2014A數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀論文

1、2014 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽章程和全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽參賽規(guī)則（以下簡(jiǎn)稱為“競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則”，可從全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽網(wǎng)站下載）。我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則的，如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽章程和參賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽章程和參賽規(guī)

2、則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽組委會(huì)，可將我們的論文以任何形式進(jìn)行公開展示（包括進(jìn)行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進(jìn)行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號(hào)是（從 A/B/C/D 中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為（8 位數(shù)字組成的編號(hào)）： 10009072所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?東南大學(xué) 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 吉張鶴軒2. 楊升3. 陳同廣 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)： （論文紙質(zhì)版與電子版中的以上信息必須一致，只是電子版中無需簽名。以上內(nèi)容請(qǐng)仔細(xì)核對(duì)，提交后將不再允許做任何修改。如填寫錯(cuò)誤，論文可能被取消評(píng)獎(jiǎng)資格

3、。） 日期： 2014 年 09 月 15 日 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 2014 高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）： 評(píng) 閱人 評(píng) 分 備注 全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）： 全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）： 嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)與控制策略摘要本題要求我們以嫦娥三號(hào)登月為背景，分析登月軌道參數(shù)，重點(diǎn)探討了登月過程最具難度的著陸軌道設(shè)計(jì)優(yōu)化，并對(duì)所使用的優(yōu)化方案進(jìn)一步作出了誤差分析與靈敏度分析。對(duì)于第一問，由于正面求解條件有限，難以從已有的條件中得到近月

4、點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置以及準(zhǔn)備軌道參數(shù)，因此巧妙的使用了逆推思路，通過已知條件求解主減速階段運(yùn)動(dòng)過程， 通過水平位移量反推近月點(diǎn)位置。首先，我們由已知的端點(diǎn)約束條件，結(jié)合所學(xué)物理知識(shí)， 并查閱相關(guān)資料，通過線性正切制導(dǎo)率等工程經(jīng)驗(yàn)判斷減速過程中推力控制方案應(yīng)為推力大小始終為最大值，推力與速度反方向夾角也為恒量，由此建立微分方程模型。但在求解的過程中我們發(fā)現(xiàn)，正面求解難度十分大，于是對(duì)微分方程離散化，轉(zhuǎn)化為差分方程組，繼而通過計(jì)算機(jī)模擬行為，擬合出最接近解的軌跡，求得水平位移量為 385.21m，由此得到近月點(diǎn)位置為 19.51°W ，31.50°N ，距月面 15km，速度為 1

5、692.46m/s，平行月面指向預(yù)期落點(diǎn)方位； 遠(yuǎn)月點(diǎn)位置為 160.49°E，31.50°S ，距月面 100km，速度為 1612.15m/s，方向與近日點(diǎn)反相平行。對(duì)于第二問，依據(jù)題意將其分為五個(gè)階段。對(duì)于前兩個(gè)階段，建立天體力學(xué)分析中常用的二體模型及力學(xué)方程組，并對(duì)約束條件進(jìn)行歸一化處理。為了后續(xù)優(yōu)化，列出全部歸一化約束條件并建立目標(biāo)函數(shù)，從而獲得非線性規(guī)劃模型。之后采用了序列化遺傳算法對(duì)其進(jìn)行篩選，從而逼近該階段全局最優(yōu)解，最終此階段燃耗為 1055.39kg。第二階段同樣屬于復(fù)雜多變量?jī)?yōu)化問題，同階段一建立優(yōu)化模型并通過遺傳算法求解該段全局最優(yōu)解，最終燃耗為26

6、.71kg。第三第四階段主要在于圖像處理與統(tǒng)計(jì)，第三階段，通過對(duì)高程圖進(jìn)行 K 均值聚類分析，將圖中像素點(diǎn)分為安全點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)，在對(duì)地圖柵格化，并對(duì)方格內(nèi)點(diǎn)類型統(tǒng)計(jì)取整， 對(duì)方格二元化為安全格與危險(xiǎn)格，在通過擴(kuò)大尋找最大安全半徑，綜合考慮水平偏移量，建立合理的落點(diǎn)評(píng)價(jià)體系，最終找出最優(yōu)點(diǎn)坐標(biāo)（1275,1000），燃耗為 86.97kg。第四階段同樣做聚類分析，并根據(jù)嫦娥三號(hào)實(shí)際體積選取合適的柵格大小，并對(duì)柵格通過最小二乘法對(duì)空間進(jìn)行線性統(tǒng)計(jì)回歸，求出平均坡面與平均坡度，結(jié)合最大安全半徑建立最優(yōu)落點(diǎn)評(píng)價(jià)體系， 最終獲得最優(yōu)落點(diǎn)坐標(biāo)為（88,56），燃耗為 20.68kg。第五階段最優(yōu)燃耗為 8.

7、09kg。最后還討論了簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的局部最優(yōu)模型，簡(jiǎn)化了后幾個(gè)階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與計(jì)算。最終綜合各段最優(yōu)解，獲得最優(yōu)著陸軌道與控制策略。對(duì)于第三問，首先總結(jié)了優(yōu)化模型中引入的一些誤差因素，并針對(duì)主要因素做了數(shù)值上的相對(duì)誤差分析，證明了誤差對(duì)于優(yōu)化方案并未產(chǎn)生很大影響。其次從初始變量和約束條件入手，分析了這些變量的波動(dòng)對(duì)于結(jié)果產(chǎn)生的影響，最終發(fā)現(xiàn)角度控制向量的靈敏性較高， 而其他因素的靈敏性普遍處在較低水平，側(cè)面說明了優(yōu)化方案的對(duì)于初值的不敏感性與方案對(duì)于全局最優(yōu)解的逼近程度較高。關(guān)鍵詞：非線性規(guī)劃模型序列化遺傳算法K 均值聚類空間線性回歸二體模型一問題的提出1.1 背景介紹根據(jù)計(jì)劃，嫦娥三號(hào)將在北京

