《概率論》總復(fù)習(xí)提綱

1、ang概率論與數(shù)理統(tǒng)計總復(fù)習(xí)提綱第一塊 隨機事件及其概率內(nèi) 容 提 要 基本內(nèi)容：隨機事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運算，概率的概念和基本性質(zhì)，古典概率，幾何概率，條件概率，與條件概率有關(guān)的三個公式，事件的獨立性，貝努里試驗.1、隨機試驗、樣本空間與隨機事件 （1）隨機試驗：具有以下三個特點的試驗稱為隨機試驗，記為.1） 試驗可在相同的條件下重復(fù)進行；2） 每次試驗的結(jié)果具有多種可能性，但試驗之前可確知試驗的所有可能結(jié)果；3） 每次試驗前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn).（2）樣本空間：隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間記為；試驗的每一個可能結(jié)果，即中的元素，稱為樣本點，記為.（3）隨機事件

2、：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱為隨機事件，簡稱事件；也可表述為事件就是樣本空間的子集，必然事件（記為）和不可能事件（記為）.2、事件的關(guān)系與運算（1）包含關(guān)系與相等：“事件發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生”，記為或；且.（2）互不相容性：；互為對立事件且. （3）獨立性：（1）設(shè)為事件，若有，則稱事件與相互獨立. 等價于：若(). （2）多個事件的獨立：設(shè)是n個事件，如果對任意的，任意的，具有等式，稱個事件相互獨立3、事件的運算（1）和事件（并）：“事件與至少有一個發(fā)生”，記為.（2）積事件（交）：“ 事件與同時發(fā)生”，記為或.（3） 差事件、對立事件(余事件)：“事件發(fā)生而不發(fā)生”，記為稱為與的

3、差事件；稱為的對立事件；易知：.4、事件的運算法則1) 交換律：，；2) 結(jié)合律：，；3) 分配律：，；4) 對偶(De Morgan)律：，可推廣 5、概率的概念（1）概率的公理化定義：（了解）（2）頻率的定義：（了解）事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)次，則比值稱為事件在次重復(fù)試驗中出現(xiàn)的頻率，記為，即.（3）概率的統(tǒng)計定義：（了解）頻率具有穩(wěn)定性，即隨的增大越來越靠近某個常數(shù)，稱為事件的（統(tǒng)計）概率.在實際問題中，當(dāng)很大時，?。?）古典概率（有限等可能型）： 若試驗的基本結(jié)果數(shù)為有限個，且每個事件發(fā)生的可能性相等，則（試驗對應(yīng)古典概型）事件發(fā)生的概率為： .（5）幾何概率（無限等可能型）：（了解）若

4、試驗基本結(jié)果數(shù)無限，隨機點落在某區(qū)域g的概率與區(qū)域g的測度(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則（試驗對應(yīng)幾何概型），“在區(qū)域中隨機地取一點落在區(qū)域中”這一事件發(fā)生的概率為：.（6）主觀概率：（了解）人們根據(jù)經(jīng)驗對該事件發(fā)生的可能性所給出的個人信念.6、概率的基本性質(zhì)（1）不可能事件概率為零： .（2）有限可加性：設(shè)是n個兩兩互不相容的事件，即，（），則有.（3）單調(diào)不減性：若事件，且.（4） 互逆性：且.（5） 加法公式：對任意兩事件，有；此性質(zhì)可推廣到任意個事件的情形.（6）可分性：對任意兩事件，有，且7、條件概率與乘法公式（1）條件概率：設(shè)是兩個事件，若則稱為事件發(fā)生的條

5、件下事件發(fā)生的條件概率（2）乘法公式：設(shè)則.稱為事件的概率乘法公式.其可推廣成有即個的情形,詳見書上第16頁，其主要的意義在說明了前面的事件對后面的事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響.8、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式（1）全概率公式：設(shè)是的一個劃分，且，則對任何事件，有稱為全概率公式. 應(yīng)用背景：若影響某一事件（“結(jié)果”）發(fā)生有幾種不同的情況（“原因”），那么計算結(jié)果的概率就要用全概率公式, 相當(dāng)于其是由原因計算結(jié)果. （2）貝葉斯(Bayes)公式：設(shè)是的一個劃分，且，則對任何事件，有稱為貝葉斯公式或逆概率公式. 應(yīng)用背景：若影響某一事件（“結(jié)果”）發(fā)生有幾種不同的情況（“原因”），那么若告訴你

