2009年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(新知杯)試題及答案

1、2009年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試卷（2009年3月22日 星期日 上午8：3010：30）【說明】解答本試卷不得使用計(jì)算器一、填空題（本題滿分60分，前4小題每小題7分，后4小題每小題8分）1. 設(shè)，則的最小值是 。2. 已知，且，則將表示成的函數(shù)，其解析式是 。3. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是 。4. 滿足方程的所有實(shí)數(shù)對(duì) 。5. 若 表示不超過實(shí)數(shù) 的最大整數(shù)，則方程 的解是 。6. 不等式的解集是 。7. 設(shè)是由不超過的所有正整數(shù)構(gòu)成的集合，即，集合，且中任意兩個(gè)不同元素之差都不等于，則集合元素個(gè)數(shù)的最大可能值是 。8. 給出一個(gè)凸邊形及其所有對(duì)角線，在以該凸邊形的頂點(diǎn)及所

2、有對(duì)角線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至少有兩個(gè)頂點(diǎn)是該凸邊形頂點(diǎn)的三角形有 個(gè)。二、解答題9.（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)定義于閉區(qū)間，滿足，且對(duì)任意，都有，其中常數(shù)滿足，求的值。10. （本題滿分14分）如圖，是雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與雙曲線的右支交于點(diǎn)，問直線是否一定過軸上一定點(diǎn)？如果不存在這樣的定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由；如果存在這樣的定點(diǎn)試求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。11. （本題滿分16分）設(shè)是集合的兩個(gè)不同子集，使得不是的子集，也不是的子集，求不同的有序集合對(duì)的組數(shù)。12. （本題滿分16分）設(shè)正整數(shù)構(gòu)成的數(shù)列使得對(duì)一切恒成立。記該數(shù)列若干連續(xù)項(xiàng)的和為，其中，且。求證：所有構(gòu)成的集合等

3、于。2009年上海市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（新知杯）試卷參考答案一、1、； 2、； 3、； 4、5、或； 6、； 7、； 8、。二、9、解：因?yàn)椋?8分由此得，而，所以 14分10、解法一：，將軸向右平移個(gè)單位，使點(diǎn)成為新直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，在新坐標(biāo)系下，雙曲線的方程為，即 (*)若軸，則，即，代入（*）式可得，進(jìn)而。所以，則點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。 5分若不垂直軸，設(shè)，則，于是（*）可以改寫成，即該方程的兩個(gè)根既是的斜率。因?yàn)椋裕?10分所以，故所以過定點(diǎn)，則點(diǎn)在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為。綜上所述，直線過軸上的定點(diǎn) 14分解法二：設(shè)直線的斜率為由，同理得當(dāng)時(shí)，所以過 8分當(dāng)時(shí)，由直線的方程得， 10分所以，直線過軸上的定點(diǎn) 14分11、解：集合有個(gè)子集，不同的有序集合對(duì)有組。 2分若，并設(shè)中含有個(gè)元素，則滿足的有序集合對(duì)有組 8分同理，滿足的有序集合對(duì)也有組。 10分所以，滿足條件的有序集合對(duì)的組數(shù)為組。 16分12、證明：顯然 2分下證對(duì)任意，存在用表示數(shù)列的前項(xiàng)和，考慮個(gè)前項(xiàng)和： （1）由題設(shè) 6分另外，再考慮如下個(gè)正整數(shù)： （2）顯然 10分這樣（1），（2）中出現(xiàn)個(gè)正整數(shù)，都不超過，由抽屜原理，必有兩個(gè)