8、時(shí)間 12 月 14 號(hào)在月球表面實(shí)施軟著陸。嫦娥三號(hào)如何實(shí)現(xiàn)軟著陸以及能否成功成為外界關(guān)注焦點(diǎn)。目前，全球僅有美國(guó)、前蘇聯(lián)成功實(shí)施了 13 次無人月球表面軟著陸。北京時(shí)間 12 月 10 日晚，嫦娥三號(hào)已經(jīng)成功降軌進(jìn)入預(yù)定的月面著陸準(zhǔn)備軌道，這是嫦娥三號(hào)“落月”前最后一次軌道調(diào)整。在實(shí)施軟著陸之前，嫦娥三號(hào)還將在橢圓軌道上繼續(xù)飛行，做最后準(zhǔn)備。嫦娥三號(hào)著陸地點(diǎn)選在較為平坦的虹灣區(qū)。但由于月球地形的不確定性，最終“落月”地點(diǎn)的選擇仍存在一定難度。在整個(gè)“落月”過程中，“動(dòng)力下降”被業(yè)內(nèi)形容為最驚心動(dòng)魄的環(huán)節(jié)。在這個(gè)階段，嫦娥三號(hào)要完全依靠自主導(dǎo)航控制，完成降低高度、確定著陸點(diǎn)、實(shí)施軟著陸等一系

9、列關(guān)鍵動(dòng)作，人工干預(yù)的可能性幾乎為零。在距月面 100 米處時(shí)，嫦娥三號(hào)要進(jìn)行短暫的懸停，掃描月面地形，避開障礙物，尋找著陸點(diǎn)。1.2 問題重述嫦娥三號(hào)在著陸準(zhǔn)備軌道上的運(yùn)行質(zhì)量為 2.4t，其安裝在下部的主減速發(fā)動(dòng)機(jī)能夠產(chǎn)生的推力可調(diào)節(jié)，變化范圍為 1500N 到 7500N，其比沖為 2940m/s，可以滿足調(diào)整速度的控制要求。在四周安裝有姿態(tài)調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)，能夠自動(dòng)通過多個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的脈沖組合實(shí)現(xiàn)各種姿態(tài)的調(diào)整控制。嫦娥三號(hào)的預(yù)定著陸點(diǎn)為 19.51W，44.12N，海拔為-2641m。嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸

10、軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn) 15km， 遠(yuǎn)月點(diǎn) 100km 的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為 6 個(gè)階段，要求滿足每個(gè)階段在關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)，盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。根據(jù)上述的基本要求，建立數(shù)學(xué)模型解決下面的問題：（1）確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，以及嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在 6 個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。（3）對(duì)設(shè)計(jì)的著陸軌道和控制策略做相應(yīng)的誤差分析和敏感性分析。二問題的分析2.1 問題一由于題目已經(jīng)明確給出準(zhǔn)備軌道的形狀參數(shù)，可以通過已有的物理知識(shí)與幾何關(guān)系明確計(jì)算出近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)處速度大小和相對(duì)

11、于月面的速度方向。為了預(yù)期落點(diǎn)與著陸軌道在同一個(gè)平面內(nèi)，且準(zhǔn)備軌道過月心，可以大致確定軌道所在平面有無數(shù)多個(gè)，無法確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，因此需要其他條件來推測(cè)。本題現(xiàn)有的條件下，只有通過著陸軌道逆推近月點(diǎn)，并結(jié)合地月軌道制動(dòng)的實(shí)際情況綜合考慮，才能得到。對(duì)于著陸過程一，由相關(guān)報(bào)道以及 NASA 在 1976 年提出的線性正切制導(dǎo)率1，得知主減速階段通常都是恒推力作用在軌道切線上，且嫦娥三號(hào)主減速階段實(shí)際也是保持著最大推力依照這一定律進(jìn)行制導(dǎo)。我們由此出發(fā)，通過二體模型，結(jié)合已知條件，建立微分方程組，通過計(jì)算機(jī)模擬降落軌跡即可求出降落弧線距離，從而反推近月點(diǎn)，對(duì)稱得出遠(yuǎn)月點(diǎn)。2.2 問題二由

12、問題一已經(jīng)得出近月點(diǎn)，即開始降落點(diǎn)位置，也知道每一階段的狀態(tài)，因此，降落軌道大致范圍基本確定，但六個(gè)過程的精確路徑是要通過策略優(yōu)化來控制的。由于燃料消耗表現(xiàn)在推力在時(shí)間上的積累量，即減小推力作用的沖量，即可優(yōu)化燃料消耗。對(duì)第一個(gè)過程，由于推力很大且歷時(shí)較長(zhǎng)，因此燃料消耗主要體現(xiàn)在這一階段，對(duì)應(yīng)的， 優(yōu)化策略也應(yīng)重點(diǎn)體現(xiàn)，由于有二體模型，建立微分方程模型，并由初值條件以及階段限定條件，可以寫出非線性約束條件，本問題及轉(zhuǎn)化為軌道優(yōu)化中的非線性規(guī)劃問題，一般可通過成熟的 SQP 算法可以得到全局最優(yōu)解，但本題采用了更為常見也相對(duì)傳統(tǒng)的遺傳算法， 逼近全局最優(yōu)解，得出最優(yōu)方案。對(duì)于第二階段，僅僅是為了

13、是水平速度將為 0，且推力迅速減小，由上一階段的優(yōu)化結(jié)果，得出末速度水平分量，由于沖量可分解，則此階段分為水平方向和豎直方向分別優(yōu)化， 即分為了兩個(gè)變速直線運(yùn)動(dòng)模型，簡(jiǎn)化了優(yōu)化模型，可以由這兩個(gè)局部最優(yōu)解加和得到該階段的全局最優(yōu)解。第三個(gè)階段水平速度初始為 0，經(jīng)過對(duì)月面成像分析，制定平坦度評(píng)價(jià)體系，選擇距離中心點(diǎn)最近且滿足平坦度要求的區(qū)域中心為粗調(diào)整目標(biāo)降落點(diǎn)。由于這一段終點(diǎn)懸停，速度減為 0，因此可以對(duì)該段推力進(jìn)行優(yōu)化，從而局部燃料最優(yōu)。第四階段懸停，精細(xì)成像并分析，同樣制定平坦度評(píng)價(jià)體系并選擇距離中心點(diǎn)最近且滿足平坦度要求的區(qū)域中心作為最終目標(biāo)降落點(diǎn)，修正軌道。結(jié)束時(shí)水平速度依然為 0，

14、因此同樣存在優(yōu)化過程。第五階段與第六階段是減速至 0 然后自由落體的過程，針對(duì)減速階段也可考慮優(yōu)化，可經(jīng)過簡(jiǎn)單討論得到結(jié)果。最后根據(jù)各個(gè)階段的最優(yōu)方案，模擬出嫦娥三號(hào)著陸軌道即可。2.3 問題三為了分析設(shè)計(jì)軌道和控制策略的誤差與敏感性，有必要制定誤差指標(biāo)并考慮各部分誤差對(duì)于結(jié)果的最大影響，敏感性也同樣需要這一思路，各個(gè)階段的細(xì)微變化會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響的衡量。另一方面，或許還有必要尋找參考物以顯示該方案的好壞。三模型假設(shè)1. 由于月球自轉(zhuǎn)速度為 27.3d，十分緩慢，而著陸過程僅有十幾分鐘，因此在本題中月球不考慮自轉(zhuǎn)；2. 由于月球扁率很小，可認(rèn)為月球?yàn)榍蝮w，半徑以平均半徑為準(zhǔn)，并且引力場(chǎng)分布均勻