6、結(jié)果已發(fā)生，那么要計算某一種情況（“原因”）發(fā)生的概率時，就要用到貝葉斯公式，相當(dāng)其主要的應(yīng)用是要由結(jié)果計算原因.9、貝努里(Bernoulli)概型（1）只有兩個可能結(jié)果的試驗稱為貝努里試驗，常記為也叫做“成功失敗”試驗,“成功”的概率常用表示，其中“成功”.（2）把重復(fù)獨立地進行次，所得的試驗稱為重貝努里試驗，記為（3）把重復(fù)獨立地進行可列多次，所得的試驗稱為可列重貝努里試驗，記為以上三種貝努里試驗統(tǒng)稱為貝努里概型（4）中成功次的概率是：其中.疑 難 分 析1、必然事件與不可能事件 必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件.它們都不具有隨機性，是確

7、定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機事件.2、互逆事件與互斥（不相容）事件如果兩個事件與必有一個事件發(fā)生，且至多有一個事件發(fā)生，則、為互逆事件；如果兩個事件與不能同時發(fā)生，則、為互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個事件時，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個事件的情形.作為互斥事件在一次試驗中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個且只發(fā)生一個.3、兩事件獨立與兩事件互斥ABABAB兩事件、獨立，則與中任一個事件的發(fā)生與另一個事件的發(fā)生無關(guān)，這時；而兩事件互斥，則其中任一個事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時.可

8、以用圖形作一直觀解釋.在圖1.1左邊的正方形中， 圖1.1，表示樣本空間中兩事件的獨立關(guān)系，而在右邊的正方形中，表示樣本空間中兩事件的互斥關(guān)系.4、條件概率與積事件概率是在樣本空間內(nèi)，事件的概率，而是在試驗增加了新條件發(fā)生后的縮減的樣本空間中計算事件的概率.雖然、都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，當(dāng)、同時發(fā)生時，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時，用.如袋中有9個白球1個紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率.問題（1）求的就是一個積事件概率的問題，而問題（2）求的就是一個條件概率的問題.5、全概率

9、公式與貝葉斯(Bayes)公式當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡單地看作這諸多事件之和時，可考慮用全概率公式，在對樣本空間進行劃分時，一定要注意它必須滿足的兩個條件.貝葉斯公式用于試驗結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率.第二塊 隨機變量及其分布內(nèi) 容 提 要 基本內(nèi)容：隨機變量，隨機變量的分布的概念及其性質(zhì)，離散型隨機變量的概率分布，連續(xù)型隨機變量的概率分布，常見隨機變量的分布，隨機變量函數(shù)的分布.1、隨機變量設(shè)是隨機試驗的樣本空間，如果對于試驗的每一個可能結(jié)果，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的隨機變量，簡記為.隨機變量通常用大寫字母等表示.根據(jù)

10、其取值的情形可以分成為2、離散型隨機變量及其分布列如果隨機變量只能取有限個或可列個可能值，則稱為離散型隨機變量.如果的一切可能值為，并且取的概率為，則稱為離散型隨機變量的概率函數(shù)（概率分布或分布律）.也稱分布列，常記為其中.常見的離散型隨機變量的分布有：（1）兩點分布（0-1分布）：記為，分布列為或 （2）二項分布：記為，概率函數(shù)（3）泊松分布，記為，概率函數(shù)泊松定理： 設(shè)是一常數(shù)，是任意正整數(shù)，設(shè)，則對于任一固定的非負整數(shù)，有.根據(jù)泊松定理可得，當(dāng)很大(大于50)且很?。ㄒ话闶切∮?.05）時，二項分布可以用泊松分布近似代替，即，其中3、分布函數(shù)及其性質(zhì)分布函數(shù)的定義：設(shè)為隨機變量，為任意實

