x2 , y2 ) ，則 x1x23m3m262， x1x249 分1由已知 F1CF1 D ，若線段 CD 的中點為 E ，則 F1ECD ， kF1E110分kCDy2 ) 即 E(3m ,m ) ，由 kF1

5、 EmF1 (2 , 0) ， E ( x1 x2,y141 ，解得 m413分22443m2m4時， 9612m24CD14960 ，與（ *）矛盾， 不存在滿足條件的直線分（方法二） 假設存在 C ( x1 ,y1 ) ，D (x2 ,y2 ) ，線段 CD 的中點為 E(x0 ,y0 ) ，則 x0x1x2, y0y 1y2，y1y215 分22x1x2x12y1216211由x2 )( x1x2 )y2 )07分，22兩式相減得：(x1( y1 y2 )( y1x2y216262代入、化簡得：1 x0y00由已知 F1CF1D ，則 F1ECD ， kF1E119 分3kCD由 kF1

6、Ey01得， y0x02 ， 由 解得 x03,y01，即 E( 3, 1)11 分x02x 2y 21得 4x2直線 CD 的方程為： y( x4) ，聯(lián)立6224 x42013分y x 4 24 2 4 4 4296 0 ，方程（組）無解， 不存在滿足條件的直線 CD14 分Word 資料 .3、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點 M(1, 3)、N(5,1),若點C滿足OC tOM(1t )ON (tR), 點 C 的軌跡與拋物線： y 24x 交于 A、 B 兩點(1)求證： OAOB ；(2)在 x 軸上是否存在一點P( m,0), 使得過點 P 直線交拋物線于D、 E 兩點

7、，并以該弦DE 為直徑的圓都過原點 , 若存在，請求出m 的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請說明理由解： (1)由 OCt OM(1t)ON (tR) 知點 C 的軌跡是 M 、N 兩點所在的直線，故點 C 的軌跡方程是y31( 3)(x1) , 即 yx44yx4( x 4)24xx212x160x1 x216 , x1x2 12由4xy2yy( x14)( x24)x1x24( x1x2 )1616x1 x2y1 y20,故OAOB.6 分(2) 法一：存在點 P(4,0), 滿足條件。證明如下：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零，設弦所在的直線方程為：xky4 代入 y2x 得 y24k

8、y160y1y2 4k ， y1 y216 , kOA kOBy1y2y1y21616x1x222y1 y21y1y21644OA OB,故以 AB 為直徑的圓都過原點.10 分法二：若存在這樣的點P 滿足條件，設 D ( x1 , y1), E( x2 , y2 ) .則有 x1x2 y1 y2 0 得 y1 y216, 又 PD( x1m, y1 ),PE( x2m, y2 ),由 D、P、E三點共線可得 (x1m, y1 ) y2(x2 m, y2) y1(m4)(y1y2 ) 0當 y1y2 時， m 4,此時 P(4,0), 可驗證當 P(4,0)且 y1y2 時也符合條件，所以存在

9、點 P(4,0) 滿足條件 .設弦 AB 的中點為 M ( x, y)則 x1 ( x1x2 ) ， y1 ( y1y2 )22x1x2 ky14 ky24 k ( y1 y2 ) 8 k (4k ) 8 4k 28 弦x2k24，消去 k 得 y22x8.AB 的中點 M 的軌跡方程為：2kyWord 資料 .4、如圖（ 6 ），設點 F1 ( c,0) 、 F2 (c,0) 分別是橢圓 C : x 2y 21(a 1)uuuruuura 2的左、右焦點，P 為橢圓 C 上任意一點，且PF1PF2最小值為 0（1 ）求橢圓 C 的方程；（2 ）若動直線 l1, l2 均與橢圓 C 相切，且