15、；3. 由于側(cè)面姿態(tài)調(diào)整噴射裝置對(duì)燃料影響很小，為簡(jiǎn)化模型，認(rèn)為飛行器變換姿態(tài)的過程不消耗燃料；4. 認(rèn)為飛行器變換姿態(tài)是瞬間完成的；5. 由于著陸時(shí)間較短，所以諸如月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素均可忽略不計(jì)；6. 推力大小可瞬間改變；7. 燃料除供給推力外，無任何其他耗散方式；8. 月球空氣稀薄，不考慮任何摩擦力；9. 由于預(yù)定著陸點(diǎn)海拔-2641m，因此在著陸過程中所使用的高度均不應(yīng)是海拔高度， 而是相對(duì)于著陸點(diǎn)海拔的高度。四符號(hào)說明符號(hào)符號(hào)意義G引力常量M月球質(zhì)量m嫦娥三號(hào)質(zhì)量n比沖gm月球表面重力加速度F推力J燃耗P平坦度評(píng)價(jià)指標(biāo)H綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)F平均坡度評(píng)價(jià)指標(biāo)五模型建立與求解

16、5.1 問題一5.1.1 模型建立為了確定近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)，正常的思路是求出橢圓軌道所在平面以及橢圓長(zhǎng)軸在空間中的位置，但本題僅給出了軌道兩點(diǎn)的高度信息以及平均半徑，還有根據(jù)常識(shí)推斷出的預(yù)定著陸點(diǎn)在橢圓平面內(nèi)，除此之外并無其他信息，因此從現(xiàn)有條件準(zhǔn)確判斷兩點(diǎn)的位置是不可能的。因此，本題應(yīng)采用逆推思路，由著陸軌道的第一個(gè)階段反推近月點(diǎn)。先對(duì)軌道參數(shù)進(jìn)行分析，已知近月點(diǎn)高度 Hc=15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)高度 Hf=100km，月球平均半徑為 R=1737.013km，軌道為橢圓。如圖 5.1.1.1.圖 5.1.1.1 近月軌道示意圖（為了方便示意，本圖不符合比例）由開普勒定律，任何橢圓天體軌道的中心天體

17、一定在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。則由橢圓幾何性質(zhì)，可以近似得出方程：a+c=Hf+Ra-c=Hc+R聯(lián)系萬有引力定律與牛頓第二定律，可以列出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：ìMmv2rïG 0 = mfï (a+ c)20ífïMmv2G 0 = m c îrcï(a- c)200其中 M = 7.3477´1022 kg 為月球質(zhì)量，G=6.672´10-11 為引力常量，m = 2.4t 為在近月軌道上飛行器的質(zhì)量， r f 與 rc 為遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)的曲率半徑。由橢圓的幾何性質(zhì)，在長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的曲率半

18、徑分別為：rìïï cí2= b = (a - c)(1+ e) aa2ïr =ïî f聯(lián)立以上各式，帶入?yún)?shù)，得：= (a + c)(1- e)b近月點(diǎn)速度大小vc = 1692.46m / s ； 遠(yuǎn)月點(diǎn)速度大小vf = 1614.15m / s 。由假設(shè) 2，月球視為球體，則近月點(diǎn)處速度方向方向應(yīng)平行于月面且為了著陸方便，方向指向預(yù)定著陸點(diǎn)所在方向，遠(yuǎn)月點(diǎn)處同樣平行月面但速度方向與之相反。下面開始研究主減速過程，該過程由近月點(diǎn)開始，切向速度vq (0) = vc ，徑向速度vr 等于0，由切線正切制導(dǎo)率及相關(guān)報(bào)道可知，

19、該階段推力始終保持最大推力，且始終調(diào)整使推力與速度方向相反，即 F º 7500N ，F(xiàn) v ，最終應(yīng)大致達(dá)到預(yù)定著陸點(diǎn)目標(biāo)上空，且豎直方向速度為 57m/s，高度共下降 12000m。由于有端點(diǎn)限制條件，可以通過物理知識(shí)建立微分方程組，即采用微分方程模型進(jìn)行分析求解。由于飛行器繞月球表面飛行，且切向速度較大，在月心極坐標(biāo)系下必須考慮向心力和科里奧利力，且涉及轉(zhuǎn)動(dòng)變量，較為復(fù)雜。這里采用參考系轉(zhuǎn)化，將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為非慣性參考系，并對(duì)該系中所有質(zhì)點(diǎn)提供一個(gè)向上的離心力，大小由水平速度與質(zhì)點(diǎn)到月心距離決定：v2F = m x dr這樣，問題就轉(zhuǎn)化到了平面直角坐標(biāo)系下，并且可以對(duì)速度和受力

20、進(jìn)行正交分解，如圖。圖 5.1.1.2 非慣性系下力學(xué)分析圖示由此可得微分方程模型：ì dvyGMv2ï= -+ x + a × sin bï dtr 2rïïdvx = a × cos b - vx vyïdtrïdr = vídtym0 - mtïïïa =Fïïïvy = tan bîvx其中 r 為飛行器到月心的距離， 為推力與水平方向的夾角，a 為推力產(chǎn)生的加速度， 整個(gè)過程中質(zhì)量是勻速減少的，減少系數(shù)由比沖與推力定

21、義，即 F =n m ，本題中n =2940N / kg 。至此，本問題已經(jīng)完全抽象為數(shù)學(xué)語言，并且有初始參數(shù)：vy = 0 ， vx = 1692.46m / s ， r = 1749.37km ， b =0理論上可求得當(dāng)高度下降 12000m 時(shí)速度方向大小以及飛行距離，但這個(gè)方程組要想解出一個(gè)描述運(yùn)動(dòng)軌跡的函數(shù)是十分困難的，因此，需要另尋它路，逼近它的解。5.1.2 模型求解本題由方程組反推運(yùn)動(dòng)方程是十分困難的，但這類問題就像是解決 NP 難題一樣，無法由問題得到結(jié)論，但可以“猜測(cè)”結(jié)論從而驗(yàn)證問題的正確性，繼而得到想要的數(shù)據(jù)?；仡櫛绢}，之所以無法解決是因?yàn)槲⒎址匠痰倪B續(xù)性，這種連續(xù)性計(jì)