11、數(shù)，函數(shù)稱為隨機變量的分布函數(shù).分布函數(shù)完整地描述了隨機變量取值的統(tǒng)計規(guī)律性，具有以下性質(zhì)：（1）有界性： ；（2）單調(diào)性： 如果，則；（3）右連續(xù)： 即；（4）極限性： ；（5）完美性： .4、連續(xù)型隨機變量及其分布如果對于隨機變量的分布函數(shù)，存在非負函數(shù)，使對于任一實數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機變量.函數(shù)稱為的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度.概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）如果在處連續(xù)，則.常用連續(xù)型隨機變量的分布：（1）均勻分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為 性質(zhì)：若，則（2）指數(shù)分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為 無記憶性質(zhì)：對于任意有.（3）正態(tài)分布：記為，

12、概率密度為，相應(yīng)的分布函數(shù)為 當(dāng)時，即時，稱服從標(biāo)準正態(tài)分布.這時分別用和表示的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即性質(zhì)： 若,則其密度函數(shù)關(guān)于對稱，從而. . 若,則，即一般正態(tài)分布的分布函數(shù)與標(biāo)準正態(tài)分布的分布函數(shù)有關(guān)系：.5、隨機變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機變量，其分布列為(表2-2)：表2-2 則任為離散型隨機變量，其分布列為(表2-3)：表2-3 有相同值時，要合并為一項，對應(yīng)的概率相加.（2）連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機變量，概率密度為，則的概率密度有兩種方法可求.1）定理法：若在的取值區(qū)間內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且單調(diào)時，是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為.其中是的反

13、函數(shù).2）分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)然后求 . 結(jié)論：若，則.疑 難 分 析1、隨機變量與普通函數(shù)隨機變量是定義在隨機試驗的樣本空間上，對試驗的每一個可能結(jié)果，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng).從定義可知：普通函數(shù)的取值是按一定法則給定的，而隨機變量的取值是由統(tǒng)計規(guī)律性給出的，具有隨機性；又普通函數(shù)的定義域是一個區(qū)間，而隨機變量的定義域是樣本空間.2、分布函數(shù)的連續(xù)性定義左連續(xù)或右連續(xù)只是一種習(xí)慣.有的書籍定義分布函數(shù)左連續(xù)，但大多數(shù)書籍定義分布函數(shù)為右連續(xù). 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計算時，點的概率是否計算在內(nèi).對于連續(xù)型隨機變量，由于，故定義左連續(xù)或右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對于離散型隨機變量，由于，則定

14、義左連續(xù)或右連續(xù)時值就不相同，這時，就要注意對定義左連續(xù)還是右連續(xù).第三塊 多維隨機變量及其分布內(nèi) 容 提 要 基本內(nèi)容：多維隨機變量及其分布函數(shù) 二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列，二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)，邊際分布，隨機變量的獨立性和不相關(guān)性，常用多維隨機變量，隨機向量函數(shù)的分布.1、二維隨機變量及其聯(lián)合分布函數(shù) 為n維(n元)隨機變量或隨機向量.聯(lián)合分布函數(shù)的定義： 設(shè)隨機變量,為隨機向量的聯(lián)合分布函數(shù)二維聯(lián)合分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性： 是變量或的非減函數(shù)；（2）有界性： ；（3）極限性：，但注意，其中與分別表示與的分布函數(shù).（4）連續(xù)性: 關(guān)于右連續(xù)，關(guān)

15、于也右連續(xù)；（5）非負性: 對任意點，若，則.上式表示隨機點落在區(qū)域內(nèi)的概率為：.2、二維離散型隨機變量及其聯(lián)合分布列如果二維隨機變量所有可能取值是有限對或可列對，則稱為二維離散型隨機變量.設(shè)為二維離散型隨機變量,它的所有可能取值為將或表3.1稱為的聯(lián)合分布列.表3.1 聯(lián)合分布列具有下列性質(zhì)：（1）；（2）.3、二維連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)如果存在一個非負函數(shù),使得二維隨機變量的分布函數(shù)對任意實數(shù)有 ，則稱是二維連續(xù)型隨機變量，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)）.聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）非負性 對一切實數(shù)，有；（2）規(guī)范性 ；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在處連

