2線性微分方程的穩(wěn)定性及其應(yīng)用劉英波

1、論文題目：線性微分方程的穩(wěn)定性及其應(yīng)用 院 系： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 劉英波 學(xué) 號： 02211063 指導(dǎo)教師： 云文在 完成時間： 2006 年6月3日 線性微分方程的穩(wěn)定性及其應(yīng)用劉英波包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)系摘要：Lyapunov意義下的幾種穩(wěn)定性定義；線性系統(tǒng)的所有解具有相同的穩(wěn)性；線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性與吸引性等價；線性微分方程的穩(wěn)定性定理；Lyapunov穩(wěn)定性定理及其在線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：線性微分方程 穩(wěn)定性引言穩(wěn)定性的概念，最早來源于力學(xué)。李雅譜諾夫（Lyapunov）是第一位給出運動穩(wěn)定性數(shù)學(xué)定義的人，并提出了解決穩(wěn)定性問題的方法，從而奠

2、定了現(xiàn)代穩(wěn)定性理論的基礎(chǔ)。線性系統(tǒng)有著廣泛的實際背景，各種實例，俯拾即得；同時，又是非線性系統(tǒng)化的重要源泉。由于線性系統(tǒng)成立迭加原理，從而使解集構(gòu)成線性空間，并 且通解可以通過Cauchy矩陣來表達(dá)，使穩(wěn)定性理論有許多深刻的結(jié)果和特殊的方法。穩(wěn)定性、吸引性的定義考慮線性微分方程組 記,為含原點的空間的n維開子集。在中連續(xù)，簡記為, 分別為的定義域和值域。設(shè)方程 的Cauchy問題的解唯一，記,。設(shè)是的未受擾動的解，是的任意一個被擾動的解，作變換，則式化為 故式的解對應(yīng)著式的平凡解。因此只研究式的平凡解的穩(wěn)定性就夠了。設(shè)保證式的解的整體存在的唯一性，對任意的t,當(dāng)且僅當(dāng),時，是式的平凡解。以表示

3、式滿足初始值的解，設(shè)在上有定義。定義：若，當(dāng)時，對一切，有，稱方程的解是穩(wěn)定的；反之，稱方程的解是不穩(wěn)定的，即。定義：若，當(dāng)，對一切，有，稱方程的解是一致穩(wěn)定的。定義：若，當(dāng)，時，有，即，稱方程 的解是吸引的；若上述的T僅依賴于，不依賴于，即，稱方程的解是等度吸引的；若它是等度吸引的，且等度吸引中的不依賴于，不依賴于，即：。定義：稱方程的解分別是漸近穩(wěn)定，等度漸近穩(wěn)定，擬一致漸近穩(wěn)定的，若：1）它是穩(wěn)定的；2）它分別為吸引、等度吸引、一致吸引的。定義：稱方程的解是一致漸近穩(wěn)定的，若它是一致穩(wěn)定的和一致吸引的，且式的所有解是一致有界的（即,當(dāng)對一切成立）。例1 試判斷線性方程組的穩(wěn)定性解 通解為

4、，或，(與無關(guān)),當(dāng)時，就有，故平凡解一致穩(wěn)定。但故平凡解不是吸引的，從而不是漸近穩(wěn)定的。非齊次與齊次方程組穩(wěn)定性的關(guān)系考慮n維變系數(shù)非齊次線性方程組 及對應(yīng)的齊次方程組 其中,。若x,y是式的解，則也是式的解；若x,y分別是式的解，則x-y也是式的解。式的n個線性無關(guān)的解就構(gòu)成式的解空間的基。設(shè)是式的基解矩陣，則為式的標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣，又稱為 Cauchy矩陣。定義：若方程組的所有解具有某種穩(wěn)定性，則稱方程組具有這種穩(wěn)定性。定理:，方程組具有某種穩(wěn)定性,當(dāng)且僅當(dāng)式的解具有相同的穩(wěn)定性。推論:方程組具有某種穩(wěn)定性，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)哪骋粋€解具有同一種穩(wěn)定性。推論:具有某種穩(wěn)定性，當(dāng)且僅當(dāng)方程組具有同一種穩(wěn)

5、定性，當(dāng)且僅當(dāng)方程組的零解具有同一種穩(wěn)定性。例2 線性控制系統(tǒng)的一般形式為其中為n維向量，為向量輸入函數(shù),為輸出函數(shù)，均為相應(yīng)維數(shù)的連續(xù)函數(shù)矩陣。我們只研究對應(yīng)的齊次系統(tǒng)的零解的穩(wěn)定性。齊次方程組穩(wěn)定性的幾個等價定理定理:方程組的平凡解穩(wěn)定(一致穩(wěn)定)的充要條件是它的Cauchy矩陣(有界(一致有界)。定理：方程組的平凡解漸近穩(wěn)定的充要條件是它的平凡解是吸引的。證 充分性 若式的平凡解吸引，則，使當(dāng)使時，取，便得到Cauchy矩陣的第k列，故有界，從而有界。由定理知式的平凡解穩(wěn)定，故充分性結(jié)論成立。必要性顯然成立。推論:方程組的平凡解一致漸近穩(wěn)定等價于平凡解一致吸引，且一致有界。定理:方程組的