22、算機(jī)很難求解，但若是讓該組方程做某種近似，使之轉(zhuǎn)化為差分方程，從而利用差分方程的離散型導(dǎo)出差分方程組。輸入初始條件，使用計(jì)算機(jī)模擬其運(yùn)動(dòng)過程，最后打點(diǎn)畫出折線圖。由微元思想可知， 當(dāng)時(shí)間被微分成足夠小的時(shí)候，模擬的運(yùn)動(dòng)軌跡可認(rèn)為無限逼近真實(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡。微元化后的差分方程依然可以有運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得出：ì v= v- (a× cos b+ vxn vyn ) × tïxn+1ïïxnnnnrGMv2ïvyn+1ï= vyn + ( 2rn- an × sin bn- xn ) × t rnï&#

23、239;an =ïïím= mFmn- m × tïn+1nïrn+1 = rn - ynï12ïxn+1 = xn + vxn × t -ï2 an cos bn × tïïyn+1ïïî= yn + vyn× t - 1 a2n sin bn× t 2其中 為時(shí)間微元小量，由于減速段大約幾百秒，為了精確描繪運(yùn)動(dòng)曲線 一般取 0.1s。帶入初始條件：F = 7500N ， m0 = 2400kg ， b0 =0 ，

24、 x0 = 0 ， y0 = 0 ， vx0 = 1692.46m / s ， vy0 = 0即可通過迭代法，求出在 y=3000m 時(shí)的 x 的值，該值即為飛行器轉(zhuǎn)過的角度所對(duì)應(yīng)的月面弧長(zhǎng)。但是仿真結(jié)果表明，當(dāng)高度降至 3000m 時(shí)，速度并不為 57m/s，而且遠(yuǎn)大于這一數(shù)值，顯然，是我們采用的控制方案不合題意。重新考慮這一過程，應(yīng)該是豎直方向分力不夠，導(dǎo)致豎直速度分量增加過快。之后在了解了嫦娥三號(hào)實(shí)際登月過程后，我們發(fā)現(xiàn)這一過程中推力并非與速度方向相反，而是始終與速度反方向保持一個(gè)角度 ，并向曲線內(nèi)側(cè)傾斜。于是我們通過改變 的大小，試圖輸出大量運(yùn)動(dòng)軌跡簇，這一過程由計(jì)算機(jī)模擬生成。通過計(jì)

25、算機(jī)仿真模擬，得到非慣性參考系下的運(yùn)動(dòng)軌跡簇。其中可以發(fā)現(xiàn)，在 取時(shí)，高度 3000m 處豎直方向速度為，在誤差允許的范圍內(nèi)可以接受，由此得出符合題意的主減速階段飛行軌跡圖，如圖 5.1.1.4.圖 5.1.1.4 主減速階段飛行軌跡圖（非慣性參考系）圖 5.1.1.5 水平與豎直速度變化示意圖圖 夾角變化示意圖得到弧長(zhǎng)為，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)過角度為，所用時(shí)間為。由于推力大小不變，由時(shí)間即可得出此階段燃耗。該階段內(nèi)水平方向與豎直方向速度變化如圖 5.1.1.5.可以看出，水平速度不斷下降，而豎直方向速度先增大后減小，合速度 57.12m/s，符合題意。水平總位移為 385.21km。雖然該階段末并不是準(zhǔn)確

26、到達(dá)預(yù)定著陸點(diǎn)上空，需要經(jīng)過快速調(diào)整階段才能準(zhǔn)確到達(dá)， 但題目表述中明確指出該處以基本到達(dá)目標(biāo)上空，再加之段末水平速度分量相比初始速度已經(jīng)十分小，快速調(diào)整階段又很迅速，即快速調(diào)整階段對(duì)到目標(biāo)點(diǎn)上空距離的影響十分小，相比主減速段弧長(zhǎng)可以忽略，即認(rèn)為主減速末段已經(jīng)到達(dá)目標(biāo)上空。由此，我們結(jié)合弧長(zhǎng)與轉(zhuǎn)角可以計(jì)算近月點(diǎn)所在范圍。由于該角度可在以預(yù)定落點(diǎn)為圓心的球面圓上任意選取，考慮到當(dāng)天月球月面范圍，降落過程應(yīng)基本暴露在有光月面一側(cè)， 以便拍攝或信息收集，并且一般選擇軌道時(shí)為了方便計(jì)算控制，軌道平面會(huì)與落點(diǎn)所在經(jīng)線平面基本重合，即近月點(diǎn)經(jīng)度也為 19.51°W，緯度應(yīng)更加靠近赤道，從而保證降

27、落過程全程在光側(cè)面，最終確定緯度位置為 31.50°N 。由月球的球?qū)ΨQ性，遠(yuǎn)月點(diǎn)緯度南北對(duì)調(diào)，經(jīng)度東西對(duì)調(diào)，角度互補(bǔ)。最終結(jié)論，近月點(diǎn)位置為 19.51°W ，31.50°N ，距月面 15km，速度為 1692.46m/s；遠(yuǎn)月點(diǎn)位置為 160.49°E ，31.50°S ，距月面 100km，速度為 1612.15m/s。5.2 問題二本題為典型的多因素優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)是減少燃料損耗，并且通過圖像分析選擇最為平坦的地區(qū)著陸。由于燃料損耗直接與推力有關(guān)，即 F =n m ，其中n =2940m / s 為燃料比沖，也就有ò Fd

28、t = n ò mdt該式左邊為推力對(duì)時(shí)間的積累量，即推力所做的沖量；右邊為燃料損耗對(duì)時(shí)間的積累， 即一定時(shí)間內(nèi)的燃料損耗總量。由于比沖為常數(shù)，因此推力沖量與燃耗成正比例關(guān)系，從而使優(yōu)化目標(biāo)與力學(xué)量直接聯(lián)系，便于分析。另外，由動(dòng)量定理mdv = Fdt ，在近似處理下，也可將燃耗與速度變化聯(lián)系在一起。5.2.1 過程一模型建立與求解由 5.1 計(jì)算過程可知，主減速段是著陸過程用時(shí)最長(zhǎng)，燃耗最多的階段。該階段的主要任務(wù)是消除較大的初始水平速度, 因此推進(jìn)劑消耗優(yōu)化是該階段優(yōu)化的主要設(shè)計(jì)目標(biāo)，也是整個(gè)著陸軌道燃耗優(yōu)化的重中之重。嫦娥三號(hào)的主減速階段是從近月點(diǎn)開始下降到距離預(yù)定地點(diǎn) 3 k