16、續(xù)，則.常用連續(xù)型隨機變量的分布：(1) 設(shè)是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為.若二維隨機變量的聯(lián)合概率密度為則稱服從區(qū)域上的二維均勻分布. (2) 二元正態(tài)分布：其密度函數(shù)不要求背，具體的請見課本P67.4、二維隨機變量的邊緣分布設(shè)為二維隨機變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣（邊際）分布函數(shù).當(dāng)為離散型隨機變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布列.當(dāng)為連續(xù)型隨機變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù). 性質(zhì)：，則，.5、隨機變量的獨立性設(shè)及分別是的聯(lián)合分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).如果對任何實數(shù)有則稱隨機變量與相互獨立.設(shè)為二維離散型隨機變量，與相互獨立的充要條件是.設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，與相互獨立

17、的充要條件是對幾乎一切實數(shù)，有.性質(zhì)：，則6、兩個隨機變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，是的函數(shù)，則的分布函數(shù)為.對于一般的函數(shù),求通過分布函數(shù)的方法，如第三章，習(xí)題29就是使用這種方法. 但對于以下的幾個，更加常用的是公式的方法. 若為連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為.（1）的分布:. 特別地，若與相互獨立，則（2）的分布：特別地，若與相互獨立，則（3）的分布：特別地，若與相互獨立，則 （4）的分布若為連續(xù)型隨機變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：.性質(zhì)：若.若若，且與相互獨立的，則7最大值與最小值的分布 則其中的表示的是隨機變量的分布函數(shù).疑 難 分 析1、事件表示事件與的

18、積事件，為什么不一定等于？如同僅當(dāng)事件相互獨立時，才有一樣，這里依乘法原理.只有事件與相互獨立時，才有，因為.2、二維隨機變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布之間存在什么樣的關(guān)系？由邊緣分布與條件分布的定義與公式知，聯(lián)合分布唯一確定邊緣分布，因而也唯一確定條件分布.反之，邊緣分布與條件分布都不能唯一確定聯(lián)合分布.但由知，一個條件分布和它對應(yīng)的邊緣分布，能唯一確定聯(lián)合分布.但是，如果相互獨立，則，即.說明當(dāng)獨立時，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布.3、兩個隨機變量相互獨立的概念與兩個事件相互獨立是否相同？為什么？兩個隨機變量相互獨立，是指組成二維隨機變量的兩個分量中一個分

19、量的取值不受另一個分量取值的影響，滿足.而兩個事件的獨立性，是指一個事件的發(fā)生不受另一個事件發(fā)生的影響，故有.兩者可以說不是一個問題.但是，組成二維隨機變量的兩個分量是同一試驗的樣本空間上的兩個一維隨機變量，而也是一個試驗的樣本空間的兩個事件.因此，若把“”、“”看作兩個事件，那么兩者的意義近乎一致，從而獨立性的定義幾乎是相同的.第四塊 隨機變量的數(shù)字特征內(nèi) 容 提 要 基本內(nèi)容：隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差、標(biāo)準差及其性質(zhì)，隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，原點矩和中心矩，協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)及其性質(zhì).1、隨機變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機變量的分布列為，如果級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.設(shè)連續(xù)

20、型隨機變量的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對收斂，則稱此積分值為隨機變量的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若是隨機變量，則；對任意個隨機變量，有；（4）若相互獨立，則；對任意個相互獨立的隨機變量，有. 2、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）設(shè)離散型隨機變量的分布律為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中級數(shù)絕對收斂.設(shè)連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù)為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中積分絕對收斂. （2）若二維離散型隨機變量的聯(lián)合分布列為3、隨機變量的方差設(shè)是一個隨機變量，則稱為的方差.稱為的標(biāo)準差或均方差.計算方差也常用公式.方差具有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，