10、l1 / l2 ，試探究在 x 軸上是否存在定點B ，點 B 到 l1 ,l 2 的距離之積恒為 1？若存在，請求出點B 坐標；若不存在，請說明理由解：（ 1）設 P( x, y) ，則有 F1 P( xc, y) ， F2 P(xc, y) -1分PF1 PF2x 2y 2c2a 21 x21 c2 , xa, a -2分uuuruuura 2由 PF1PF2最小值為 0得 1c20c 1a 22，-3分橢圓 C 的方程為 x 2y 21 -4分2（ 2）當直線 l1, l 2 斜率存在時，設其方程為ykxm, ykxn -5分把 l1 的方程代入橢圓方程得 (1 2k 2 ) x2 4mk

11、x 2m2 2 0直線 l1 與橢圓 C 相切，16k 2m24(12k 2 )(2 m22)0 ，化簡得m212k 2同理， n212k2 -8分 m2n2 ，若 m n ，則 l1 ,l 2 重合，不合題意，mn -9分設在 x 軸上存在點 B(t,0)，點 B 到直線 l1 ,l 2 的距離之積為1 ，則| kt m | | kt m | 1，即 | k 2t 2m2 | k 21， -10分k 21k21把 12k2m2 代入并去絕對值整理，k 2 (t 23) 2 或者 k2 (t 2 1) 0前式顯然不恒成立；而要使得后式對任意的k R 恒成立則t 21 0，解得t1；-12分當直

12、線 l1, l2 斜率不存在時，其方程為x2 和 x2 ， -13分定點 (1,0) 到直線 l1 , l2 的距離之積為(21)(2 1)1；定點 (1,0)到直線 l1 ,l2 的距離之積為 (21)( 21)1 ；綜上所述，滿足題意的定點B 為 (1,0)或 (1,0) -14分Word 資料 .5C: x2y21, 3221 a b0F11,0 F21,0ab2x0 , y0CF21 C2yx031PF1PF22a1323232a21125421 12222a2c1b2a2c23.3x2y214C342M (x0, y0 ) ydx0Mrx02y021M yrdx02y02x01y02

13、2x010.6Q MCy0233 x02443x028x01604x0.8432,4).9Q2x0 22x0M333N : x12y216MNF1C4.12MF1MF22a4MF14 MF2NM.14Word 資料 .6、已知橢圓 C1 的中心在坐標原點，兩個焦點分別為F1 (2,0) ， F22, 0，點 A(2, 3) 在橢圓 C1上，過點 A 的直線 L 與拋物線 C2: x24 y 交于 B, C 兩點，拋物線 C2 在點 B, C 處的切線分別為 l1, l2，且 l1 與 l2交于點 P.(1) 求橢圓 C1 的方程；(2) 是否存在滿足PF1PF2AF1AF2的點 P?若存在，指

14、出這樣的點P 有幾個（不必求出點P 的坐標） ; 若不存在，說明理由 .（ 1）橢圓 C1 的方程為x2y21 .3 分1612(2)解法 1 ：設點 B(x1 , 1 x12 ) , C ( x2 ,1 x22 ) ，則 BC ( x2x1 , 1 ( x22x12 ) ，BA(2 x1 ,31 x12 ) ，4uuur444uuur A,B,C 三點共線 ,（ BC /BA .4 分 xx31x21x2x22x,化簡得： 2( x1x2 )x1 x212 .5 分21414211由 x24 y即 y1 x2 , 得y1 x .6 分,42拋物線 C2 在點 B 處的切線 l1 的方程為 y

15、1x12x1(xx1 ) ，即 yx1 x1x12.4224同理，拋物線 C2 在點 C 處的切線 l2 的方程為yx2x1x22.8 分24設點 P( x, y) ，由得：x1 x1 x12x2x1 x22，而 x1x2 ，則 x1 ( x1x2 ) .9 分24242代入得y1 x1 x2 ，則 2xx1x2 ， 4 yx1 x2 代入 4得 4x4y12 ，即點 P 的軌跡方程為yx3.11 分若 PF1PF2AF1AF2，則點 P 在橢圓 C1 上，而點P 又在直線 yx 3 上，12分直線 yx3經(jīng)過橢圓 C1 一點(3,0),直線 yx3與橢圓 C1 交于兩點 .13 分滿足條件P