29、m 處，這一過程的時(shí)間比較短，僅有幾百秒的時(shí)間，所以可以不考慮月球引力攝動(dòng)。月球自轉(zhuǎn)速度比較小 , 也可忽略 。所以，可以僅僅對(duì)月球和嫦娥三號(hào)進(jìn)行分析，將問題轉(zhuǎn)化為二體模型，如圖。以月心為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)嫦娥三號(hào)的月心距為r ，極角為q ，角速度為w ，質(zhì)量為m ；又設(shè)v 為嫦娥三號(hào)沿r 方向上的速度， F 為主減速發(fā)動(dòng)機(jī)的推力（在本題中為固定值），發(fā)動(dòng)機(jī)推力與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角即為推力的方向j ，比沖為 ISP ；設(shè)月球的引力常數(shù)為 m 。圖 5.2.1.1 二體模型力學(xué)分析示意圖首先，從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度進(jìn)行分析。由動(dòng)力學(xué)基本方程可得dr = tdv ，所以 dr = v dt同理，可以

30、得到角度變化的關(guān)系式為 dq = wdt圖 5.2.1.2 受力分析示意圖再從動(dòng)力學(xué)角度進(jìn)行分析。如圖，對(duì)嫦娥三號(hào)進(jìn)行受力分析可知。在徑向上，受到萬有引力 FGM mmm=月 =以及主減速發(fā)動(dòng)機(jī)在徑向上的分力Fsinj 。引r 2r 2由此，根據(jù)牛頓第二定律可以得到：=mmmv2r 2rFsin j = m dvdt聯(lián)立，可得 mm - Fsin j = mv -dv= w2m，利用公式vr 化簡(jiǎn)該式可得：r 2rdtdv = F sin j - m + rw2dtmr 2再對(duì)切向上的受力進(jìn)行分析，此處需要注意到我們選擇參考系月球自身的自轉(zhuǎn)，是一個(gè)非慣性參考系。因此，嫦娥三號(hào)除了受到主減速發(fā)動(dòng)

31、機(jī)推動(dòng)力的分量Fcosj 的作用，還需要計(jì)入大小為2vw 的科里奧利力，根據(jù)右手定則可以確定其方向?yàn)榍邢?。由牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)第二定律可以得到F cosj + 2vw = -m dvy 。同樣，利用vdty= rw 化簡(jiǎn)可以得到：F * cosj + 2* v *wdw =- m.dtr由于飛船在運(yùn)行過程利用燃料反沖制動(dòng)，因此飛船得而質(zhì)量是不斷變化的。考慮比沖的定義為“火箭發(fā)動(dòng)機(jī)單位質(zhì)量推進(jìn)劑產(chǎn)生的沖量”可得：dm =- F。dtISP綜上所述，聯(lián)立式，即可得到完整的描述嫦娥三號(hào)與月球這一二體運(yùn)動(dòng)模型的方程組：dr = v dtdv = F sin j - m + rw2dtmr 2dq = wdtF

32、 cosj + 2vwdw =- mdtrdm =- F dtISP對(duì)于嫦娥三號(hào)燃料使用指標(biāo)的衡量，我們可以反映到其動(dòng)量上去，即將動(dòng)量作為衡量燃tf FI料消耗的性能指標(biāo)。由質(zhì)量變化的推導(dǎo)，我們可以得到 J = òt0 SPdt 。在軌道優(yōu)化過程中 , 由于各狀態(tài)變量的量級(jí)相差較大 , 尋優(yōu)過程中可能會(huì)導(dǎo)致有效位數(shù)的丟失2。歸一化處理可以克服這一缺點(diǎn)，提高計(jì)算精度。另外，由于對(duì)軌道的優(yōu)化也要求優(yōu)化變量盡可能地保持在相同的量級(jí)，故作以下處理：令： rref= r0, mref = m0 .mrrefrrefmrv Fm v2 m則： r =, v =, v=, I= I, F =, F

33、=ref ref, m =,rrefvrefrefSPSPFrefrefrrefmrefr3refm r w = w, t =t tref, tref= refvref, q = q .那么，嫦娥三號(hào)的動(dòng)力學(xué)方程可改寫為：dr = v dt d v = F sin j - 1 + rw2d tmr 2dq = wdt F cosj + 2vwdw =- mdtrd m =- F dtISP又由第一問可以得到飛行器的初始條件和終端條件分別為:vr 0 = 0v = 0vq 0= 1692.46m / srfq fv= 57m / sr0 = 1749.372km注：此處的終端條件中，徑向速度和切

34、向速度為理想情況下的結(jié)果，實(shí)際只能得到最優(yōu)化的值。使用歸一化條件可以得到初始條件和終端條件分別變?yōu)椋簐r 0 = 0vrf = 0vq 0= 1692.46 m / s vrefvq f= 57vrefm / s0r = 1749.372 km rref在考慮燃料最優(yōu)的情況，并要保障水平速度幾乎減到0m / s 的前提下，可以選擇推力較大的發(fā)動(dòng)機(jī)完成軟著陸任務(wù)，即 F = 7500N 。由此可以得到優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：tf FFIJ = òt0dt=t f SPISP其中，推力 F 和比沖 ISP都是定值，所以即要求時(shí)間最短的方案。最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法主要包括直接法和間接法，對(duì)上述最

35、優(yōu)控制問題，使用一種直接方法參數(shù)化方法進(jìn)行求解3。即作如下的假設(shè)：推力方向角q 可以表示成一個(gè)多項(xiàng)式的形式：q = å a t6iii =0由此，對(duì)于所描述的問題可由一個(gè)有約束條件的非線性規(guī)劃問題描述。由于確定了嫦娥三號(hào)的推力，那么在確定變量為 a0 到a6 七個(gè)變量后，根據(jù)所建立的二體模型方程即可確定運(yùn)行的軌跡，所以此處需要優(yōu)化的參數(shù)為 a0 到 a6 七個(gè)變量，問題的約束條件為歸一化后的f動(dòng)力學(xué)方程以及初值條件和終端條件。由此需要求出燃料最優(yōu)化方案，即性能指標(biāo) J = F tISP的最小值。對(duì)以上轉(zhuǎn)化出來的問題，我們利用浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法（FGA）進(jìn)行求解。其步驟如下：1. 將