21、則；（3）=.特別地，若相互獨立，則.更加一般地，對任意個相互獨立的隨機變量，有；（4）的充要條件是：存在常數(shù)，使.4、幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）,則；（6）.6、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量的協(xié)方差為.它是1+1階混合中心矩，有計算公式：.隨機變量的相關(guān)系數(shù)為.相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）；（2）存在常數(shù)，使=1，即與以概率1線性相關(guān)；（3）若獨立，則，即不相關(guān).反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 設(shè)(X,Y)是二維隨機變量,若X與Y的方差都存在,則 疑 難 分 析1、隨機變量的數(shù)字特征在概率論中有什么意義？知道一個隨機變量

22、的分布函數(shù)，就掌握了這個隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性.但求得一個隨機變量的分布函數(shù)是不容易的，而且往往也沒有這個必要.隨機變量的數(shù)字特征則比較簡單易求，也能滿足我們研究分析具體問題的需要，所以在概率論中很多的應(yīng)用，同時也刻畫了隨機變量的某些特征，有重要的實際意義.例如，數(shù)學(xué)期望反映了隨機變量取值的平均值，表現(xiàn)為具體問題中的平均長度、平均時間、平均成績、期望利潤、期望成本等；方差反映了隨機變量取值的波動程度；偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)則反映了隨機變量取值的對稱性和集中性.因此，在不同的問題上考察不同的數(shù)字特征，可以簡單而切實地解決我們面臨的實際問題.2、在數(shù)學(xué)期望定義中為什么要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂？首先，數(shù)

23、學(xué)期望是一個有限值；其次，數(shù)學(xué)期望反映隨機變量取值的平均值.因此，對級數(shù)和廣義積分來說，絕對收斂保證了值的存在，且對級數(shù)來說，又與項的次序無關(guān)，從而更便于運算求值.而由于連續(xù)型隨機變量可以離散化，從而廣義積分與無窮級數(shù)有同樣的意義.要求級數(shù)和廣義積分絕對收斂是為了保證數(shù)學(xué)期望的存在與求出.3、相關(guān)系數(shù)反映了隨機變量和之間的什么關(guān)系？相關(guān)系數(shù)是用隨機變量和的協(xié)方差和標(biāo)準差來定義的，它反映了隨機變量和之間的相關(guān)程度.當(dāng)時，稱與依概率1線性相關(guān)；當(dāng)時，稱與不相關(guān)；當(dāng)時，又分為強相關(guān)與弱相關(guān).4、兩個隨機變量與相互獨立和不相關(guān)是一種什么樣的關(guān)系？（1）若、相互獨立，則、不相關(guān).因為、獨立，則，故，從而

24、，所以、不相關(guān).（2）若、不相關(guān)，則、不一定獨立.如： 因為，知、不相關(guān).但，,知、不獨立.（3）若、相關(guān)，則、一定不獨立.可由反證法說明.（4）若、不相關(guān)，則、不一定不相關(guān).因為、不獨立，但若時，可以有，從而可以有、不相關(guān). 但是，也有特殊情況，如服從二維正態(tài)分布時，、不相關(guān)與、獨立是等價的.第五塊 大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi) 容 提 要 基本內(nèi)容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大數(shù)定律，伯努里（Bernoulli）大數(shù)定律，辛欽（Khinchine）大數(shù)定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列維-林維德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望，方差，則對任意正數(shù)，有不等式 或成立.2、大數(shù)定律（了解）（1）貝努利大數(shù)定律:設(shè)是次重復(fù)獨立試驗中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在一次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意給定的，有.貝努利大數(shù)定理給出了當(dāng)很大時，發(fā)生的頻率依概率收斂于的概率，證明了頻率的穩(wěn)定性.(2)辛欽大數(shù)定律：設(shè) 相互獨立,服從同一分布的隨機變量序列,且(),則對任意給定的，有3、中心極限定律（1）林德貝格-勒維中心極限定理:設(shè)是獨立同分布的隨機變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，.則對任意實數(shù)，隨機變量的分布函數(shù)滿