16、F1PF2AF1AF2的點 P有兩個.14 分解法 2：設點B( 1 ,y1 ) ,C ( x2, y2)， P( x0 , y0 ) ，由 x24 y ,即 y1x2 , 得y1 x .4 分x42Word 資料 .拋物線 C2 在點 B 處的切線 l1 的方程為 yy1x1( xx1 ) ，即 yx1xy11x12.5 分222 y11x12 ， yx1xy1. 點 P(x0 , y0 ) 在切線 l1 上 , y0x1x0y1 . 6 分422同理， y0x2x0y2 .綜合、得，點 B(x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) 的坐標都滿足方程y0xx0y .22經(jīng)過 B(x1

17、, y1 ), C( x2 , y2 ) 的直線是唯一的，直線L 的方程為 y0x x0y ，9 分2點A(2,3)在直線 L 上， y0x03 .點 P 的軌跡方程為yx3 .11 分若 PF1PF2AF1 AF2，則點 P 在橢圓 C1 上，又在直線yx3上， 12 分直線 yx3經(jīng)過橢圓 C1 一點(3,0),直線 yx3 與橢圓 C1 交于兩點 .13 分滿足條件PF1PF2AF1AF2的點 P有兩個.14分解法 3：顯然直線L 的斜率存在，設直線L 的方程為 ykx23 ，ykx23,4kx8k120 .4分由4y,消去 y ，得 x2x2設B x1則xx24k, x x28k12.

18、5分, y1 , C x2 , y2 ,11由 x24 y ,即 y1 x2 , 得 y1x .6 分42拋物線 C2 在點 B 處的切線 l1 的方程為 yy1x1( xx1 ) ，即 yx1xy11222x1 . 7分2 y112， yx1x12C2 在點 C 處的切線 l2 的方程為 yx2x12x12x1 . 同理 ,得拋物線24x2 .44x112xx2yxx1 ,x12k,由24解得2 P 2k, 2k3 .10 分x212,yx1 x22k3.y2x4x2422 PF1PF2AF1AF2,點 P在橢圓 C1 :xy1 上 .11 分1612222k2k1231化簡得 7k 212

19、k30 .(*)由1224732280 ,16可得方程 (*)有兩個不等的實數(shù)根 .滿足條件的點 P 有兩個 .14 分Word 資料 .7、已知雙曲線C的焦點分別為F1 (22,0), F2 (22,0) ,C經(jīng)過點 P(42,2 7).且雙曲線（1 ）求雙曲線 C 的方程；（2 ）設 O 為坐標原點，若點 A 在雙曲線 C 上，點 B 在直線 xuuur uuur0 ，是否存在以點2 上，且 OA OBO 為圓心的定圓恒與直線AB 相切？若存在，求出該圓的方程，若不存在，請說明理由.解 ：（ 1）解法一：依題意知雙曲線C 的焦點在 x 軸，設其方程為x2y 21.( a0,b0)a2b2點

20、 P(42, 27)在雙曲線 C 上， 2a|PF1|PF2|(62) 2(27) 2(22) 2(27) 24 a2-3分又 c2 2 ， b2c2a24 ， 所求雙曲線 C 的方程為 x2y21. -4分44解法二：依題意知雙曲線x2y21.( a0, b0)-1分C 的焦點在 x 軸，設其方程為2b2a點 P(42, 27)在雙曲線 C 上，32 281，-又 b28 a2 ， -a2b2 代入 去分母整理得： a468a23280 ，又 a c ，解得 a24, b24-3分 所求雙曲線 C 的方程為x2y21.-4分44(2) 設點 A， B 的坐標分別為 ( x0 , y0 ) ， (2, t ) ，其中 x02或 x02.-5分當 y0t 時，直線 AB 的