36、 7 個(gè)取值范圍給定的優(yōu)化參量按一定的浮點(diǎn)數(shù)編碼排列在一起成為一個(gè)個(gè)體， 隨機(jī)產(chǎn)生 2000 個(gè)這樣的個(gè)體作為初始種群；2. 通過編寫的適應(yīng)函數(shù)計(jì)算每一個(gè)個(gè)體的性能指標(biāo)；3. 使用輪盤賭法作為選擇算子并對(duì)這 N 個(gè)個(gè)體進(jìn)行排序；4. 選擇出若干個(gè)性能指標(biāo)取值較優(yōu)的個(gè)體保留，并將其遺傳到下一代；5. 將個(gè)體隨機(jī)兩兩配對(duì)，按照既定的交叉概率進(jìn)行交叉操作；6. 對(duì)每一個(gè)個(gè)體中的每一個(gè)參數(shù)，按照既定的變異概率進(jìn)行編譯操作；7. 若滿足收斂條件則輸出最優(yōu)解，否則繼續(xù)進(jìn)行編碼、評(píng)價(jià)、選擇、交叉和變異等操作。通過對(duì)約束條件的分析，可以選擇交叉概率為 0.6，變異概率為 0.05。-2通過計(jì)算機(jī)仿真模擬，由遺

37、傳算法規(guī)劃出的角度隨時(shí)間控制函數(shù)參數(shù)向量的取值為：(a0a6 ) = (7.58´107.01´10-54.30 ´10-6-8.12 ´10-86.03´10-10-1.60 ´10-121.40 ´10-15 )運(yùn)動(dòng)軌跡見圖 5.2.1.2.圖 5.2.1.3 運(yùn)動(dòng)軌跡圖圖 5.2.1.4 速度對(duì)比圖圖 5.2.1.5 角度變化圖當(dāng)下降 12000m 時(shí)速度 v=57.12m/s， 水平方向與垂直方向分別為 vx = 48.63m / s ，vy = 29.96m / s ，符合題意。整 個(gè) 過 程 耗 時(shí) 413.2s

38、 ， 由 于 推 力 F 恒為 7500N ， 因 此 該 階 段 燃 料 消 耗 為J = Ft = 1055.39kg ，剩余質(zhì)量 1344.61kg，水平位移為 385.21km。1n5.2.2 過程二模型建立與求解快速調(diào)整階段主要任務(wù)有兩個(gè)：一是在主減速階段完成的基礎(chǔ)上，將嫦娥三號(hào)水平方向的速度減到0m / s ；二是快速調(diào)整嫦娥三號(hào)的姿態(tài)，使推力方向和所收到的引力方向基本一致。在該階段，考慮讓 F 的方向逐漸調(diào)整到豎直方向，并且在調(diào)整的過程中（即下落的600m 距離內(nèi)），將水平方向的速度減少到0m / s 。圖 5.2.1.6 受力分析示意圖由此，首先進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。在水平方向上，速

39、度最終減小為有0m / s ，所以有dvx = adtx在豎直方向上，由加速度的定義，有這樣的關(guān)系：dvy = adty然后，在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析。在水平方向上，根據(jù)牛頓第二定律可以得到：F cosj = max在豎直方向上，不妨設(shè)月球的重力加速度為 gm2，其值由黃金代換公式GM = gm R 可以確定。那么同理可以得到：mgm - F sinj = may至此，受力分析完畢。而另一方面，考慮到減速過程中燃料的消耗對(duì)質(zhì)量產(chǎn)生影響， 有：dm =- FdtISP綜合，式可以得到描述該階段運(yùn)行的方程：F cosj = m dvxdtmgm- F sin j = m dvydtdm =- F dtIS

40、P由主減速階段的終值以及快速調(diào)整階段的要求可以得到該方程初始條件和終端條件分別為：vx0 = 48.63m / svxf= 0m / svy 0 = 29.96m / sm0 = 1344.61kgj f = 90ooq f = 90而力 F 的取值范圍為1500N <= F <= 7500N 。最優(yōu)控制問題的數(shù)值方法主要包括直接法和間接法，對(duì)上述最優(yōu)控制問題，使用一種直接方法參數(shù)化方法進(jìn)行求解3。即作如下的假設(shè)：推力 F 可以表示成一個(gè)多項(xiàng)式的形式：6t fF = å a ti 。另外，在快速調(diào)整階段，燃料的性能指標(biāo)同樣為 J =F dt 。ii =0òt0

41、SPI綜上所述，即可將求解快速調(diào)整階段的問題轉(zhuǎn)換成這樣的一個(gè)非線性規(guī)劃問題：需要優(yōu)化的參數(shù)為a0 到a6 以及j 、q 九個(gè)變量，問題的約束條件為方程組以及初值條件和終端條件。由此需要求出燃料最優(yōu)化方案，即性能指標(biāo) J 的最小值。同樣使用浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法來解決該非線性規(guī)劃問題，由于具體步驟與主減速階段基本一致，故此處不再贅述。在這樣的算法下，求得的最優(yōu)解為：vx = 0m / svy = 29.96m / sj = 90oq = 90oF = 3928.115Nt = 20.027s J2 = 26.71kg5.2.3 過程三模型建立與求解粗避障段的范圍是距離月面 2.4km 到 100m

42、 區(qū)間，其主要是要求避開大的隕石坑，實(shí)現(xiàn)在設(shè)計(jì)著陸點(diǎn)上方 100m 處懸停，并初步確定落月地點(diǎn)。嫦娥三號(hào)在距離月面 2.4km 處對(duì)正下方月面 2300×2300m 的范圍進(jìn)行拍照，獲得數(shù)字高程，嫦娥三號(hào)在月面的垂直投影位于預(yù)定著陸區(qū)域的中心位置。該高程圖的水平分辨率是 1m/像素，其數(shù)值的單位是 1m。由附件 3 所提供的灰度圖，獲取各像素點(diǎn)高程，統(tǒng)計(jì)各高程數(shù)據(jù)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)，繪制高程數(shù)量分布曲線圖，如圖 。圖 5.2.3.1 高程數(shù)量分布曲線圖由高程圖大致可以發(fā)現(xiàn)，在高程約為 95m 時(shí)有最高點(diǎn)，120m 以上或 80m 以下數(shù)量明顯下降，據(jù)觀測(cè)可以認(rèn)為平坦的區(qū)域的高程大致在 80m