6、平凡解漸近穩(wěn)定(一致漸近穩(wěn)定)的充要條件是的Cauchy矩陣。,且一致有界。證 充分性 因為且一致有界),故存在正常數(shù)，使得。由定理知式的平凡解穩(wěn)定(一致穩(wěn)定）,又由知式的平凡解吸引(一致吸引)。必要性 仿上面定理的證明蘊涵，且一致有界蘊涵，且一致有界，從而結(jié)論成立。線性微分方程的穩(wěn)定性定理考慮齊次線性方程組 當(dāng)是n階常數(shù)矩陣時，它的任一解均可表為形如的線性組合，這里為方程組的系數(shù)矩陣的特征方程的根，為零或正整數(shù)。定理：設(shè)齊次線性方程組的矩陣為常矩陣，則1）零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的全部特征根的實部是非正的，并且那些實部為零的特征根所對應(yīng)的若爾當(dāng)塊都是一階的；2）零解是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)矩

7、陣的全部特征根都有負(fù)的實部；3）零解是不穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的特征根中至少有一個實部為正或者至少有一個實部為零，且它所對應(yīng)的若爾當(dāng)塊都是高于一階的。定理：對于一元n次常系數(shù)代數(shù)方程 其中，做行列式，當(dāng)時，則式的所有根均有負(fù)實部的充要條件是的一切主子式都大于零。例3 判斷方程組的零解的穩(wěn)定性解：方程組的系數(shù)矩陣為，則特征方程為 因為，所以根據(jù)定理知式的所有根具有負(fù)實部，因此其零解是漸近穩(wěn)定的。Lyapunov第二法Lyapunov定義了一個函數(shù)，稱為Lyapunov函數(shù)。這個函數(shù)應(yīng)用更廣泛。實際上，任一純量函數(shù)只要滿足Lyapunov穩(wěn)定性定理的假設(shè)條件，都可作為Lyapunov函數(shù)。Lyapu

8、nov函數(shù)與和t有關(guān)，用或者來表示Lyapunov函數(shù)。如果在Lyapunov函數(shù)中不含t,則用或表示，對時間的全導(dǎo)數(shù)用表示。1、 純量函數(shù)的正定性如果對所有在域W中的非零狀態(tài)，有，且在處有，則在域W內(nèi)的純量函數(shù)稱為正定函數(shù)。如果函數(shù)由一個定常的正定函數(shù)作為下限，即存在一個正定函數(shù)，使得, 對所有, 對所有則稱函數(shù)在域W內(nèi)是正定的。2、純量函數(shù)的負(fù)定性 如果是正定函數(shù)，則純量函數(shù)-稱為負(fù)定函數(shù)。3、純量函數(shù)的正半定形如果純量函數(shù)除了原點以及某些狀態(tài)等于零外，在域W內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的，則稱為正半定純量函數(shù)。4、純量函數(shù)的負(fù)半定性如果 -是正半定函數(shù)，則純量函數(shù)稱為負(fù)半定函數(shù)。5、純量函數(shù)的不

9、定性如果在域W內(nèi)，不論域W多么小，既可為正值，也可為負(fù)值時，則純量函數(shù)稱為不定的純量函數(shù)。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足,不失一般性，把狀態(tài)空間原點作為平衡狀態(tài)，并設(shè)系統(tǒng)在原點鄰域存在對的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。定理：若正定，負(fù)定；則原點是漸近穩(wěn)定的。定理：若正定，負(fù)半定，且在非零狀態(tài)不恒為零，則原點是漸近穩(wěn)定的。定理：若正定，負(fù)半定，且在非零狀態(tài)恒為零，則原點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定理：若正定，正定，則原點是不穩(wěn)定的。例4 試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 ，解 令,得知原點是惟一的平衡狀態(tài)。選,則,當(dāng)時,；當(dāng)時，故不定，不能對穩(wěn)定性作出判斷，應(yīng)重選。選 ，則考慮狀態(tài)方程后得，對于非零狀態(tài)（如，）存在，對于其余非零狀態(tài)，故負(fù)半定。根據(jù)定理，原點是漸近穩(wěn)定的。參考文獻(xiàn)：1常微分方程（第二版）王高雄 周之銘 周思銘 王壽林編 高等教育出版社2常微分方程教程（第二版）丁