43、 到 120m 之間，于是應(yīng)大致將高程劃分為三個(gè)組，低于 80m 的區(qū)域較暗，高于 120m 的區(qū)域較亮，輸出的圖像上大致可以分辨出較大的隕石坑，但是小隕石坑仍然無法與平地區(qū)分，因此需要從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度合理劃分。通過對(duì)全部高程數(shù)據(jù)進(jìn)行 K 均值聚類分析，并設(shè)置聚落數(shù)，經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)當(dāng)聚落數(shù)為 5時(shí)，可以較為清楚的區(qū)分出隕石坑與平地，如圖 。圖 5.2.3.2 聚落色階圖聚類中心值分別為 92.4595，113.8753，138.4552，168.0559，44.6447，平坦區(qū)域聚類編號(hào)為 1。圖中可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平坦度造成影響的障礙地形大致分為三類：過高障礙區(qū)域，過低障礙區(qū)域，條紋障礙區(qū)域。通過排除

44、 1 以外的聚類編號(hào)，可以準(zhǔn)確排除前兩種障礙區(qū)域，但是第三種條紋障礙區(qū)域無法去除，地圖上會(huì)留下數(shù)個(gè)環(huán)形地帶。至此為止，圖像分析基本完成，但由于此處降落點(diǎn)的調(diào)整同時(shí)受制于落點(diǎn)平坦度與落點(diǎn)偏移量，即落點(diǎn)到圖像中心的直線距離，因?yàn)檫@一距離會(huì)導(dǎo)致飛行器水平?jīng)_量的積累，燃耗增加，偏離最優(yōu)解。因此，有必要制定數(shù)字評(píng)價(jià)手段，通過地圖中現(xiàn)有參數(shù)，對(duì)平坦度以及偏移量做出數(shù)字化的評(píng)價(jià)，綜合權(quán)重分配即可得出落點(diǎn)的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。下面先制定平坦度評(píng)價(jià)指標(biāo) P 。由圖像聚類結(jié)果，可以粗略將圖中像素點(diǎn)分為安全點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)。但考慮到 2300×2300 點(diǎn)數(shù)量實(shí)在太大，為了減少數(shù)據(jù)處理量，對(duì)地圖進(jìn)行柵格化， 每 5m

45、×5m，即 25 像素點(diǎn)作為一個(gè)柵格單元，根據(jù)格內(nèi)安全點(diǎn)與危險(xiǎn)點(diǎn)數(shù)量的多少定義該格為安全格或危險(xiǎn)格，這樣，地圖便被分為了 460×460 格的二元化柵格網(wǎng)絡(luò)。以任意一個(gè)安全格為中心，搜索其外圍 8 個(gè)方格，確認(rèn)其中無危險(xiǎn)格后，繼續(xù)擴(kuò)大一周考察范圍，如此循環(huán)，直到出現(xiàn)危險(xiǎn)格停止，記錄無危險(xiǎn)格的最大安全半徑 RS （以格數(shù)衡量，若第一圈就出現(xiàn)危險(xiǎn)格，則認(rèn)為半徑為 0 格）。 RS 越大，則認(rèn)為該格所在區(qū)域越安全，P 越高。由于平坦度僅與該因素有關(guān)，因此，若要將 RS 轉(zhuǎn)化為實(shí)際距離長(zhǎng)度，正比例系數(shù)應(yīng)取 5m，即 P = 5RS 。條紋障礙由于 P 非常小，可以有效排除。接下來考

46、慮落點(diǎn)對(duì)中心的偏移量的評(píng)估指標(biāo)。由于最終優(yōu)化目標(biāo)是燃耗最小，因此有必要先確定粗調(diào)整階段下落規(guī)則。由于該階段推力不算很大，時(shí)間較短，可在分析階段忽略質(zhì)量變化。假設(shè)水平偏移量為 X，下降高度 H3 =3200m 已知，在忽略質(zhì)量變化的前提下，水平方向運(yùn)動(dòng)可以與豎直方向運(yùn)動(dòng)在滿足 F 2 £ F 2 + F 2 £ F 2的約束下完全獨(dú)立，為了進(jìn)一步簡(jiǎn)minxymax化水平方向運(yùn)動(dòng)優(yōu)化過程，認(rèn)為豎直方向?yàn)閯蛩傧陆颠^程，這樣，下落時(shí)間變?yōu)槎ㄖ怠?由于動(dòng)量定理我們知道，水平方向動(dòng)量的變化就是該階段水平運(yùn)動(dòng)消耗的燃料，m 一定， 則速度vx 變化越小，沖量越小，燃耗越小，若在下面的v

47、- t 圖像 5.2.3.3 中，可以很明確的知道，速度曲線 2 要比速度曲線 1 燃耗小，由此，可以建立這樣的局部?jī)?yōu)化策略。圖 5.2.3.3 速度曲線對(duì)比圖通過該階段的始末速度限制可知，初始水平速度為 0，豎直速度vy0 由上一階段得出；段末懸停，速度為 0。由此可見，要節(jié)省水平方向的燃耗，應(yīng)最快的增大vx ，接著勻速運(yùn)動(dòng)， 最后對(duì)應(yīng)最快的減小vx 至 0，從而完成該偏移過程。因此在水平加速與減速階段所受推力應(yīng)有 Fx =F2max- F 2 =ma ，同時(shí)，豎直方向勻減速yv2H運(yùn)動(dòng)，應(yīng)有 F 為常數(shù)，水平方向位移與速度關(guān)系為 X = v t - x ，同時(shí)t = 3 ，沖量變化即可yy

48、xav表示燃耗變化，有J = 2mvx ，基本認(rèn)為 J µ v 且聯(lián)立前面各式可以發(fā)現(xiàn)v 與 X 有以下關(guān)系：3n3xxHv2x 3 v vy- x = X a即vx 與 X 有過原點(diǎn)的二次曲線遞增關(guān)系，X 在 500m 以內(nèi)較為平緩，可認(rèn)為是線性關(guān)系，但隨著 X 繼續(xù)增大， vx 將明顯增大，付出的燃耗代價(jià)也會(huì)加速上升。因此，對(duì)于水平偏移量的評(píng)估權(quán)重應(yīng)為非線性加權(quán)。設(shè)偏移量評(píng)估指標(biāo)為l ，則為了盡量淡化邊緣區(qū)域的影響，應(yīng)以偏移中心的距離 X 為自變量建立指數(shù)遞減模型，即l = A - BepX ，其中 A 決定了中心點(diǎn)指標(biāo)大小，B 決定了指標(biāo)衰減幅度，p 決定了指標(biāo)靠近邊緣時(shí)的衰減

49、速度。經(jīng)過與平坦度評(píng)價(jià)指標(biāo)的具體值相比較， 最終決定，A 取 200，B 取 2.4，p 取 0.0027， l = 200 - 2.4e0.0027 X ，方程曲線如圖 5.2.3.4.圖 5.2.3.4 偏移量評(píng)價(jià)函數(shù)曲線圖最終制定綜合評(píng)估指標(biāo) H = P + l ，作為一個(gè)方格對(duì)于降落點(diǎn)優(yōu)先級(jí)的考量，指標(biāo)評(píng)估值越高，則該方格作為最佳著陸點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)越高。對(duì)柵格化地圖遍歷并計(jì)算后得到如圖 5.2.3.5 的結(jié)果。圖 5.2.3.5 綜合評(píng)估地圖可以發(fā)現(xiàn)，圖中靠近中央有一峰值明顯比周圍峰值高，參照?qǐng)D 5.2.3.3 中坐標(biāo)，該最優(yōu)方格的坐標(biāo)為（1275m，1000m），水平偏移量 X 為 19

50、5.26m，由之前公式可以粗略計(jì)算出水平方向最大速度vx = 1.87m/s，用時(shí)t3 = 102.51s，燃耗 J3 » 86.97kg。5.2.4 過程四模型建立與求解精細(xì)避障段的區(qū)間是距離月面 100m 到 30m。要求嫦娥三號(hào)懸停在距離月面 100m 處， 對(duì)著陸點(diǎn)附近區(qū)域 100m 范圍內(nèi)拍攝圖像，并獲得三維數(shù)字高程圖。分析三維數(shù)字高程圖， 避開較大的隕石坑，確定最佳著陸地點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)在著陸點(diǎn)上方 30m 處水平方向速度為 0m/s。該數(shù)字高程的水平分辨率為 0.1m/像素，高度數(shù)值的單位是 0.1m。此階段由于地圖僅有 100m×100m 的大小，水平偏移量最大也只

51、是 71m，對(duì)燃耗的影響實(shí)在太小，作為最終綜合評(píng)估指標(biāo)中所占的權(quán)值實(shí)在太小，可忽略不計(jì)，但由于要精確降落，對(duì)于地圖平坦度的分析所要考慮的因素不僅有安全半徑大小 RS ，而且還要同時(shí)考慮到安全格內(nèi)的平均坡度j 。由于在過程三中我們已經(jīng)詳細(xì)討論了最大安全半徑的獲得方法，這里不再贅述。本次柵格化考慮到像素為 0.1m，而飛行器本身體積較大，為了綜合考慮，應(yīng)將單元格大小取為 5m×5m，即 50×50.聚類分析結(jié)果如圖 5.2.4.1.圖 5.2.4.1 聚類色階圖本次五類聚落中心值按照編號(hào)由小到大分別為 41.2624，111.6007，90.2679，157.2982， 圖中

52、3 表示平坦地區(qū)，即安全格。最大安全半徑分析計(jì)算，結(jié)果如圖 5.2.4.2.圖 5.2.4.2 最大安全半徑色階圖下面重點(diǎn)探討如何得到柵格內(nèi)的平均坡度。首先，需要通過一定方法擬合出每一個(gè)方格內(nèi)平均坡面，再由該坡面法向量方向計(jì)算出該坡面法向量與豎直方向的夾角（弧度制）作為衡量該坡面平均坡度的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)圖像做如此處理后得到的坡度分析如圖 5.2.4.3.圖 5.2.4.3 平均坡度色階圖下面制定坡度評(píng)價(jià)指標(biāo)F 。由于代表平均坡度的夾角越小越好，并且應(yīng)突出小坡度的比重，因此，依然考慮非線性加權(quán)法，本次加權(quán)可直接對(duì)弧度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)歸一，找出上下界，并將下界作為 0，上界作為 1，然后進(jìn)行數(shù)值翻轉(zhuǎn)，即可得到弧

53、度由小到大對(duì)應(yīng)指標(biāo)由 0 到 1的坡度評(píng)價(jià)指標(biāo)，即F = 1- j Î (0,1) ，然后將其作為優(yōu)化系數(shù)與平坦度評(píng)價(jià)指標(biāo)相耦jmax - jmin合即可完成非線性加權(quán)，最終所得到的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo) H = F × P 作為著陸點(diǎn)優(yōu)先級(jí)的評(píng)估指標(biāo)，得到的結(jié)果如圖 5.2.4.4.圖 5.2.4.4 綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)色階圖可以看到，圖中有兩部分區(qū)域明顯高于其他區(qū)域，最終選擇指標(biāo)最大值，以圖 5.2.4.2 中坐標(biāo)系參考坐標(biāo)位于（88m，56m）的方格作為最終著陸點(diǎn)，水平偏移 X = 38.47m。為了獲得此階段最優(yōu)策略，各方向應(yīng)按照先盡快加速至勻速在盡快減速，力學(xué)方程和限制條件如下：

54、ìv2ïv t - x = Xxïxaïïívy t -ï2 (a2v)y= Hy - gmïFï(a2 + a2 ) = max 4ïîxym目標(biāo)函數(shù)為 J4 = 2mvx + mvy + mgmt 要盡可能小。在該動(dòng)態(tài)規(guī)劃下可以得出最佳數(shù)值分配為：豎直緩速下降所用時(shí)間t = 25.65s，水平最大速度為vx = 1.44m/s，燃耗 J4 = 20.68kg，段末質(zhì)量m4 = 1210.25kg。5.2.5 過程五模型建立與求解緩速下降階段的區(qū)間是距離月面 30m 到 4m。該階段的主要任務(wù)是控制著陸器在距離月面 4m 處的速度為 0m/s，即實(shí)現(xiàn)在距離月面 4m 處相對(duì)月面靜止，之后關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，使嫦娥三號(hào)自由落體到精確落點(diǎn)。由上一個(gè)階段末狀態(tài)可知，飛行器水平速度分量已減為 0，則顯然本次運(yùn)動(dòng)為一個(gè)減速運(yùn)動(dòng)，為了保障安全性，應(yīng)將速度和加速度減至 0，則該階段應(yīng)設(shè)計(jì)為勻減速直線運(yùn)動(dòng)。由于此階段時(shí)間較短，推力不大，質(zhì)量減少（幾十 kg）相比飛行器本身質(zhì)量（1t）來說可以忽略不計(jì)，則由動(dòng)量定理，設(shè)此階段初始狀態(tài)豎直速度分量為v5 ，質(zhì)量為m5 ，則ò Fdt = m5